最速降线问题

a
2
A2
这就是光学中的Snell折射定律
建立数学模型
若用与x 轴平行的直线将 分析；如图建坐标系， AB 分割成小段, 考虑在第k c x A 层与k+1层质点在曲线上的下 a 滑，依能量守恒律，可近似 k 认为质点在每层内的速度不 变，于是依辅助结论知
sin k sin k 1 vk vk 1
那么我们的问题成为
求某个 y ˆ E,使得
ˆ ) min T ( y ) T(y
yE
引进集合 E0 { ( x) C 1[0, c], (0) 0, (c) 0}
ˆ ( x) 是最速曲线函数,则 显然若 y ˆ ( x) ( x) E, R , E0 y
1
2
3
4
5
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？ 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点 何时越过l ？ 如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1 别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 为a, b, OD =c, 质点经过l于C OC=x 那么质点由A1到A2需时间
E0
由于 的任意性,得到
d ˆ, y ˆ )) f y ( y ˆ, y ˆ ) 0 ( f y ( y dx
d ˆ y ˆ f y ( y ˆ, y ˆ ) f ( y ˆ, y ˆ )] 0 上式乘以 可化为 [y dx
ˆ 满足方程 也就是说 y
从而下降时间
T dt
0 T S 0
0 R 2(1 cos ) d ds 0 v 2 gy
T
0
0
R R d 0 g g
实验任务
1. 给定c和H,试用近似方法求出最速降线的曲线 和下降时间,再确定参数方程中的常数R(和 0 ) 后得到曲线和时间,将两种结果比较. 2. 在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从 A 到B的曲线,使得这曲线绕l旋转所得的旋转面 的面积最小 3. 伽利略做过著名的单摆实验:长度l的单摆的摆动 周期与振幅无关, 试分析情况是否如此? 4. 如果将坐标系的y轴向下,作出旋轮线,设质点从 线上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所 需时间
数学实验
寻找最速降线
数学给我们一个用之不竭,充满真理的 宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切 的关系并立着,而且随着科学的每一成功进 展,我们会不断发现直线真理之间的新的接 触点. ── C.F.Guass 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有 的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣 的人有益. ── R.C.Buck
如图建立坐标系,设A为原点, B为(c,H),将带状区域0< y <H 用平行于x 轴的直线y=yk=kH/n 把这区域分成n个带状小区域
A
yk-1
xk-1 xk
c
x
yk
在带状域yk-1<y<yk ,可近似认为
vk 2 gyk
B
y
而曲线段近似认为是直线段,其长度 于是质点从A到B所需时间近似为
T
y csc2 t C y C sin 2 t
又因
dy ydx 2C sin t costdt cottdx dx 2C sin 2 tdt
从而
1 x C (t sin 2t ) C1 2 由x=0时,y=0,且注意 t [0, 2 ], 故C2 = 0, 于是令 2t
x R( sin ), y R(1 cos )
(旋轮线)
由 x=c,y=H 得到 H ( sin ) c(1 cos ) 求出根 0 再确定 R
下降所需时间
计算弧微分
2 y 2 ds (dx ) 2 (dy ) 2 x
R 2 (1 cos ) 2 R 2 sin 2 d R 2(1 cos )
5. 圆柱面方程为
x 2 z 2 1 ( y 0)
用曲线连接面上A(0,0,1),B(a,b,c)两点,求使得 AB弧长最短的曲线(短程线)
c
注意第二项

c
0
ˆ, y ˆ ) dx f y ( y ˆ, y ˆ ) 0 f y ( y
c
d ˆ, y ˆ )]dx [ f y ( y 0 dx
c
于是导出

c
0
ˆ, y ˆ ) [ fy(y
d ˆ, y ˆ ))] dx 0, ( f y ( y dx
ˆ ) 在 0 取得最小值 于是函数 F ( ) T ( y 故得 dF
d 0
0
为了计算F (0) ,记
f ( y, y)
c
1 2g
1 y2 y
ˆ , y ˆ )dx 依复合函数求导法 那么对 F ( ) 0 f ( y
1 y2 dx 1 y2 dx ds v dt dt dt 2 gy
从而质点沿曲线由A到B需时间
T T ( y) 1 2g

c
0
1 y2 dx y
1 E { y ( x ) y C [0, c], y (0) 0, y (c) H } 设集合
i 1 n
( xi xi 1 ) 2 (yi ) 2
( xi xi 1 ) 2 yi vi
(n -1元函数!)
求这个函数的极小值, 就得到问题的近似解(为简单 计,取g =1000cm/s2)
In[1]:=
Out[1]:=
In[3]:=
10
8
6
4
2
In[4]:= Graphics
yf y ( y, y) f ( y, y) C1
这里
1 1 y 2 f ( y, y) y 2g

1 f y 2g
y y (1 y2 )
代入方程且化简,得到
y (1 y2 ) C
2 解方程 y (1 y ) C
令 y’ = cott , 那么由方程导出
t (c x ) 2 x2 a2 v1 v2
O a
1
D l a
2
C
A2
dt x cx 2 2 dx u x a v (c x) 2 b 2
惟一驻点满足
x u x a
2 2

cx v (c x) b
2 2
A1
a
1
D l
也即
O
C
sin 1 sin 2 v1 v2
y
a
B
1 1 y 2 C2
于是得到
最速降线的方程：
1 y(1 y )
2
y (1 y2 ) C
另一种方法－变分法
设曲线为 y y( x), ( x [0, c]) 满足 y(0)=0, y(c)=H 在曲线上P(x,y）处质点速度为
v 2gyAFra bibliotekcx
B
y
又设从A到P的弧长为s,则
ˆ , y ˆ ) f y ( y ˆ , y ˆ ) ]dx F ( ) [ f y ( y
0 c
ˆ, y ˆ ) f y ( y ˆ, y ˆ ) ]dx F (0) [ f y ( y
0
问 题
1696年John Bernoulli向他的兄弟和其他 数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题: 一质量为m的质点，在重力作用下从定点A 沿曲线下滑到定点B， A 试确定一条曲线，使得质 点由A到B下滑时间最短. 假定B比A低，不计摩擦力 和其他阻力等因素. 问题导致数学新分支的产生.
B
近似方法
ak
+1
B
y
由于上式对任何k成立， 故导出
sin k C1 （常数） vk
令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线 上任何一点 c
sin C1 （常数） v
A
x
其中a为该点切线与铅垂 线 的夹角 由于 v 2gy 其中y=y(x)为曲线函数，又因
y cot , sin