生物学]生物医学工程博士论文答辩
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• 级数展开法
直接对公式(A) “离散化”，得到一大型 稀疏线性方程组：
其中：
为投影数据； 为待求图像向量。
级数展开法就是由给定的投影数据Y，估计
出图像向量X； 要求所估X与一组Ｊ个基图象
｛b1,b2,…,bJ} 的组合能足够逼近所希望重建的
图象
。
射线投影可由Radon变换: 来描述;其中 （各参数如下图所示） Radon运用平均值的思想，建立Abel积分方程获得 求逆公式：
3.数字实验结果：
模拟数据
评价函数 滤波函数
归一化均方根 距离测量值
归一化平均绝对 距离测量值
最坏情况 距离测量值
新滤波函数
0.081426
0.013711
0.120148
R_L滤波函数
0.079058
浙江大学博士学位 论文答辩
答辩人： 徐茂林 导师：汪元美 教授
浙江大学生物医学工程与仪器科学学院
2004.3.11 下午2：00
论文题目
透射及散射断层成像中若干反演 算法的研究
A New Approach to Reconstruction Algorithms for Transmission and Scattering
Radon变换示意图：
Radon逆变换公式中的广义积分是发散的， 不能直接用来进行图象重建，需要正则化处理。
由Fourier中心切片定理， Radon逆变换公式 亦可写为：
对滤波器 作正则化处理，可获得CT图像 重建的变换法：
1.滤波反投影算法（filter backprojection简写成 FBP） ：
CT的数学基础：
• 记被测物体对X射线的线性衰减系数为： 根据Beer定理有：
（A）
CT图像重建就是根据以上各个方向的线积分值
（即射线投影）来确定物体内部的组织结构；即
反演分布
。
反演算法
• 变换法
用给定的一系列解析式（算子或函数变换） 反演公式(A)来重建图像 。常用Randon求逆公 式的“离散化”形式。
-1
-0.5
0.5
1
与几个常用滤波函数的频域曲线比较
[-A/4,A/4]
[-A/2,A/2]
黑色曲线：矩形窗 红色曲线：新滤波函数 蓝色曲线：S_L滤波函数 绿色曲线：Hamming滤波函数
时域特性曲线图：
时域特性曲线比较：
新滤波函数 矩形滤波函数
Hamming滤波函数 S_L滤波函数
2.时域特性曲线图的数值分析：
Tomography
说明：
• 本课题承蒙国家自然科学基金（No. 69972047）资助。
• 文中所用的实测数据由中国计量科学研究 院提供。
• 下图是中国计量科学研究院研制的工业CT 机。
工业CT机
论文主要内容
本文立足于二维由投影重建图像理论， 着重讨论了三大块内容：透射断层成像中 变换法和级数展开法这两大基本算法的改 进和创新，包括滤波反投影算法(FBP)的 关键——新滤波函数的设计；图像局部重 建的新方法以及FBP算法的误差估计等； 对级数展开法中迭代算法做出改进，提出 新的对称块迭代算法。在散射断层成像中， 讨论了类似于CT中的滤波反投影算法，对 S.Norton提出的背散射成像的解析重建
卷积反投影算法：
用卷积方法修正投影函数，然后再作直接 反投影重建图像的方法。
优点：
能快速实现，精度高。
一般要求： 完全投影数据，均匀采样。
一.滤波反投影算法的改进 及其它应用
• 新滤波函数及其时频特性分析
1．新滤波函数的表达式及时频特性曲线图
新滤波函数的频域曲线图：
0.2 0.15
0.1 0.05
其中： 为窗函数。
称为滤波函数，W(R)称
2.卷积反投影算法（convolutionbackprojection 简写成CBP）
滤波反投影算法：
采用先修正，后反投影的方法。对每个投 影函数作滤波处理，得到修正的投影函数，然后 在对修正的投影函数作反投影运算。关键问题是 投影函数的修正即：乘以权重因子|R|W(R)。
论文主要内容框架图：
透射及散射断层成像主要改进算法
变换法 （连续系统模型）
级数展开法 （离散系统模型）
算法关键之一： 新滤波函数的设计
