三自由度复杂非线性系统的混沌与分岔
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 ３卷 １
第３
报
Ｖ０ ． １ Ｎｏ ３ Ｉ３ ．
２１ ０ ２年 ６ 月 文 章 编 号 ：０ １４ ７ （０ ２ ０ －１８０ １０ －３ ３ ２ １ ） ３０ ５ －３
Ｊ ｕ ｌ ｆＬ ｎｈ ｕＪａｔｎ ｉｅｓ ｙ ｏ ｍａ ｏ ａ ｚ ｏ ｉ ｏ ｇＵｎｖ ｒｉ ｏ ｔ
—
Ｔ
√
一
（，，） １２３ （） ４
ｚ ＝丽 ｉ ， ＝ ＸＫ１ ＝
用 — Ｐ表示 振动 系统 的周 期运 动 ， 示 力 周 表 期数 ， Ｐ表示 碰撞 次 数 ． ０一 ｃ，选 择 Ｐ ｉｃｒ 取 ｏ， ｔ ｏｎａ６截
面：
一
｛ ，１ ，２ｚ ，３ ） Ｒ ￣Ｓ ： （ １主 ，２ｘ ， ３主 ， ∈ ６ １ ｌ
吕 １ Ｔｈ ｄ ｌ ｆｔ ｒ ｅ— ｅ ｒ ｅ— ｆ ｆ ｅ ｄ ｍ ｅ ｍｏ ｅ ｈ ｅ ｄ ｇ ｅ ｏ － ｒ ｅ ｏ ｏ
ｖ ｂ ｏ—ｉ ｐ ｃ ｙ ｔｍ ｉｒ ｍ ａ ｔｓ ｓ ｅ
１ 系统 的动力学模型
图 １ 一 个 三 自由度碰 撞 振 动 的力 学 模 型 ， 为 质
１９ ５
一
一＋
ｓ 一
３ 。 ３ ３ ＋
一Ｔ 娶 十 １ １ 娶。 一 ３ 一
一
１ — １ Ｉ
（ ０ ３ ）
无量 纲量 如下 ：
Ｍ
一 ， 女 一
Ｋ。
， ｃ 一
（，
， ｃ 一
ｘ ２
一
，
一
一
ｎ
，
ａ ｏ＝ ．９ Ｊ ３３ ３
数 ；卜，Ｈ 和 主 ，计 分别 表示 振子 Ｍ】 ｍ 碰 撞 立 主 卜 主 和 前 后 的瞬时 速度 ； 为恢 复系数 ． Ｒ 由式 （） ： ２得
收稿 日期 ：０ ｌ１一Ｏ ２ １－Ｏ３ 作者简介 ： 杨艳萍 （９ ５）女 ， １ ８ 一， 山西忻州人 ， 硕士生
第 ３期
杨艳 萍等 ： 自由度复杂非线 性系统的混沌与分岔 三
ｇ＝ ０ ５ 图 ２中 ， 坐 标 表示 振 子 Ｍ２的无 量纲 速 ＝ ．． ： 纵
度， 横坐标 表 示 振 子 Ｍ２的无 量 纲 位 移 ． 时 ∞≤ 当 ３２， ． ４ 系统具 有稳 定 的 １ １ 期运 动． —周 当 ≥ ３ ２ 到 ．４
０ 引 言
很多动力机械系统中由于各种各样 的因素会导 致有间隙 ， 间隙会导致动力机械系统在工作时机构 间发生 碰撞 ． 前 含 间 隙系 统 的理论 研 究 已 引起 国 之 内外学 者 的普 遍关 注［ ］尤其是 在含 间隙机 械 系统 １． ≈
和冲击 振 动 系统 动力 学 优 化 设计 ， 可靠 性 分 析 和 降
Ｊ ｎ ０ ２ ｕ ｅ２ １
三 自由度 复 杂 非 线 性 系统 的混沌 与分 岔
杨艳 萍 ， 李万祥
（ 兰州交通大学 机电与动力工程 工程学 院， 甘肃 兰州 ７０ ７ ） ３０ ０
摘
