压杆大挠度问题的里兹_伽辽金近似解
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参考文献
[ 1 ] 殷有泉 ,邓成光. 材料力学 [M ]. 北京 :北京大学出版社 , 19921 [ 2 ] 胡辉 ,陈光前. 压杆大挠度问题的近似解法 [ J ]. 邵阳高专学
报 , 1995, ( 2) : 97 - 101. [ 3 ] 王海期. 非线性振动 [M ]. 北京 :高等教育出版社 , 19921 [ 4 ] 刘传芳. 对材料力学屈曲杆最大挠度近似公式的改进 [ J ]. 力
dθ ds
s = 0, L = 0 ,
(θ
s = 0, L = ±α)
(2)
图 1 压杆受力图
上述问题已有椭圆积分表示的精确解 , 但在应用时需查
椭圆积分表 ,应用不便 。本文寻求上述非线性常微分方程边
值问题的一个里兹 - 伽辽金近似解 。文献 [ 2 ]中将此问题比
拟成单摆大振幅问题 ,但文献 [ 2 ]就 sinθ的正弦级数展开只
李朋主等 :压杆大挠度问题的里兹 - 伽辽金近似解
51
压杆大挠度问题的里兹 - 伽辽金近似解
李朋主 , 赵 锐 , 刘晚成
(东北林业大学土木工程学院 , 哈尔滨 150040 )
【摘 要 】 通过非线性振动中常用的里兹 2伽辽金法 ,推出了两端铰支压杆大挠度问题的一个新近似公式 ,计 算结果表明具有较高的精度 。 【关键词 】 压杆 ;大挠度 ;近似解 ;里兹 2伽辽金法 【中图分类号 】 TU31112 【文献标识码 】 B 【文章编号 】 1001 - 6864 (2005) 05 - 0051 - 02
60122103 60174343 60118601
01368 11239 01310 01296604
80162801 81188216 80146553
01785 21353 01582 01359755
90198256 92178098 90167091
11092 31090 01745 01381420
01422308 01395945 013226 01417630
01431316 01389543 012224 01423374
01436915 01372948 010323 01423441
相 文 [ 2 ] (52)式
对 误
文 [ 5 ] (26)式
差 ︵
文 [ 4 ] (17)式
% ︶
本文 (17)式
构工程专业 。
敬告读者
2006年报刊征订工作已经开始 ,需要 订阅《低温建筑技术 》科技期刊的单位与 广大读者 ,请速到当地邮局订购 ,本刊邮发 代号 14 - 122。
本刊双月刊 ,每期定价 8100 元 ,全年 48100元整 。全国各地邮局均可订阅 。
地址 :哈尔滨市南岗区清滨路 60号 邮编 : 150080 电话 : 86334097 传真 : 86310933
L
将 (4)式代入 (3)式并应用里兹 - 伽辽金法有 :
∫L
0
-
απ2 L2
π co s
L
s
+
K2
(αco s π L
s
-
α3 6
co s3
π L
s
+
α5
co s5
π s
-
α7
co s7 π s)
120 L 5040 L
π co s sds = 0
L
(5)
将 co s π s的高次幂去掉并化简得 : L
01211485 01211542 01215112 01211461
01298188 01297471 01306346 01298006
01364683 01360103 01368532 01363874
01389432 01380520 01379562 01387917
01408546 01392715 013684 01405842
∫L
0
-
απ2 L2
π co s
L
s
+
K2
[αco s π L
s
-
α3 24
( co s 3πs L
+
π 3cwenku.baidu.com s
L
s)
+
α5 120 ×64
π (10co s
L
s
+
5co s 3πs L
+
co s 5π) L
-
α7 5040 ×64
(
co
s
7πs L
+ 7co s 5πs L
+ 21co s 3πs L
0 引 言
如图 1所示压杆 ,不计压杆的轴向伸缩 ,设压杆原长为
L,考虑大挠度问题 ,轴向压力 P ≥Pcr =πL22E I,θ为杆轴倾角 ,
弧长 S 从左支点算起 ,于是细长压杆大挠度问题的精确微分
方程为 [1 ] :
d2θ ds2
+
K2
sinθ=
0
(1)
式中 , K2
= P ,边界条件为 EI
若采用文献 [ 2 ] ( 51) 式的形式 ,但 α换成本文的 ,则 :
δ L
αλ α3 = π + 48π
( 17 )
α、δ/L 的近似值和精确值的比较见表 1。
表 1
P / Pcr α精确值
11003818 11015397 11063663 11151720 11293846 11392913
文 [ 5 ] (25)式
01032
︵ %
本文解
︶
δ/L 精确值
01008 01055379
20100662 20102569 20100649
01033 01128 01032 01109707
40105688 40121027 40105255
01142 01526 01131 01211120
52
低 温 建 筑 技 术 2005年第 5期 (总第 107期 )
3
取 γ = - ( 1 + 9λ) + ( 1 + 9λ) 2 + 8
