数值分析(第三章、第四章)

f [ x0 , x1 , , xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn 1 )
设 f ( x)在[ a, b]上有n 阶导数且, x0 , x1 , , xn [a, b], (n) f ( ) 则存在 [ a, b]使得 f x0 , x1 ,..., xn n!
对给定的节点 x0, x1, x2 ,…, 以及 f (x)在这些点处相应的函数值 f (x0) , f (x1) , f (x2) ,…,则可按下述插商表逐次计算各阶插商值
差商表
xk f (xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 …… n 阶差商
x o f [ x0 ] x1 f [ x1 ] f [ x0 , x 1 ] x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x3 ] f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
使得 L 1( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线,这种插值称 为线性插值. 其中 l0 ( x)，l1 ( x) 称 y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) 为线性插值的基函 x1 x0 数满足: 1 x x1 x x0 y0 y1 li ( x) yi 1 , i j x0 x1 x1 x 0 i 0 li (x j ) 0 , i j
函数插值也就是对离散的数据或复杂函数关系 建立简单的数学模型。
一、插值问题的定义 Def：当精确函数 y = f (x) 非常复杂或未知时, 在区间[a , b]上一 系列互异节点 x0, x1, … ,x n 处测得函数值 y0 = f (x0), …, yn = f ( xn), 由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f (x), 满足条件 g ( xi) = f ( xi) (i = 0, … n) (*) 这个问题称为“插值问题”
l0(x) 其中 l0( x ), l1( x )和l2( x )称为 二次插值的基函数, 且满足 二次插值函数： l1(x)
1 , i j li (x j ) 0 , i j
l2(x)
L 2 ( x) l 0 ( x) y0 l 1 ( x) y1 l 2 ( x) y2
l0(x)
l 1( x )
n=2
L2(x) 是过 ( x0 , y0 ) , ( x1, y1 ) 和( x2, y2 ) 三点的次数不超过 2 次的多项式, 几何上为抛物线.这种插值称为二次插值。
令 L 2 ( x) A( x x1 )( x x2 ) B( x x0 )( x x1 ) C ( x x0 )( x x2 ) 代入 可得
f [ x0 , x1 , , xn 1 ] f [ x1 , x2 , , xn ] x0 xn
差商的性质: 性质1 (差商与函数值的关系)
f ( xi ) f x0 , x1 ,..., xn 1 ( xi ) i 0 n
n
1 ( xi ) ( xi xk ) n
(2) 二次插值
( x 121)( x 144) ( x 100)( x 144) L 2 ( x) 10 11 (100 121)(100 144) (121 100)(121 144) ( x 100)( x 121) + 12 (144 100)(144 121) 115 L 2 (115) 10.7228
即
lk ( x)
( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
(k 0,1,, n)
（仅与 节点有关，而与f 无关）
二、LagrangBiblioteka Baidu 插值多项式
f [ x0 , x1 , x 2 , x3 ]
xn f [ xn ] f [ xn 1 , xn ] f [ xn 2 , xn 1 , xn ] f [ xn 3 , xn 2 , xn 1 , xn ]
f [ x0 , x1 ,, xn ]
例1：已知信息 f (0) 1, f (1) 5, f (2) 1 构造 f (x) 的插商表。 解： f (x) 的插商表如下： xi f (xi) 一阶 二阶
则称这 n +1 个 n 次多项式 l 0 ( x), l1 ( x),, l n ( x) 为插值节点 上的n 次插值基函数. 令
l k ( x) Ak ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn )
(k 0,1, , n) 1 由 l k ( x k ) 1：Ak ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) k 0 k k 1 k k 1 k n
y0 y2 y1 A ，B , C ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
L 2 ( x0 ) y0 , L 2 ( x1 ) y1 ，L 2 ( x2 ) y2
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 y2 于是有 L 2 ( x) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
第三章
函数插值
本章主要讨论的问题：
1、函数插值的基本方法
2、拉格朗日插值（Lagrange’s Interpolation）
3、牛顿插值(Newton’s Interpolation)
§1 函数插值
问题的引出 例：已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温
x1 x2 f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x0 x2
f [ x1 , x 2 ]
f ( x1 ) f ( x 2 )
规定：一个点 x0 的零阶差商为 f (x0) .
