第四章 线性时不变离散时间系统

噪声通常具有零均值的特点，因此采用滑动平均的方
法可以估计信号 s(n) 的均值，得到 s (n) ：
s (n)
1
M 1
x(n l)
M l0
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
上式的估计称为 M 点的滑动平均，可以看出，要改善估计 的性能可以通过增加求和点数 M 来实现。在上面的 M点滑 动平均中，每得到一个估计值，需要进行 M 1次加法和1 次除法。为了提高处理速度，可以将上式表示成：
s (n)
1 M
M 1
x(nwk.baidu.com
l 0
l)
1 M
M
1
x
(n
l0
l)
x(n
M)
x(n
M
)
1 M
M l1
x(n
l)
x(n)
x(n
M )
1 M
M
1
x(n
l0
1 l)
x(n)
x(n
M )
M 1 s (n 1) 1 x(n) x(n M )
M
M
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
第四章 线性时不变离散时间系统
主要内容
线性时不变(LTI)系统的性质 系统的时域描述 系统的复频域的描述 系统的频率响应 时域离散系统的基本结构 非线性时变系统初步
4.0 引言
定义
系统是将输入转换为输出的装置或者算法，能够完成 特定的功能。本章我们从离散时间系统的举例入手，仅限 于讨论单输入单输出系统。首先讨论系统的性质，包括系 统的线性、时不变性、因果性和稳定性，然后分别从时域、 复频域和频域研究系统的描述方法，接着讨论系统的基本 实现结构。实际的系统都是非线性的，最后我们将简单讨 论非线性时变系统。
假设输入信号经过m 步移位得到 x(n m) ，送入同一系
统，若系统的输出为 y(n m) ，用公式表示就是:
累加器(Accumulator)
累加器是一个简单的离散时间系统，系统的输入和输
出信号分别记为 x(n) 和 y(n) ，输出与输入之间的关系为：
n
n1
y(n) x(l) x(l) x(n) y(n 1) x(n)
l
l
累加器将 到 n 的所有输入信号进行累加，其作用等
效于连续时间系统的积分器。因此累加器还可以表示为：
系统的举例
中值滤波器
中值滤波器常用于滤除加性随机噪声，特别是适用于 滤除突发的大的噪声，其性能优于滑动平均滤波器。中值 滤波器的长度为奇数，采用加窗的方法提取数据，每一时 刻窗函数移动一步。假设输入序列为 x(n) ，窗函数的长度 为 2k 1 ，将窗内的数据按照升序(或降序)排列，滤波器的 输出信号是：
n
1
n
n
y(l) x(l) x(l) x(l) y(1) x(l)n 0
l
l
l 0
l 0
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
系统的举例
滑动平均滤波器
接收数据记为 x(n),0 n N 1，其中信号受到了噪声 的污染，噪声记为v(n) ，则：
x(n) s(n) v(n)
y(n) med x(n k),..., x(n 1), x(n), x(n 1),..., x(n k)
x(n)
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
在实际应用中，用长度为 M 的中值滤波器处理一个 N 点序
列 x(n) M N ，总要在 x(n) 的两侧各补M 1 2个零，得
到长度为 N M 1的序列 x1(n) ：
Time index n (a)加 性 噪 声 污 染 的 信 号
output of median filter
8
6
Amplitude
4
2
0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Time index n
(b)中 值 滤 波 后 的 信 号
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
系统的性质
0
(M 1) n 1 2
x1(n) x(n)
0 n N 1
0
N n N 1 (M 1)
2
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
中值滤波前后信号对比
Amplitude
Impulse noise corrupted signal 8
6
4
2
0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
x(n)和 y(n) 分别表示输入和输出序列，则系统的输入输出
关系可记为：
y(n) T[x(n)]
其中，T 表示将输入信号转换为输出信号，系统的一般
输入输出关系图为：
x(n)
y(n)
h(n)
系统的输入输出关系图
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
系统的举例
ax1(n) ax2(n) b b 可以看出，要使上述两式相等，只有当 b 0 时才成立，违 背了常数a,b 的任意性，因此这是非线性系统。
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
系统的性质
时不变性(Time-invariant) 当输入信号在时间轴上发生移位时，输出信号是原来 输出信号的相同移位，即系统的运算关系在整个运算过程 中不随时间而变化，我们说系统是时不变的。
时，系统为线性系统，其中, 为任意常数。
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
举例
4.1.1判断 y(n) ax(n) b是否是线性系统 解：当系统的输入分别为 x1(n)和x2(n) 时，系统的输出为：
y1(n) ax1(n) b y2 (n) ax2 (n) b
当系统的输入为 x(n)，x(n) x1(n) x2(n) ，这里 和 为 任意的常数，则系统的输出为：
y(n) T[x(n)] T[ x1(n) x2(n)] a{ x1(n) x2(n)} b ax1(n) ax2(n) b
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
而两个信号分别通过同一系统，得到的输出信号的累加和 为：
y1(n) y2(n) ax1(n) b ax2(n) b
线性
线性系统基本特征就是满足叠加原理。假设系统的输 入分别为 x1(n) 和 x2 (n) ，相应的输出分别为 y1(n) 和 y2 (n) ， 即：
y1(n) T [x1(n)]
y2(n) T[x2(n)]
则当且仅当
T[ x1(n) x2(n)] T[x1(n)] T[x2(n)]
y1(n) y2(n)