行列式的应用
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一、求解线性方程组
定理（Cramer法则） 如果线性方程组 a11x1 a12 x2 L a1n xn b1 a21x1 a22 x2 L a2n xn b2 L L L L L L L L L L L L an1x1 an2 x2 L ann xn bn
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
an1
an2
L
a1n
a2n
M
ann
A11 A12 L
aij Aij
A
A21
A22
L
M M
An1
An2
L
A1n
A2n
M
Ann
A11 A21
An1
A( A)T
▌
二、方阵可逆的条件
定义 设 A [aij ]nn 是n阶方阵，Aij 是元素 aij
的代数余子式 (i, j 1,2, , n) ，则称n阶方阵
A11 A21
An1
A12 A22 An2
A1n A2n
Ann
为A的伴随矩阵，记为 A *。
时，称M 为 A的一个k阶主子式；其中，当
i1 j1 1, i2 j2 2, , ik jk k
时，称M 为 A的一个k阶顺序主子式。
定理 设矩阵 A [aij ]mn ，则 秩(A) = r 的充要 条件是 A有一个 r 阶子式不等于零，且所有r+1阶子 式（若有的话）全等于零。
a11 D 1 a 1 (a 2)(a 1)2
11a
情况一．a 2且 a 1
因 D 0，故方程组有唯一解。
情况二．a 2
因
~ 2 1 A 1 2
1 1
1 2
行
1 0
1 3
2 3
4 9
1 1 2 4
例 已知4阶方阵
a11 a12 a13
A
a21 a31 a41
a22 a32 a42
a23 a33 a43
可逆，求下列齐次线性方程组
例 设四阶方阵A 的秩为2，求伴随矩阵 A* 的秩。
解 因为 A的秩为2，故A存在不等于零的2阶子式， 但全部3阶和4阶子式均等于零。
又 A的每个3阶子式都是 A的某一元素的余子式，
所以 A的所有元素的代数余子式均为零。于是，A* 0
即 A* 的秩为零。
▌
小结：
（1）熟练计算二阶、三阶行列式； （2）会计算四阶行列式； （3）会计算简单的n阶行列式； （4）会使用Cramer法则； （5）掌握行列式与矩阵的关系。
n
am1
amj1
amj2
amjk
amn
这些行、列的交叉点上的 k2 个元素按原来顺序排列成
的k阶行列式
ai1 j1 M ai2 j1
ai1 j2 ai2 j2
ai1 jk ai2 jk
aik j1 aik j2 aik jk
称为A 的一个k阶子式；特别地，当 i1 j1, , ik jk
Dj
a21 M
L
a2, j1 b2 a2, j1 L MMM
a2n M
an1 L an, j1 bn an, j1 L ann
j 1,2, , n
推论 若齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1a22
x2
A可逆时
A1 1 A * | A|
其中 A *为 A的伴随矩阵。
三、矩阵的秩
定理 设A为n阶方阵，则 A满秩的充分必要条件是
| A|0
定义 任取矩阵 A [aij ]mn 的k个行(第 i1, i2 , ik
行)和 k个列(第 j1, j2 , jk 列)
a11
a1 j1
A*
A12
A22
M
An2
M M M M
A1n
A2n
Ann
例 已知 则
A a b c d
A* d b c a
性质 设A是方阵，则
AA* A* A | A | I
定理 方阵A可逆的充分必要条件是 | A | 0 ，且当
的系数行列式
a11 a12 D a21 a22
an1 an2
a1n a2n 0
ann
那么该方程组有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
其中 Dj 是把 D的第 j 列换为常数项后得到的行列式， 即
a11 L a1, j1 b1 a1, j1 L a1n
a1 j2
a1 jk
a1n
ai1
1
ai1 j1
ai1 j2
ai1 jk
ai1 n
A
ai2
1
ai2 j1
ai2 j2
ai2 jk
ai2
n
ai
k
1
aik j1
aik j2
aik jk
aik
0 0 0 3
故对应阶梯形方程组有矛盾方程，此时方程组无解。
情况三．a 1
因
~ 1 A 1
1 1
1 1
1
1
1
行
0
1 0Fra Baidu bibliotek
1 0
1 0
1 1 1 1
0 0 0 0
故对应阶梯形方程组无矛盾方程，且方程个数小于未
知数个数，此时方程组有无穷多个解。
a11 1 a 1 (a 2)(a 1)2 0
11a
于是 a 2 或 a 1 。
▌
例 对于方程组
ax1 x2 x3 1 x1 ax2 x3 a
x1
x2
ax3
a2
讨论当a取何值时，它有唯一解？无穷多解？无解？
解 易得所给方程组的系数行列式
a2n xn
0
an1x1 an2 x2 annxn 0
有非零解，则它的系数行列式 D 0 。
例 已知齐次线性方程组
axx11
x2 ax2
x3 x3
0 0
x1 x2 ax3 0
有非零解，求 a 。
