复合材料细观力学基础讲义

可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力
边界条件，利用弹性力学方法进行求解而得到 有效模量，结果为：
1、
E1 E f V f

EmVm

4V f Vm (v f Vm V f
vm )2 1
K f Km Gm
2、 21
fVf
mVm
V f Vm (v f
Vm

vm
)(
1 Km
二、短纤维复合材料
（一）单向短纤维复合材料
只讨论纵向和横向模量（EL , ET ）。 1、修正复合法则（修正混合定律）
EL L E f V f EmVm

L

1
tanh(l )
2
l

2
其中 L 表示纤维长度有效因子。
1

2


2Gm


E
f
总体模量）
三、有效模量理论
1、边界条件：（不能随意！）
①均匀应变边界条件：
ui
(s)


0 ij
x
j
②均匀应力边界条件： Ti (s) i0j nj
2、可证明的两个特性：
①在给定均匀应变边界下，有：
ij


0 ij
②在给定均匀应力边界下，有：
ij


0 ij
证明可见《复合材料力学》（周履等）P223。
相几何和载荷条件。
对圆截面纤维，方形排列，中等 V f 值时，
E2 2
G12 1
对矩形（a b）截面纤维，
E2
2a, b
log G12
1.73log
a b
另外，*式还可以用于沿直线排列的短纤维增 强单层的纵向和横向有效模量的计算：
计算E1时，取：
E1

2
a b
计算E2时，取： E2 2
体积代表性单元，如：
c
c

c
c
a) aligned fiber model
b) tilted fiber model
单向短纤维复合材料的理想化模型
y
Fiber
y Interface
c
S
o
z
c
Matrix
l

x d
第八章 复合材料细观力学基础
§8-1 引言
复合材料至少由两种材料构成，微观性质是不 均匀的。
前几章中复合材料“模量”和“强度”的含义是什么？
平均值，等效——均匀材料
复合材料细观力学就是在研究如何用一个均匀 材料的响应来代替非均匀复合材料的平均响应。
复合材料的结构分析涉及两个尺度：
宏观的，平 均意义的量
kl ijkl ij
而实际的应力应变场还应该加上由夹杂引 起的扰动应力和扰动应变，即：
ij ij
则夹杂中的应力场可表示为
I ij


0 ij
ij

CI ijkl
(
0 kl


kl
)

C0 ijkl
(
0 kl

kl


* kl
)
其中，
* ij
称为等效特征应变。
由Eshelby的研究得出扰动应变和特征应变
2）给定均匀应力边界条件 Ti (s) i0j nj
ij
1 v
v

0
源自文库
ij
dv


0 ij
而
ij
1 v
v
0 ijdv
则由
ij

C* ijkl

kl
，只需求得
ij
，即可求得
C* ijkl
此时，复合材料的应变能也为：
U
1 2

v
ij

ij
dv

1 2
Ci*jklij klv

11 11
和

12


22 11
求有效模量，注意此时的模
量为θ角的函数。
3、随机分布短纤维复合材料：
对不同的θ角，按前述方法求得其

*
ij


*
ij
(
)
然后对其求对于θ得平均值：
* ij

1
2
2
0
d
2
0

*
ij
(
)d
在
0 11
作用下可求得
1 v
v
0 ij dv
该积分的值可由FEM进行数值计算，即有：
ij
1 V
n
( ij ) p V p
p 1
p为离散的单元号，n为单元总数。
只需求出了 11 和 22 ，即可得：
E1

0 11
11
12


22 11
对复合材料有效性能的计算均需要建立一定的
21 f V f mVm
（三）纵横（面内）剪切模量 G12 在剪应力作用下 ，RVE的剪 应变有如下关系：
12 f V f mVm
以
12

12
G12
,
f
f
Gf
, m

m
Gm
代入上式，
并假设有 12 f m ，可得：
1 V f Vm （倒数混合律） G12 G f Gm
G23 。
具体见《复合材料力学》（周履等）P250-256！
二、Eshelby夹杂模型
1、Eshelby等效夹杂理论

* kl
Pij
D-
异质夹杂
同质等效夹杂

* kl
：特征应变
设整个系统在无穷远边界处受均匀应力边
界条件，如没有夹杂，则D内的应力应变为

0 kl
;
C 0
0 1 0
二、复合材料的应力、应变及有效模量
（复合材料）
（均匀等效体）
按体积平均，定义复合材料的应力、应变为：
平均应力
ij
1 v
v
0 ijdv
平均应变
ij
1 v
v
0 ijdv
则等效体的本构方程（即应力-应变关系）为：
ij

C* ijkl

kl
C* ijkl
定义为复合材料的有效模量（或宏观模量，

0 11
(
0 11

f
* 11
)

Em
(1
f

* 11
)
若求出 22 ，则：
0 11
12


22 11
2、斜向纤维情况：
先在 123坐标系下求得：
1 1

* ij

（方法同前）
然后利用坐标变换求得
2
3 3
* ij
（为θ角的函数）
2
仍利用 E1


c kl


* kl
)

Cijkl
(
0 kl


c kl
)
其中
S
ijk
l
为Eshelby张量；
c kl
为因夹杂的出现而
形成的干扰应变；
0 kl
为无限远处的均匀应变；
C0 ijkl
为基体材料的弹性张量；
Cijkl 为夹杂的弹性张量。
联解上式可得到
* ij
。
由此可得：
E1