( 13)
综合 ( 13) 、( 10) 和 ( 8) 式可以求得 α。
2 压杆的位移
将
( 1) 式中以
dy 代替 ds
sinθ, 积分并代入边界条件
01009 01016 0113 01009
01034 01060 0152 01034
01173 01200 1189 01162
01534 01292 3128 01473
11370 01100 2144 11145
21101 - 01236 - 0149 11703
31246 - 01754 - 6170 21563
(2) 可
得:y
=-
1 K2
dθ ds
( 14)
将 ( 4) 式代入有 :
y
απ π = K2L sin L s
=
αL π
Pcr sin π s PL
αλ π = π sin L s
( 15 )
最大挠度 δ出现在 x = L /2处 ,由 ( 15) 式得 :
δ/L =α·λ/π
( 16 )
R ITZ2GAL ERK IN M ETHOD FO R LARGE D EFL ECT IO N PRO BL EM O F COM PRESS IO N BAR
L I Peng2zhu, ZHAO Rui, L IU W an2cheng (C ivil Engineering college of Northeast Forestry University, 150040 Harbin, China)
取到前三项 ,本文仍采用这种比拟 , 并取 sinθ展式中的前四
项 ,于是方程 ( 1)可近似写为 :
d2θ ds2
+
K2
(θ-
θ3 6
θ5 +-
120
θ7 )
5040
=0
(3)
1 里兹 2伽辽金法
里兹 2伽辽金法是一种变分方法 , 是求解边值问题中常
用的方法 。[3 ]
设 θ=αcos π s
(4)
π + 35co s s)
L
]
π
co s sds = 0
(6)
L
积分后得 K2
π2 - L2
-
K2α2 8
+ K2 α4 192
- K2 α6 9216
=0
(7)
引入记号 λ = Pcr P
=
π2 K2 L
2
,α2
=β
(8)
化简 ( 7) 式得 :
β3 - 48β2 + 1152β - 9216 ( 1 - λ) = 0
10 °
20 °
40°
60°
80°
90°
11518 100°
11678 110°
11885 120°
21160 130 °
α 文 [ 2 ] ( 18)式 10100078
近 似
文 [ 5 ] ( 25)式 10100316
值 本文解 10100077
相 对
文 [ 2 ] (18)式
01008
误 差
10115442 10410321 10019743
11544 41032 01974 013957
11214229 11517656 11114137
21203 51241 11285 014026
12317016 12810709 12119533
31085 61726 11628 014016
《低温建筑技术 》编辑部
学与实践 , 1991, ( 6) : 62 - 64. [ 5 ] 吴 晓. 细长压 杆大挠 度问题 非线性 比拟 [ J ]. 力 学 与 实 践 ,
1997, ( 2) : 71 - 72.
[收稿日期 ] 2005 - 06 - 10 [作者简介 ] 李朋主 ( 1980 - ) ,男 ,湖南涟源人 ,硕士 ,从事结
(9)
( 9) 式是一个一般的一元三次方程 , 可以用牛顿法迭代
求根 ,笔者在此不做迭代 ,而是直接解出 β值 ,为此作变换 :
β = 8γ - 16 /γ + 16
( 10 )
将 ( 10) 式代入 ( 9) 式并化简得 :
γ6 + ( 2 + 18λ)γ3 + 8 = 0
( 11 )
3
解之得 γ = - ( 1 + 9λ) ± ( 1 + 9λ) 2 + 8 ( 12)
41895 - 11653 - 19187 31733
71399 - 31002 - 44162 51422
111316 - 41981 - 91177 71883
3 结语 从表 1可以看出 ,本文的近似公式有较高的精度 ,尤其
是计算 α值 ,在很大角度时精度仍很高 。δ/L 的近似值精度 也很高 。本文的计算公式也不复杂 ,完全可以作为大挠度计 算的实用近似公式 。
13516538 14112107 13216432
41349 81624 21033 013925
δ 文 [ 2 ] ( 52)式 01055384
/ L
文 [ ] 5 ( 26)式 01055388
近 似
文 [ 4 ] ( 17)式 01055453
值 本文 (17)式 01055384
01109745 01109773 01110282 01109744
Abstract: A new app roxim ate formula for the large deflection p roblem of comp ression bar w ith two ends are simp ly supported is obtained, by the use of R itz2Galerkin method. It indicates that the formula can lead to p recise re2 su lts. Key words: comp ression bar; large deflection; app roxim ate solution; R itz2Galerkin method
