第10章含有耦合电感的电路例题

+ * 0.4H u2
t i() 0
－
t
i(t) i() [i(0 ) i()]e e100tA
u2 (t)
M
di dt
0.1 d dt
(e100t
)
10e100t V
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•
例8 已知 US=20 V , 原边引入阻抗 Zl=10–j10.
求: ZX 并求负载获得的有功功率.
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•
解2 作出去耦等效电路，(一对一对消):
M12
• L1
L2 •
*
M31
L3
*
M23
L1–M12 L2–M12
*
L3+M12
M31 *
M23
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13 L1–M12 +M23
L3+M12–M23 –M13
M31
L2–M12 –M23 L3+M12 –M23
+
10000
–
j100 Z
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•
100
100
j(L-20)
j(L-20)
+
j100＋
10000
uoc
–
－
j100 Zeq
Uoc
j100US 100 j100
j100 100 100 j100
50
2450 V
Zeq 100 // j100 50 j50
Z
Z* eq
50
j50
Pmax
例1
第10章 i1 M
含有耦合电感的电路写
i2
i1 M i2
出
+* *+
+*
+
图
u_1 L1 L2 _u2
u_1 L1
L2 *
_u2
示 电
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
i1 M i2
+* u_1 L1
+
L2 *
_u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
(M )2
Z22
j
M2 L2
Zab Z11 Zl jL1 j
jL1(1
M2 L1L2
)
jL1(1
M2 L2 k
2
b 解2 Lab
)
US
M
–
画出去耦等效电路
L1
M
M
(L2 L2
M
))
L1L2 M 2 L2
L1(1
M2 L1L2
L1(1 k 2 )
)
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• 例11
106rad/s, Us 100o V
求出最大功率。
解 ①判定互感线圈的同名端
100
R
I * M *
+ jL1 jL2
US
1/jC Z
–
L1*
＋
－uS(t)
M *L2
CZ
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•
②作去耦等效电路
100
j(L-20)
+
10000
–
j100 j20
Z －j20
R
I * M *
+ jL1 jL2
US
1/jC Z
–
100
j(L-20)
Z22
j146 0.111 64.9 42.08 j18.85
16.225.1 0.3511A 46.1124.1
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•
解2 应用副边等效电路
+ (M )2 I2
UOC
jM
I1
jM
R1
US
jL1
Uoc –
Z11
Z22
1150 j146
14.850 V
20 j1130.4
10
j2
10+j10
+
**
I2 +
US –
j10
j10 ZX US –
Zl
解
Zl
ω2M 2 Z22
ZX
4
j10
10
j10
ZX 0.2 j9.8 Ω
负载获得功率： P PR引 （102010）2Rl 10 W
实际是最佳匹配： Zl Z1*1 ,
P
US2 4R
10
W
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• 例9 L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 ,
6H
b
0.5H
解
a 2H 7H
Lab=5H
9H -3H
b
0.5H
M=4H
a 5H
6H
b 2H
3H
M=1H
a 1H Lab=6H
b 3H
2H 3H
4H
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• 例4 列写电路的回路
电流方程。
R1 i1 uS * L1
+ + R2 － －ki1 M * L2
C
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•
解
R1 i1 1uS * L1
Zab
1.5 * * +
3U2
U2 10
－
U (I 3U2) (1.5 10n2) I
U1 (I 3U2 ) 10n2
U1 Un2 U23100nnI1
+
1.5 +
U –
3U2
U1
－
10 n2
Zab
0.25
UI
1.5 10n2 30n 1
n=0.5 n=0.25
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•
例16 求电阻R 吸收的功率 解 应用回路法
L1=L2=0.1mH , M=0.02mH , R1=10 , C1=C2=0.01F 问：R2=？能吸收最大功率, 求最大功率。
1/j C1 j M 1/j C2
+
**
US –
R1
j
L1
j L2
R2
解1
L1 L2 M 20 Z22 R2 j(
100
Z11
L2
1
C2
1 1 100
C1
R2=0.08 , RL=42 , 314rad/s, Us 1150o V
求 : I1 , I2.
I1 R1 j M R2
解1
应用原边 等效电路
+
US
Z11 R1 jωL1
–
j L*1
*j
I2
L2
RL
20 j1130.4Ω
Z22 R2 RL jωL2 42.08 j18.85 Ω
U oc 4Req
(50 2)2 4 50
25W
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•
例13
已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为 使RL获得最大功率，求理想变压器的变比n。
RS n:1
+
**
uS_
RL
RS +
uS n2RL –
解 应用变阻抗性质
当 n2RL=RS 时匹配，即 10n2=1000 n2=100， n=10 .