要： 建立 了三 自由度碰撞 振动 系统的动 力学模型 ， 导 出系 推 统 １ 一 周期运 动的六维 Ｐ ｉ ａ６ ｏ ｃｒ 映射 ， ｎ 运用数值 法
ｏ 工
下Ｔ Ｉｓｎ＋ Ｐｎ ｌ（ ｉ
低噪声 问题［ ２ 蜘方面． 碰撞振动系统逐渐成为人们研
究 分 岔［ ， ４ 混沌 理论 及应用 于实 践 的工具 ． ］
本 文通过建立碰撞振动系统 的运动微分方程 ， 根据 边 界 条 件 推 出 一 １碰 撞 周 期 运 动 的 六 维
Ｐ ｉｃｒ ｏｎａ６映射 ， 计算 了 Ｊｃｂ 矩阵 的特征 值 ， ａｏ ｉ 进一 步
研究了 ７ｌ ＂ 周期运动的稳定性与分岔 ， ／ 一 数值分析 了
三 自由度 振 动系统 的 １１周期运 动 的环 面倍 化分 岔 － 并 走 向混 沌 的过 程．
图 １ 三 自由度碰撞振动 系统 的力学模型
（） ６
ｘ ２
１ １ 碰撞 振动 系统 的 Ｈｏ ｆ ． ｐ 分岔 以及 混沌
ｃ０＝３７ ．７
选取图 １ 系统 一 组无量 纲参 数 ： ００ ３ 一 一 ． ６ ；
０ ５ ５／ ． ７ ； 一 ０ ７ ； 一 ０ ６ ５Ｒ 一 ０ ６ ３ 厂０ ０ ２ ． ３ ．４； ． ２ ；２— ；
［０１ － ＋ ） ７＋ ２ ｐ
［
釜３： 一 Ｇ ＝ ＝
㈡一 ｛
“
（） １
振子 Ｍ１ ｍ 的冲击方程为 与
主 一＋ 卜 一 立＋＋ 汁 主 ＋一主 十一一 Ｒ（ 卜 一ｋ－ １ ３ ｘ ３） （） ２
式 （） １ 和式 （ ）中“ ” 示对 无量 纲时 间 ｔ ２ ・表 求导
分 方程 为
量为和的振子分别 由刚度为和的线性弹簧和阻尼系 数为和的线性阻尼器相联接， 振子连在 的下端面， 两 个振子只做铅垂方向的运动， 有一质量为的物块 由 于重力作用 由上方落下与相碰 ， 碰撞之后速度方 向 改变 ， 以新的初值运 动与相碰 ， 又 如此反复． 振子和 分别受到简谐激振力 和． 碰撞过程 由碰撞恢 复系数 尺 确定 ． 假 设 力学 模 型 中 的阻 尼 是 Ｒａ ｌｉｈ型 比例 阻 ｙｅ ｇ 尼． 在任意连续两次碰撞 之间振动系统 的无量纲微
演示 了系统 由 Ｈｏ ｆ ｐ 分岔 ， 周期倍 化分岔通向混沌过程． 对该 系统分岔 与混沌行 为的研 究， 工程 实际 中含 间 隙机 为
械 系统 和 冲 击振 动 系统 的优 化 设 计 提 供 了依 据． 关 键 词 ：ｏｎａ６映 射 ； Ｐ ｉｃｒ 周期 运动 ； 岔 ； 沌 分 混 中 图分 类 号 ： ＴＨ１３ １ 文 献标 志 码 ： Ａ
，
主 １一 Ｘ＋，３一 主 ｝ ‘ 奎 ｌ 抖
构造 含 间隙振 动 系统 的 Ｐ ｉｃｒ 映射 ： ｏｎａ６
Ｘ 一 ｆ ｖ ） （， （） ５
其中： 为实 数 ，
７∈ Ｒ ， 一 （ ０主 ０－０ ｘｏ主 ０ ｒ ２ Ｘ １， １， ２， ２， ３，） ｚ