[ 1 ] 殷有泉 ,邓成光. 材料力学 [M ]. 北京 :北京大学出版社 , 19921 [ 2 ] 胡辉 ,陈光前. 压杆大挠度问题的近似解法 [ J ]. 邵阳高专学
报 , 1995, ( 2) : 97 - 101. [ 3 ] 王海期. 非线性振动 [M ]. 北京 :高等教育出版社 , 19921 [ 4 ] 刘传芳. 对材料力学屈曲杆最大挠度近似公式的改进 [ J ]. 力
dθ ds
s = 0, L = 0 ,
(θ
s = 0, L = ±α)
(2)
图 1 压杆受力图
上述问题已有椭圆积分表示的精确解 , 但在应用时需查
椭圆积分表 ,应用不便 。本文寻求上述非线性常微分方程边
值问题的一个里兹 - 伽辽金近似解 。文献 [ 2 ]中将此问题比
拟成单摆大振幅问题 ,但文献 [ 2 ]就 sinθ的正弦级数展开只
李朋主等 :压杆大挠度问题的里兹 - 伽辽金近似解
51
压杆大挠度问题的里兹 - 伽辽金近似解
李朋主 , 赵 锐 , 刘晚成
(东北林业大学土木工程学院 , 哈尔滨 150040 )
【摘 要 】 通过非线性振动中常用的里兹 2伽辽金法 ,推出了两端铰支压杆大挠度问题的一个新近似公式 ,计 算结果表明具有较高的精度 。 【关键词 】 压杆 ;大挠度 ;近似解 ;里兹 2伽辽金法 【中图分类号 】 TU31112 【文献标识码 】 B 【文章编号 】 1001 - 6864 (2005) 05 - 0051 - 02
60122103 60174343 60118601
01368 11239 01310 01296604
80162801 81188216 80146553
01785 21353 01582 01359755
90198256 92178098 90167091
11092 31090 01745 01381420
01422308 01395945 013226 01417630
01431316 01389543 012224 01423374
01436915 01372948 010323 01423441
相 文 [ 2 ] (52)式
对 误
文 [ 5 ] (26)式
差 ︵
文 [ 4 ] (17)式
% ︶
本文 (17)式
构工程专业 。
敬告读者
2006年报刊征订工作已经开始 ,需要 订阅《低温建筑技术 》科技期刊的单位与 广大读者 ,请速到当地邮局订购 ,本刊邮发 代号 14 - 122。
本刊双月刊 ,每期定价 8100 元 ,全年 48100元整 。全国各地邮局均可订阅 。
地址 :哈尔滨市南岗区清滨路 60号 邮编 : 150080 电话 : 86334097 传真 : 86310933
L
将 (4)式代入 (3)式并应用里兹 - 伽辽金法有 :
∫L
0
-
απ2 L2
π co s
L
s
+
K2
(αco s π L
s
-
α3 6
co s3
π L
s
+
α5
co s5
π s
-
α7
co s7 π s)
120 L 5040 L
π co s sds = 0
L
(5)
将 co s π s的高次幂去掉并化简得 : L
01211485 01211542 01215112 01211461
01298188 01297471 01306346 01298006
01364683 01360103 01368532 01363874
01389432 01380520 01379562 01387917
01408546 01392715 013684 01405842
∫L
0
-
απ2 L2
π co s
L
s
+
K2
[αco s π L
s
-
α3 24
( co s 3πs L
+
π 3cwenku.baidu.com s
L
s)
+
α5 120 ×64
π (10co s
L
s
+
5co s 3πs L
+
co s 5π) L
-
α7 5040 ×64
(
co
s
7πs L
+ 7co s 5πs L
+ 21co s 3πs L
0 引 言
如图 1所示压杆 ,不计压杆的轴向伸缩 ,设压杆原长为
L,考虑大挠度问题 ,轴向压力 P ≥Pcr =πL22E I,θ为杆轴倾角 ,
弧长 S 从左支点算起 ,于是细长压杆大挠度问题的精确微分
方程为 [1 ] :
d2θ ds2
+
K2
sinθ=
0
(1)
式中 , K2
= P ,边界条件为 EI
若采用文献 [ 2 ] ( 51) 式的形式 ,但 α换成本文的 ,则 :
δ L
αλ α3 = π + 48π
( 17 )
α、δ/L 的近似值和精确值的比较见表 1。
表 1
P / Pcr α精确值
11003818 11015397 11063663 11151720 11293846 11392913
文 [ 5 ] (25)式
01032
︵ %
本文解
︶
δ/L 精确值
01008 01055379
20100662 20102569 20100649
01033 01128 01032 01109707
40105688 40121027 40105255
01142 01526 01131 01211120
52
低 温 建 筑 技 术 2005年第 5期 (总第 107期 )
3
取 γ = - ( 1 + 9λ) + ( 1 + 9λ) 2 + 8
( 13)
综合 ( 13) 、( 10) 和 ( 8) 式可以求得 α。