一般地，n 阶差商：
f [ x0 , x1 , , xn ]
这里的 g(x) 称为f (x) 的插值函数。 节点 x0 … xn称为插值节 点, f (x) 称为被插函数，条件(*)称为插值条件, 区间[a , b]称为 插值区间。 二、插值函数的类型 三角插值、代数插值、分段插值等 最常用的插值函数是代数多项式,用代数多项式作插值函数 的插值称为代数插值
g(x)
0 1 2
例2: f (x) 的插商表 xi f ( x i) 一阶
1 5 1
4 2
1
三阶
二阶
1 1.5 0 2
1.25 2.50 1.00 5.50
2.50 1.00 2.25
1.50 2.50
1.00
二、牛顿(Newton)插值公式
当n=1时：过两点 ( x0 , f ( x0 )) 和 ( x1 , f ( x1 )) 的直线为 f ( x0 ) f ( x1 ) N1 ( x) y0 ( x x0 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) x0 x1 称为1次Newton插值多项式。 当n=2时：构造不超过 2 次的多项式:
称之为2次Newton插值多项式。
x x1 x x0 y y x0 x1 0 x1 x 0 1
l0(x)
l1(x)
推广到一般情形:
令 N n ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
k 0 ik
n
性质2 (对称性): 差商的值与结点排列顺序无关.
f [ xi , x j ] f [ x j , xi ]
f x0 , , xi , , x j , , xn f x0 , , x j , , xi , , xn
性质3 (差商与导数的关系)
令： L n ( x) l 0 ( x) y0 l 1 ( x) y1 l n ( x) yn l k ( x) yk
k 0 n
则 Ln(x)是次数不超过 n 的多项式, 满足插值条件Ln(xi) = yi , 称其为Lagrange插值多项式, 或Lagrange 插值公式。 n 并且 若被插函数 f (x)=1, 则得 l k ( x) 1
k 0
而 Lagrang插值只要求节点互异, 而与大小次序无关。
例1：已知 100 10, 121 11, 144 12 分别用线性插值和二次 插值求 115 的近似值。 解: (1) 线性插值
x 121 x 100 L1 ( x) 10 11 100 121 121 100 115 121 115 100 115 L1 (115) 10 11 10.71429 100 121 121 100
f [ x0 , x1 ]
给定[a , b]中互不相同的点 x0, x1, x2 ,…, 以及 f (x)在这些 点处相应的函数值 f (x0) , f (x1) , f (x2) ,…,则
f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
称为f (x)在x0 , x1处的1阶差商 称为f (x)在x1 , x2 处的1阶差商 称为f (x)在x0 , x1 , x2 处的2阶差商
N 2 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
易知N2(x)满足插值条件：
L1 ( x) y0 y1 y0 ( x x0 ) x1 x0
N 2 ( x i ) f ( x i ) , i 0,1, 2
注：这里线性插值只选取两个相近点。
§3 牛顿插值(Newton’s Interpolation)
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基 函数 l i ( x ) 都需要重新计算。也就是说，Lagrange 插值不具有 继承性，从而引入牛顿插值法。 一、差商(亦称均差)
定义 :
f(x )
x0
x1
x2
x
x3
x4
§2 Lagrange插值 n L ( x ) a a x a x 求 n 次多项式 n 使得 0 1 n
Ln ( xi ) yi , i 0,1,, n
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求
L 1( x) a0 a1 x
推广到一般情形,则有一般的Lagrange插值公式. 一、插值基函数 De f : 若n 次多项式 l k ( x) (k 0,1,, n) 在 n +1个插值节点
x0 x1 x n 上满足插值条件
1 l k ( x i ) ik 0 ik ik , (i, k 0,1, , n)