11 11
Ef 1
L

Em Ef 2
l
;
Em d
Ef 1
T

Em Ef
2
Em
此时，对L取：


2l d
对T取： 2
上式表明
ET
与纤维长比
l d
无关，可见单向
短纤维复合材料的横向模量与连续纤维复合
材料的相同。
（二）随机分布短纤维复合材料
1、修正混合律：
ERandom Co L E f V f Em (1 V f )
的关系为：
ij

S * ijkl ij
（*）
其中四阶张量Sijkl称为Eshelby张量，仅与基 体的材料性能和夹杂物的形状和尺寸有关。如
果夹杂物的形状为椭球，则夹杂内的应变和应
力场是均匀的。关键在于如何求得特征应变的
值。利用等效夹杂理论有：
CI ijkl
(
0 kl
kl )

C0 ijkl
3、有效模量理论
1）给定均匀应变边界条件
ui
(s)


0 ij
x
j
ij
1 v
v ij
dv


0 ij
而
ij
1 v
v
0 ijdv
ij

C* ijkl

kl
其中
C* ijkl
为复合材料的有效模量。
其应变能为： U
1 2

v
ij

ij
dv

1 2
Ci*jklij klv
3）有效模量的严格理论解
只有按上述两种均匀边界条件算得的有效 弹性模量一致，并可由RVE的解向邻近单元连 续拓展到整体时，所得的有效弹性模量才是严 格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹 性模量才能通过体积平均应力、应变进行计算； 或按应变能计算。
§8-3 有效模量的材料力学半经验解法
(
0 kl
kl


* kl
)
将（*）代入该式则可求得特征应变，进 而求得夹杂内外的弹性场。
2、单向短纤维复合材料的弹性性能预测
设沿1方向作用均匀应力

0 11
求 E1 和 12
1
因为材料内部有：
2a 2b
3
ij


0 11
表示平均值。
2
11

0 11
只需求得材料内的平均应变 ij
rf2
ln(
R rf
)

其中 Gm 为基体剪切模量，rf 为纤维半经，R为
纤维间距，l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET (长)
2、Halpin-Tsai方程


EL Em

1

2
l d

LV
f
1 LV f

ET
1 2TV f
Em 1 TV f
而 利用
1 E11 , f E f f , m Em m
1 f m
E1 E f V f EmVm
称为纵向有效模量的混合律。
（二）纵向泊松比 21 RVE的纵向应变关系式：
2 f 2V f m2Vm
两边同时除以 1 ，可得：
1、RVE的尺寸<<整体 尺寸，则宏观可看成一 点； 2 、 RVE 的 尺 寸 > 纤 维 直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积 分数。
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积； v —复合材料体积
注意：
只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体
积单元时，复合材料的应力应变等才有意义。

* 11

和

* 22

，进而求得
11 和 22 。最后可得：
Erandom

0 11
11
random


22 11
注意：上述计算均未计及纤维之间的互相作用。
三、数值计算方法（有限元法）
由前面的分析可知
ij


0 11
；而

ij



1 Kf
Vf 1
)
K f Km Gm
3、 K23 Km
Vf 1 Vm
（平面应变体积模量）
K f Km Km Gm
4、
G12
Gm
G f (1 V f ) GmVm G f Vm Gm (1 V f )
5、 G23 可由三相模型求得： 利 用 在 r 处 施加纯剪均匀 应力边界条件 下，两者（a） 和（b）的应变 能相等来确定
Co 即为位向因子，在0.375~0.5之间，材料
为面内各向同性。
2、基于halpin-Tsai的经验公式：
E Random

3 8
EL

5 8
ET
§8-4 有效模量的其他力学模型解
一、复合圆柱模型
a / b const Vf
a）复合圆柱族模型
b）求 E1 和 21
c）求 K 23
d）求 G12
微观的，涉及 组分属性和微 结构分布
模量、强度
组分的含量、 形状、结合 状态等
细观力学建 立二者之间 的关联
§8-2 有效模量理论
一、有效模量理论
1、宏观均匀、代表性体积单元
复合材料中的增强体 的几何分布可以是规 则的（如图），也可 以是不规则的。
总体来看，复合材料是宏观均匀的，因此 研究其某些性能时，只须取其一代表性体积单 元（representative volume element）来研究即 可代表总体，见图。 RVE的要求：
即可求得该材料的有效模量。
由Eshelby夹杂理论可得：
ij


0 ij

f

* ij

其中f为纤维体积分数；
* ij
即特征应变。
对椭圆形夹杂，Eshelby已经证明

* ij
在夹杂内部
是均匀的，而在夹杂以外为零，且有：

c ij

S * ijkl kl
Ci0jkl
(
0 kl
一、长纤维复合材料
（一）纵向有效模量 E1
采用平面假设，在P力作用下，对RVE有：
1 f

m

l l
（下标f、m表示纤维和基体）
ij
1 v

v
ij
dv

vf v
1 vf
vf
ijdv
vm v
1 vm
vm ij dv
( f )Vf ( m )Vm
所以有 1 f V f mVm
（五）Halpin-Tsai方程
单向纤维增强的单层的五个有效模量分 别由下式计算：
E1 E f V f EmVm
21 f V f mVm
M 1 Vf M m 1Vf
（M表示 E2 , G12或 23 ） *
其中：
M f 1
Mm M f
Mm
：纤维增强效果的一种度量参数，依赖于
（四）横向有效模量 E2 设 2 m2 f 2 而由平均值关系有：
2 f V f mVm
2 E2 2 , m2 Em2 m2 , f 2 E f 2 f 2
1 V f Vm （倒数混合律）
E2 E f 2 Em
可通过 G12 和 E2 的计算公式可反算 G f 12 和 Ef2 。