2 压杆的位移
将
( 1) 式中以
dy 代替 ds
sinθ, 积分并代入边界条件
01009 01016 0113 01009
01034 01060 0152 01034
01173 01200 1189 01162
01534 01292 3128 01473
11370 01100 2144 11145
21101 - 01236 - 0149 11703
31246 - 01754 - 6170 21563
(2) 可
得:y
=-
1 K2
dθ ds
( 14)
将 ( 4) 式代入有 :
y
απ π = K2L sin L s
=
αL π
Pcr sin π s PL
αλ π = π sin L s
( 15 )
最大挠度 δ出现在 x = L /2处 ,由 ( 15) 式得 :
δ/L =α·λ/π
( 16 )
R ITZ2GAL ERK IN M ETHOD FO R LARGE D EFL ECT IO N PRO BL EM O F COM PRESS IO N BAR
L I Peng2zhu, ZHAO Rui, L IU W an2cheng (C ivil Engineering college of Northeast Forestry University, 150040 Harbin, China)
取到前三项 ,本文仍采用这种比拟 , 并取 sinθ展式中的前四
项 ,于是方程 ( 1)可近似写为 :
d2θ ds2
+
K2
(θ-
θ3 6
θ5 +-
120
θ7 )
5040
=0
(3)
1 里兹 2伽辽金法
里兹 2伽辽金法是一种变分方法 , 是求解边值问题中常
用的方法 。[3 ]
设 θ=αcos π s
(4)
π + 35co s s)
L
]
π
co s sds = 0
(6)
L
积分后得 K2
π2 - L2
-
K2α2 8
+ K2 α4 192
- K2 α6 9216
=0
(7)
引入记号 λ = Pcr P
=
π2 K2 L
2
,α2
=β
(8)
化简 ( 7) 式得 :
β3 - 48β2 + 1152β - 9216 ( 1 - λ) = 0
10 °
20 °
40°
60°
80°
90°
11518 100°
11678 110°
11885 120°
21160 130 °
α 文 [ 2 ] ( 18)式 10100078
近 似
文 [ 5 ] ( 25)式 10100316
值 本文解 10100077
相 对
文 [ 2 ] (18)式
01008
误 差
10115442 10410321 10019743
11544 41032 01974 013957
11214229 11517656 11114137
21203 51241 11285 014026
12317016 12810709 12119533
31085 61726 11628 014016
《低温建筑技术 》编辑部
学与实践 , 1991, ( 6) : 62 - 64. [ 5 ] 吴 晓. 细长压 杆大挠 度问题 非线性 比拟 [ J ]. 力 学 与 实 践 ,
1997, ( 2) : 71 - 72.
[收稿日期 ] 2005 - 06 - 10 [作者简介 ] 李朋主 ( 1980 - ) ,男 ,湖南涟源人 ,硕士 ,从事结
(9)
( 9) 式是一个一般的一元三次方程 , 可以用牛顿法迭代
求根 ,笔者在此不做迭代 ,而是直接解出 β值 ,为此作变换 :
β = 8γ - 16 /γ + 16
( 10 )
将 ( 10) 式代入 ( 9) 式并化简得 :
γ6 + ( 2 + 18λ)γ3 + 8 = 0
( 11 )
3
解之得 γ = - ( 1 + 9λ) ± ( 1 + 9λ) 2 + 8 ( 12)
41895 - 11653 - 19187 31733
71399 - 31002 - 44162 51422
111316 - 41981 - 91177 71883
3 结语 从表 1可以看出 ,本文的近似公式有较高的精度 ,尤其
是计算 α值 ,在很大角度时精度仍很高 。δ/L 的近似值精度 也很高 。本文的计算公式也不复杂 ,完全可以作为大挠度计 算的实用近似公式 。
13516538 14112107 13216432
41349 81624 21033 013925
δ 文 [ 2 ] ( 52)式 01055384
/ L
文 [ ] 5 ( 26)式 01055388
近 似
文 [ 4 ] ( 17)式 01055453
值 本文 (17)式 01055384
01109745 01109773 01110282 01109744
Abstract: A new app roxim ate formula for the large deflection p roblem of comp ression bar w ith two ends are simp ly supported is obtained, by the use of R itz2Galerkin method. It indicates that the formula can lead to p recise re2 su lts. Key words: comp ression bar; large deflection; app roxim ate solution; R itz2Galerkin method