第十二次课第四章连续体的振动

伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）
§4.4 梁的弯曲振动
y
f ( x, t )
f(x,t):单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩 令： y(x,t):距原点x处的截面在t时刻 的横向位移
y( x, t )
0
x
dx
x
f ( x, t )dx
微段受力分析
j
c
x B j cos
j
c
x)sin( j j )
例-3：上端固定，下端装有转动惯量为 I P的圆盘，圆轴的极惯性矩为 JP，其剪切弹性模量为G，试分析其扭转振动的频率方程。
解：
JP
( x, t ) ( A sin
n
c
x B cos
n
c
x) sin(nt )


i
i
3
(1)
( i 1) / 2
ix cos d sin t 2l
§4.2 杆的纵向振动
小结
1. 建立动力学方程 2. 根据边界条件求解固有频率和模态 3. 变量分离
u( x, t ) i ( x)qi (t )
i 1
i , i ( x)
物理空间问题
4. 代入动力学方程，并利用正交性条件 j 2 q 得到模态空间方程 j q j Q j (t ) 5. 物理空间初始条件转到模态空间 6. 模态空间方程求解
JP
d4
A
32 I P r 2 dm dx r 2dA dxJ P
2 ( x, t ) M ( x, t ) J p dx dx [GJ p ]dx 2 t x x x
1 I P mR 2 (圆截面的转动惯量) 2
2 ( x, t ) 2 ( x, t ) Jp GJ p 2 t x 2 2 2 G ( x , t ) ( x, t ) 2 设c 则有： c 2 t x 2 c :表示剪切波在杆内的传播速度 它的解为 n n ( x, t ) ( A sin x B cos x) sin(nt )
i ( x)

u * i ( x)qi (t ) 2 i i 1 cos x, i 1,3,5,... l 2l
i 1, 3, 5,...
'' 2 ( Sqii ESqii ) Sd sin t
用 j ( x) 乘上式，并沿杆长积分：
(q
Fs
Fs , M : 截面上的剪力和弯矩
Sdx
y : t 2
2
M
m( x, t )dx
微段的惯性力 微段所受的外力 微段所受的外力矩
2 y Sdx 2 t
2u F Sdx 2 ( F dx) F t x
2 (u u g ) 2u S 2 ES t x 2
§4.2 杆的纵向振动
0 (u u g ) u S 2 ES t x 2 令： u* u ug 即： u u* ug
设
tan

n l
c
,

lJ p
IP
α的物理意义为轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比。
下表给出对应于各个不同的α 值时，基本特征值β 的值。

0.01 0.10 2.00 1.08
0.10 0.32 3.00 1.20
0.30 0.52 4.00 1.27
0.50 0.65 5.00 1.32
0.70 0.75 10.0 1.42
0.90 0.82 20.0 1.52
1.00 0.86 100 1.57
1.50 0.98



/2

如近似地取 tg ，则（a）式化简为

2
c2 J p I Pl

GJ p I Pl
（b）
上式也就是略去轴的质量后所得单自由度系统的固有频率公式。
代入得：
c
I p sin
2 n
n
c
x sin(nt ) GJ p A
I pn sin
2
n
c
cos
n
c
x sin(nt ) |x l
简化得：
得：
n l
c
GJ p
n
c
cos
n l
c
(a）
n
c
l tan
nl
c

J pl
Ip
其中
频率方程
进一步的近似可取
tg
3
3
这时有
GJ p l
I P 1 3
（c）
上式也就是将轴的转动惯量的三分之一加到圆盘上后所得单自由度 扭振系统的固有频率公式。只要轴的转动惯量不大于圆盘的转动惯量， 那么计算基频的近似式（c）在实用上已足够准确了。 综上所述，弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动 方程。它们的运动具有共同的规律，如表4-1。
y T x
S
y u ES ES x x
J p
y GJ p GJ p x x
弦的横振
杆的纵振
轴的扭振
波速 c 运动微 分方程
通解
边界条件
固有频率 振型函数
G/ a 0 E / T / A 2 y 1 2 y 2 2 a0 c 2 x c t y yi Ui ( x)Yi (t ) i x i x Yi (t ) Ai sin i t Bi cos i t , U i ( x) Ci sin Di cos c c 一端固定 两端固定 两端自由 一端自由 U (0) U (l ) 0 U ' (0) U ' (l ) 0 U (0) U ' (l ) 0 2i 1 c i a / l i ic / l i 0 i
得：
c
c
式中四个待定常数 A, B, n 及 , 由系统的边界条件和初始条件 确定。 j j j ( x, t ) ( Aj sin x B j cos x) sin( j t j ) j 1, 2
c c
一般解为：
( x, t ) ( Aj sin
j 1

x 2
0 l
x
ug (t ) d sin t
2 2 16 l * u 3E
(1) (i 1) / 2 ix di cos sin t 3 i 2l i 1, 3, 5,...
u u* ug 16 l 2 2 1 3 E
i 1, 3, 5,...
i 1 , 2 , 3 i 1 , 2 , 3
2 l i 1 , 2 , 3
ix U i sin l
ix U i cos l
2i 1 x U i sin l 2
§4.4 梁的弯曲振动
动力学方程 考虑细长梁的横向弯曲振动 梁参数： 单位体积梁的质量 E 弹性模量 外部力： 假设：
2 2 16 l * u 3E
(1) (i 1) / 2 ix di cos sin t 3 i 2l i 1, 3, 5,...