Ｘ 一 （ ， ， ２， ， ，） ｚ １ ２ １ ｏ主 ２ 主 ３ ｒ ０ ｃ０ ｏ ０
第３
报
Ｖ０ ． １ Ｎｏ ３ Ｉ３ ．
２１ ０ ２年 ６ 月 文 章 编 号 ：０ １４ ７ （０ ２ ０ －１８０ １０ －３ ３ ２ １ ） ３０ ５ －３
Ｊ ｕ ｌ ｆＬ ｎｈ ｕＪａｔｎ ｉｅｓ ｙ ｏ ｍａ ｏ ａ ｚ ｏ ｉ ｏ ｇＵｎｖ ｒｉ ｏ ｔ
—
Ｔ
√
一
（，，） １２３ （） ４
ｚ ＝丽 ｉ ， ＝ ＸＫ１ ＝
用 — Ｐ表示 振动 系统 的周 期运 动 ， 示 力 周 表 期数 ， Ｐ表示 碰撞 次 数 ． ０一 ｃ，选 择 Ｐ ｉｃｒ 取 ｏ， ｔ ｏｎａ６截
面：
一
｛ ，１ ，２ｚ ，３ ） Ｒ ￣Ｓ ： （ １主 ，２ｘ ， ３主 ， ∈ ６ １ ｌ
吕 １ Ｔｈ ｄ ｌ ｆｔ ｒ ｅ— ｅ ｒ ｅ— ｆ ｆ ｅ ｄ ｍ ｅ ｍｏ ｅ ｈ ｅ ｄ ｇ ｅ ｏ － ｒ ｅ ｏ ｏ
ｖ ｂ ｏ—ｉ ｐ ｃ ｙ ｔｍ ｉｒ ｍ ａ ｔｓ ｓ ｅ
１ 系统 的动力学模型
图 １ 一 个 三 自由度碰 撞 振 动 的力 学 模 型 ， 为 质
１９ ５
一
一＋
ｓ 一
３ 。 ３ ３ ＋
一Ｔ 娶 十 １ １ 娶。 一 ３ 一
一
１ — １ Ｉ
（ ０ ３ ）
无量 纲量 如下 ：
Ｍ
一 ， 女 一
Ｋ。
， ｃ 一
（，
， ｃ 一
ｘ ２
一
，
一
一
ｎ
，
ａ ｏ＝ ．９ Ｊ ３３ ３
数 ；卜，Ｈ 和 主 ，计 分别 表示 振子 Ｍ】 ｍ 碰 撞 立 主 卜 主 和 前 后 的瞬时 速度 ； 为恢 复系数 ． Ｒ 由式 （） ： ２得
收稿 日期 ：０ ｌ１一Ｏ ２ １－Ｏ３ 作者简介 ： 杨艳萍 （９ ５）女 ， １ ８ 一， 山西忻州人 ， 硕士生
第 ３期
杨艳 萍等 ： 自由度复杂非线 性系统的混沌与分岔 三
ｇ＝ ０ ５ 图 ２中 ， 坐 标 表示 振 子 Ｍ２的无 量纲 速 ＝ ．． ： 纵
度， 横坐标 表 示 振 子 Ｍ２的无 量 纲 位 移 ． 时 ∞≤ 当 ３２， ． ４ 系统具 有稳 定 的 １ １ 期运 动． —周 当 ≥ ３ ２ 到 ．４
０ 引 言
很多动力机械系统中由于各种各样 的因素会导 致有间隙 ， 间隙会导致动力机械系统在工作时机构 间发生 碰撞 ． 前 含 间 隙系 统 的理论 研 究 已 引起 国 之 内外学 者 的普 遍关 注［ ］尤其是 在含 间隙机 械 系统 １． ≈
和冲击 振 动 系统 动力 学 优 化 设计 ， 可靠 性 分 析 和 降
Ｊ ｎ ０ ２ ｕ ｅ２ １
三 自由度 复 杂 非 线 性 系统 的混沌 与分 岔
杨艳 萍 ， 李万祥
（ 兰州交通大学 机电与动力工程 工程学 院， 甘肃 兰州 ７０ ７ ） ３０ ０
摘
要： 建立 了三 自由度碰撞 振动 系统的动 力学模型 ， 导 出系 推 统 １ 一 周期运 动的六维 Ｐ ｉ ａ６ ｏ ｃｒ 映射 ， ｎ 运用数值 法