局部重建 背散射解析重建公式 Laplace方程边值问题 单目标优化算法 多目标优化算法 的滤波反投影解
时频特性分析 旁瓣迅速衰减性 误差估计 二次误差估计
对称块迭代算法 神经网络算法 （ART、SBIRT、SIRT） （行扫描背散射成像）
3
-
0.75845
0.0271568
S--L滤波函数 0.20264 0.0234391 0.0037529 0.202642 1.65596 -
0.273321
2
6
0.0585209
注：mk为滤波函数的k阶矩，定义为：
讨论：
• 滤波函数对重建误差的影响主要有以下三 个因素：主瓣，临近旁瓣及远处旁瓣。主 瓣越高越窄，空间分辨率越好；旁瓣越小， 数值精度越高，通常密度分辨率就越好。 从时域特性图中及上表中可以看出，新滤 波函数的主瓣高而窄，尤其是远处旁瓣几 乎为零，能够在保证空间分辨率的同时， 相对地提高密度分辨率。
公式，基于散射的物理过程重新作了推导， 使探测器响应函数有了明确的物理意义；针 对散射问题由于射线“衰减”所导致的问题 的“非线性性”及“不适定性”，给出基于 散射能量谱的行扫描Compton背散射成像模 型——一个大型非线性方程组；用基于多目 标优化的神经网络算法求得重建问题的解。
此外，用滤波反投影方法给出了Laplace 方程一般边值问题解的解析表达式，提供了 势函数的一种快速求解算法。
以下将精细地讨论新滤波函数的特性，给出其主瓣、 旁瓣的幅值和宽度,并与常用滤波函数作比较。
求解上式，可依次得出主、旁瓣的宽度和 幅值，列表如下：
各滤波函数主瓣、旁瓣的幅值和宽度
幅值和
源自文库
幅宽
m0
m2
滤波函数
新滤波函数
0.14908 0.0120434
m4
0.0013627 5
主瓣幅值 主瓣宽
0.14908 1.99762
第一旁瓣 幅值
0.0151701
第一旁瓣 宽
0.300684
R—L滤波函 数
0.25
0.03125
0.0052083 0.25 3
1.55939 -
0.322961
0.0823362
Hamming 滤波函数
0.08839 0.0064806 0.0007958 0.088392 2.0577
23
2
93
直接对公式(A) “离散化”，得到一大型 稀疏线性方程组：
其中：
为投影数据； 为待求图像向量。
级数展开法就是由给定的投影数据Y，估计
出图像向量X； 要求所估X与一组Ｊ个基图象
｛b1,b2,…,bJ} 的组合能足够逼近所希望重建的
图象
。
射线投影可由Radon变换: 来描述;其中 （各参数如下图所示） Radon运用平均值的思想，建立Abel积分方程获得 求逆公式：
3.数字实验结果：
模拟数据
评价函数 滤波函数
归一化均方根 距离测量值
归一化平均绝对 距离测量值
最坏情况 距离测量值
新滤波函数
0.081426
0.013711
0.120148
R_L滤波函数
0.079058
浙江大学博士学位 论文答辩
答辩人： 徐茂林 导师：汪元美 教授
浙江大学生物医学工程与仪器科学学院
2004.3.11 下午2：00
论文题目
透射及散射断层成像中若干反演 算法的研究
A New Approach to Reconstruction Algorithms for Transmission and Scattering
Radon变换示意图：
Radon逆变换公式中的广义积分是发散的， 不能直接用来进行图象重建，需要正则化处理。
由Fourier中心切片定理， Radon逆变换公式 亦可写为：
对滤波器 作正则化处理，可获得CT图像 重建的变换法：
1.滤波反投影算法（filter backprojection简写成 FBP） ：
CT的数学基础：
• 记被测物体对X射线的线性衰减系数为： 根据Beer定理有：
（A）
CT图像重建就是根据以上各个方向的线积分值
（即射线投影）来确定物体内部的组织结构；即
反演分布
。
反演算法
• 变换法
用给定的一系列解析式（算子或函数变换） 反演公式(A)来重建图像 。常用Randon求逆公 式的“离散化”形式。
-1
-0.5
0.5
1
与几个常用滤波函数的频域曲线比较
[-A/4,A/4]