解 因为有非零解，所以由推论得：所给齐次方 程组的系数行列式等于零，即
定理（Cramer法则） 如果线性方程组 a11x1 a12 x2 L a1n xn b1 a21x1 a22 x2 L a2n xn b2 L L L L L L L L L L L L an1x1 an2 x2 L ann xn bn
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
an1
an2
L
a1n
a2n
M
ann
A11 A12 L
aij Aij
A
A21
A22
L
M M
An1
An2
L
A1n
A2n
M
Ann
A11 A21
An1
A( A)T
▌
二、方阵可逆的条件
定义 设 A [aij ]nn 是n阶方阵，Aij 是元素 aij
的代数余子式 (i, j 1,2, , n) ，则称n阶方阵
A11 A21
An1
A12 A22 An2
A1n A2n
Ann
为A的伴随矩阵，记为 A *。
时，称M 为 A的一个k阶主子式；其中，当
i1 j1 1, i2 j2 2, , ik jk k
时，称M 为 A的一个k阶顺序主子式。
定理 设矩阵 A [aij ]mn ，则 秩(A) = r 的充要 条件是 A有一个 r 阶子式不等于零，且所有r+1阶子 式（若有的话）全等于零。
a11 D 1 a 1 (a 2)(a 1)2
11a
情况一．a 2且 a 1
因 D 0，故方程组有唯一解。
情况二．a 2
因
~ 2 1 A 1 2
1 1
1 2
行
1 0
1 3
2 3
4 9
1 1 2 4
例 已知4阶方阵
a11 a12 a13
A
a21 a31 a41
a22 a32 a42
a23 a33 a43
可逆，求下列齐次线性方程组
例 设四阶方阵A 的秩为2，求伴随矩阵 A* 的秩。
解 因为 A的秩为2，故A存在不等于零的2阶子式， 但全部3阶和4阶子式均等于零。
又 A的每个3阶子式都是 A的某一元素的余子式，
所以 A的所有元素的代数余子式均为零。于是，A* 0
即 A* 的秩为零。
▌
小结：
（1）熟练计算二阶、三阶行列式； （2）会计算四阶行列式； （3）会计算简单的n阶行列式； （4）会使用Cramer法则； （5）掌握行列式与矩阵的关系。
n
am1
amj1
amj2
amjk
amn
这些行、列的交叉点上的 k2 个元素按原来顺序排列成
的k阶行列式
ai1 j1 M ai2 j1
ai1 j2 ai2 j2
ai1 jk ai2 jk
aik j1 aik j2 aik jk
称为A 的一个k阶子式；特别地，当 i1 j1, , ik jk
Dj
a21 M
L
a2, j1 b2 a2, j1 L MMM
a2n M
an1 L an, j1 bn an, j1 L ann
j 1,2, , n
推论 若齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1a22
x2
A可逆时
A1 1 A * | A|
其中 A *为 A的伴随矩阵。
三、矩阵的秩
定理 设A为n阶方阵，则 A满秩的充分必要条件是
| A|0
定义 任取矩阵 A [aij ]mn 的k个行(第 i1, i2 , ik
行)和 k个列(第 j1, j2 , jk 列)
a11
a1 j1
A*
A12
A22
M
An2
M M M M
A1n
A2n
Ann
例 已知 则
A a b c d
A* d b c a
性质 设A是方阵，则
AA* A* A | A | I
定理 方阵A可逆的充分必要条件是 | A | 0 ，且当
的系数行列式
a11 a12 D a21 a22
an1 an2
a1n a2n 0
ann
那么该方程组有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
其中 Dj 是把 D的第 j 列换为常数项后得到的行列式， 即
a11 L a1, j1 b1 a1, j1 L a1n
a1 j2
a1 jk
a1n
ai1
1
ai1 j1
ai1 j2
ai1 jk
ai1 n
A
ai2
1
ai2 j1
ai2 j2
ai2 jk
ai2
n
ai
k
1
aik j1
aik j2
aik jk
aik
0 0 0 3
故对应阶梯形方程组有矛盾方程，此时方程组无解。
情况三．a 1
因
~ 1 A 1
1 1
1 1
1
1
1
行
0
1 0Fra Baidu bibliotek
1 0
1 0
1 1 1 1
0 0 0 0
故对应阶梯形方程组无矛盾方程，且方程个数小于未
知数个数，此时方程组有无穷多个解。
a11 1 a 1 (a 2)(a 1)2 0
11a
于是 a 2 或 a 1 。
▌
例 对于方程组
ax1 x2 x3 1 x1 ax2 x3 a
x1
x2
ax3
a2
讨论当a取何值时，它有唯一解？无穷多解？无解？
解 易得所给方程组的系数行列式
a2n xn
0
an1x1 an2 x2 annxn 0
有非零解，则它的系数行列式 D 0 。
例 已知齐次线性方程组
axx11
x2 ax2
x3 x3
0 0
x1 x2 ax3 0
有非零解，求 a 。
解 因为有非零解，所以由推论得：所给齐次方 程组的系数行列式等于零，即