ｏ 工
下Ｔ Ｉｓｎ＋ Ｐｎ ｌ（ ｉ
低噪声 问题［ ２ 蜘方面． 碰撞振动系统逐渐成为人们研
究 分 岔［ ， ４ 混沌 理论 及应用 于实 践 的工具 ． ］
本 文通过建立碰撞振动系统 的运动微分方程 ， 根据 边 界 条 件 推 出 一 １碰 撞 周 期 运 动 的 六 维
Ｐ ｉｃｒ ｏｎａ６映射 ， 计算 了 Ｊｃｂ 矩阵 的特征 值 ， ａｏ ｉ 进一 步
研究了 ７ｌ ＂ 周期运动的稳定性与分岔 ， ／ 一 数值分析 了
三 自由度 振 动系统 的 １１周期运 动 的环 面倍 化分 岔 － 并 走 向混 沌 的过 程．
图 １ 三 自由度碰撞振动 系统 的力学模型
（） ６
ｘ ２
１ １ 碰撞 振动 系统 的 Ｈｏ ｆ ． ｐ 分岔 以及 混沌
ｃ０＝３７ ．７
选取图 １ 系统 一 组无量 纲参 数 ： ００ ３ 一 一 ． ６ ；
０ ５ ５／ ． ７ ； 一 ０ ７ ； 一 ０ ６ ５Ｒ 一 ０ ６ ３ 厂０ ０ ２ ． ３ ．４； ． ２ ；２— ；
［０１ － ＋ ） ７＋ ２ ｐ
［
釜３： 一 Ｇ ＝ ＝
㈡一 ｛
“
（） １
振子 Ｍ１ ｍ 的冲击方程为 与
主 一＋ 卜 一 立＋＋ 汁 主 ＋一主 十一一 Ｒ（ 卜 一ｋ－ １ ３ ｘ ３） （） ２
式 （） １ 和式 （ ）中“ ” 示对 无量 纲时 间 ｔ ２ ・表 求导
分 方程 为
量为和的振子分别 由刚度为和的线性弹簧和阻尼系 数为和的线性阻尼器相联接， 振子连在 的下端面， 两 个振子只做铅垂方向的运动， 有一质量为的物块 由 于重力作用 由上方落下与相碰 ， 碰撞之后速度方 向 改变 ， 以新的初值运 动与相碰 ， 又 如此反复． 振子和 分别受到简谐激振力 和． 碰撞过程 由碰撞恢 复系数 尺 确定 ． 假 设 力学 模 型 中 的阻 尼 是 Ｒａ ｌｉｈ型 比例 阻 ｙｅ ｇ 尼． 在任意连续两次碰撞 之间振动系统 的无量纲微
演示 了系统 由 Ｈｏ ｆ ｐ 分岔 ， 周期倍 化分岔通向混沌过程． 对该 系统分岔 与混沌行 为的研 究， 工程 实际 中含 间 隙机 为
械 系统 和 冲 击振 动 系统 的优 化 设 计 提 供 了依 据． 关 键 词 ：ｏｎａ６映 射 ； Ｐ ｉｃｒ 周期 运动 ； 岔 ； 沌 分 混 中 图分 类 号 ： ＴＨ１３ １ 文 献标 志 码 ： Ａ
，
主 １一 Ｘ＋，３一 主 ｝ ‘ 奎 ｌ 抖
构造 含 间隙振 动 系统 的 Ｐ ｉｃｒ 映射 ： ｏｎａ６
Ｘ 一 ｆ ｖ ） （， （） ５
其中： 为实 数 ，
７∈ Ｒ ， 一 （ ０主 ０－０ ｘｏ主 ０ ｒ ２ Ｘ １， １， ２， ２， ３，） ｚ
Ｘ 一 （ ， ， ２， ， ，） ｚ １ ２ １ ｏ主 ２ 主 ３ ｒ ０ ｃ０ ｏ ０