•
U1
–
–
n 2 RL
( 1 )2 10
50
1 2
Ω
U1
100o 11/ 2
1 2
10 3
0o
V
n2RL
U2
1 n
U1
10
U1
33.330o
V
方法3：戴维宁等效
求Uoc :
I2 0, I1 0
I1 1 1 : 10
+
100o
*
V
*
_
I2
+ Uoc –
Uoc 10U1 10US 1000o V
+ 40V 10
* 0.2H
– 10
i
+ * 0.4H u2
－
解 副边开路，对原边回路无影响，开路电压u2(t) 中只有互感电压。先应用三要素法求电流i(t).
i(0
)
i(0
)
10
40 //10
15
1 2
1A
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•
10 M=0.1H
t 0 0.2 0.01s
20
10
* 0.2H
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•
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
+ R1 I1
US _
+
L3+M12–M23 –M13
Uo_c
I1
R1
U S
j(L1 L3
2M 31)
Uoc
j(L3 M12 M 23 M 31)US R1 j(L1 L3 2M )31
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• 例14 求电压 U2 .
I1 1 1 : 10
+
*
100o V
*
_
I2
+ U2 50 –
解 方法1：列方程
1 I1 U1 100o
50 I2 U2 0
U1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 10
U2
解得
U2 33.330o V
I1 10I2
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•
方法2：阻抗变换 I1 1
+
+
100o V
R1 j(
L1 C2 1C1
)
10
) R2
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•
应用原边等效电路
Zl
(M )2
Z22
400 R2
当
Zl
Z11
10
400 R2
+ I1 10
400
US –
R2
R2=40 时吸收最大功率
Pmax 102 (4 10) 2.5W
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•
解2 应用副边等效电路
Zl
(M )2
Z11
+ + R2 － －ki12 M3 * L2
C
(R1 jL1)I1 jL1I3 jM (I2 I3) US
(R2 jL2 )I2 jL2I3 jM (I1 I3) kI1
(
jL1
jL2
j1
C
)I3
jL1I1
jL2 I2
jM (I3 I1) jM (I3 I2 ) 0
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•
例5 求图示电路的开路电压。
I1 R1
+
US
_
M12
• L1
L2 •
M31 L3 *
*+
M23 Uoc
_
解1
•
I1
R1
U S
j(L1 L3
2M31)
U0c jM12I1 jM 23I1 jM 31`I1 jL3I1
j(L3 M12 M 23 M 31)US R1 j(L1 L3 2M 31)
UOC jM
400 40 10
US j20 10
Z11
10
j20
+ Uoc V–
(M )2 40
Z11
I2
R2
当 Zl R2 40 时吸收最大功率
Pmax 202 (4 40) 2.5W
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•
例12
已知L2
120,M
1
C
20,
uS (t) 100 问2 cZo为s何t 值时其上获得最大功率，
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L2
di2 dt
i1
M
i2 _
+* u_1 L1
L2 u2 *+
路 电 压、 电 流 关 系 式
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例2 已知R1 10, L1 5H, L2 2H, M 1H,求u(t)和u2(t)
M
i1/A
+ u _
i1 R1 * L1
* R2 + 10
L2
_u2
0 1 2 t/s
解
10V 0 t 1s
u2 (t)
M
di1 dt
10V 0
1t 2 t
2s
10t 0 t 1s
i1 20 10t 1 t 2s
0
2 t
u(t)
R1i1
L
di1 dt
10100t0t
50 V 150V
0
0 t 1s 1 t 2s 2 t
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例3 求等效电感 Lab
M=3H
a 2H 4H
I1 1
1 1 : 10
I2
+
US
–
+ * * + 1
1 U1
–
U2 –
2
3 R=1
解得
I3
US
(1 n 2n 3n 2 n
1)
I2
US (1 n / 3n / 2 1
2) n
I1
US
•
U
1
2I2 I3 U2
I2 2I3 US
U1 nU2
I1
1 n
I2
I I2 I3
P RI 2
•
例6 要使 i=0，问电源的角频率为多少？
M R
i
解
当 M 1 C
L1
L2
+
Z
1
uS
C
MC
－
I 0
R*
+ L1
US
–
M *
L2 I
CZ
R L1－M L2－M
+
US
M I
Z
–
C
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• 例7
图示互感电路已处于稳态，t = 0 时开关打开，
求t >0+时开路电压u2(t)。 5 10 M=0.1H
(M )2 1462 j18.85
Z11 20 j1130.4
I2
j18.5
UOC 42.08
j18.85
0.3530
A
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•
例10 全耦合电路如图，求初级端ab的等效阻抗。
a
M
+* *
L1－M L2－M a
+
US L1
L2
b–
解1 Z11 j L1 Z22 j L2
Zl
+ I1 Z11 US
–
(ωM )2 Z22
Zl
X
2 M
Z22
1462 46.1124.1
422 j188.8
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•
+ I1 Z11
(ωM )2
I1
US Z11 Zl
US –
Z22
115 0
0.111(64.9o ) A
20 j1130.4 422 j188.8
I2
jM I1
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• 求 Req：
1 1 : 10
*
* Req
Req=1021=100
戴维宁等效电路： 100
U2
1000o 100 50
50
33.330o
V
+
+
1000o V –
50 U2
–
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• 例15
解
已知图示电路的等效阻抗Zab=0.25，求理想变
压器的变比n。
n:1
应用阻抗变换 外加电源得：