§4.2 杆的纵向振动
u S 2 ES tu u u*
2
2 (u u g )
g
1 i 1 ( / i ) 2
表4Baidu Nhomakorabea1 弦的横振、杆的纵振与轴的扭振对比表 弦的横振 杆的纵振 物 理 参 数 x 截面的 位移 y 单位长度 的质量或 转动惯量
x 截面处力
（或扭矩）
轴的扭振
T 弦的张力 弦的体密度
E 弹性模量 S 截面积 密度
G 剪切弹性模量 J p 截面极惯性矩 密度
横向位移
纵向位移
转 角
A
u( x, t ) i ( x)qi (t )
i 1

模态空间问题
j (0) q j (0), q

q j (t )
u( x, t ) i ( x)qi (t )
i 1
模态叠加法
7. 返回物理空间，得解
§4.3圆轴的扭转振动
假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。
f ( x, t )
y
0
x
I 截面对中性轴的惯性矩
S 梁横截面积
m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩 f(x,t): 单位长度梁上分布的外力 外载荷作用在该平面内
梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内 梁在该平面作横向振动（微振）
这时梁的主要变形是弯曲变形
在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响
2 2
x
l
ug (t ) d sin t
代入方程： Su* ESu*'' Sug Sd 2 sin t 设解为：
u i ( x)qi (t )
* i 1

代入方程，得：

i ( x) 为归一化的正则模态 2 i i ( x) cos x, i 1,3,5,...
0 l
dx
x
ug (t ) d sin t
微段分析 应变：
[u
(u u g ) x dx
dx] u

(u u g ) x
F
u
(u u g ) x
dx
u
F F dx x
内力： F ES ES
(u u g ) x
达朗贝尔原理：
2u Sdx 2 x
l 2l
i 1, 3, 5,...
'' 2 ( S q ESq ) Sd sin t ii i i
§4.2 杆的纵向振动
u S 2 ES t *
2
2 (u u g ) x 2

u u ug
0 l
x
ug (t ) d sin t
边界条件：
IP
( x, t ) M (l , t ) GJ p |x l x
2 ( x, t ) ( x, t ) Ip | GJ | x l x l p t 2 x
(0, t ) 0
对于圆盘的运动微分方程：
由于边界条件得：B=0 n ( x, t ) A sin x sin(nt )
第四章 连续体的振动
§4.2 杆的纵向振动
§4.2 杆的纵向振动
例： 有一根 x=0 端为自由、x=l 端处为固定的杆，固定端承受 支撑运动
ug (t ) d sin t
0
d 为振动的幅值
试求杆的稳态响应。
l
x
u g (t )
解：
u ( x, t )
方程建立
杆上距原点 x 处截面在 时刻 t 的纵向位移
§4.3圆轴的扭转振动
杆的扭转振动，抗扭刚度 ( x, t ) 由材料力学知识
( x, t ) 极惯性矩： M ( x, t ) GJ p x 圆截面极惯性矩： dx 微元段扭矩的增量为
M M M dx M dx x x
GJ p :
x 截面处的扭转角
密度
J P r 2 dA
i 1 i

l 0
Si j dx qi ES j dx) Sd sin t j dx
0 '' i 2 0
l
l
利用正交性：
i q q
2 i i
2 2l (1) (i 1) / 2 d 2 sin t l i
u S 2 ES t
2
2 (u u g ) x 2

u u ug
*
u * i ( x)qi (t )
i 1
0 l
x
ug (t ) d sin t
i ( x)
2 i i
2 i cos x, i 1,3,5,... l 2l
1 2 2l ( i 1) / 2 2 i i q q (1) d sin t 2 1 ( / ) l i i 2 2 2l qi 2 i (1) ( i 1) / 2 d sin t 模态稳态解： i l i
取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一 x截面处的转角表示为θ(x,t) 。
设轴长为l ，单位体积的质量为ρ，圆截面对其中心的极惯性矩为Jp ， 材料的剪切弹性模量为 G 。轴的扭转应变为 ，作用于微元 dx x 2 GJ 两截面上的扭矩分别为 ，及 。 p GJ p ( 2 dx) x x x