[-A/2,A/2]
黑色曲线：矩形窗 红色曲线：新滤波函数 蓝色曲线：S_L滤波函数 绿色曲线：Hamming滤波函数
时域特性曲线图：
时域特性曲线比较：
新滤波函数 矩形滤波函数
Hamming滤波函数 S_L滤波函数
2.时域特性曲线图的数值分析：
Tomography
说明：
• 本课题承蒙国家自然科学基金（No. 69972047）资助。
• 文中所用的实测数据由中国计量科学研究 院提供。
• 下图是中国计量科学研究院研制的工业CT 机。
工业CT机
论文主要内容
本文立足于二维由投影重建图像理论， 着重讨论了三大块内容：透射断层成像中 变换法和级数展开法这两大基本算法的改 进和创新，包括滤波反投影算法(FBP)的 关键——新滤波函数的设计；图像局部重 建的新方法以及FBP算法的误差估计等； 对级数展开法中迭代算法做出改进，提出 新的对称块迭代算法。在散射断层成像中， 讨论了类似于CT中的滤波反投影算法，对 S.Norton提出的背散射成像的解析重建
卷积反投影算法：
用卷积方法修正投影函数，然后再作直接 反投影重建图像的方法。
优点：
能快速实现，精度高。
一般要求： 完全投影数据，均匀采样。
一.滤波反投影算法的改进 及其它应用
• 新滤波函数及其时频特性分析
1．新滤波函数的表达式及时频特性曲线图
新滤波函数的频域曲线图：
0.2 0.15
0.1 0.05
其中： 为窗函数。
称为滤波函数，W(R)称
2.卷积反投影算法（convolutionbackprojection 简写成CBP）
滤波反投影算法：
采用先修正，后反投影的方法。对每个投 影函数作滤波处理，得到修正的投影函数，然后 在对修正的投影函数作反投影运算。关键问题是 投影函数的修正即：乘以权重因子|R|W(R)。
论文主要内容框架图：
透射及散射断层成像主要改进算法
变换法 （连续系统模型）
级数展开法 （离散系统模型）
算法关键之一： 新滤波函数的设计
局部重建 背散射解析重建公式 Laplace方程边值问题 单目标优化算法 多目标优化算法 的滤波反投影解
时频特性分析 旁瓣迅速衰减性 误差估计 二次误差估计
对称块迭代算法 神经网络算法 （ART、SBIRT、SIRT） （行扫描背散射成像）
3
-
0.75845
0.0271568
S--L滤波函数 0.20264 0.0234391 0.0037529 0.202642 1.65596 -
0.273321
2
6
0.0585209
注：mk为滤波函数的k阶矩，定义为：
讨论：
• 滤波函数对重建误差的影响主要有以下三 个因素：主瓣，临近旁瓣及远处旁瓣。主 瓣越高越窄，空间分辨率越好；旁瓣越小， 数值精度越高，通常密度分辨率就越好。 从时域特性图中及上表中可以看出，新滤 波函数的主瓣高而窄，尤其是远处旁瓣几 乎为零，能够在保证空间分辨率的同时， 相对地提高密度分辨率。
公式，基于散射的物理过程重新作了推导， 使探测器响应函数有了明确的物理意义；针 对散射问题由于射线“衰减”所导致的问题 的“非线性性”及“不适定性”，给出基于 散射能量谱的行扫描Compton背散射成像模 型——一个大型非线性方程组；用基于多目 标优化的神经网络算法求得重建问题的解。
此外，用滤波反投影方法给出了Laplace 方程一般边值问题解的解析表达式，提供了 势函数的一种快速求解算法。
以下将精细地讨论新滤波函数的特性，给出其主瓣、 旁瓣的幅值和宽度,并与常用滤波函数作比较。
求解上式，可依次得出主、旁瓣的宽度和 幅值，列表如下：
各滤波函数主瓣、旁瓣的幅值和宽度
幅值和
源自文库
幅宽
m0
m2
滤波函数
新滤波函数
0.14908 0.0120434
m4
0.0013627 5
主瓣幅值 主瓣宽
0.14908 1.99762
第一旁瓣 幅值
0.0151701
第一旁瓣 宽
0.300684
R—L滤波函 数
0.25
0.03125
0.0052083 0.25 3
1.55939 -
0.322961
0.0823362
Hamming 滤波函数
0.08839 0.0064806 0.0007958 0.088392 2.0577
23
2
93