蜘蛛网建模论文

A 题：蜘蛛网问题

摘要

因为蜘蛛主要依靠蜘蛛网捕食，所以需要建立合理的蜘蛛网结构，使得受力稳定，捕食效率最大化。本文就捕食效率及受力稳定两个方面分别对蜘蛛网结构进行了分析，并提出了最合理的结构。

针对问题一：捕食效率最大化方面，我们分析了影响捕食效率的五个因素，即总耗材料、平均网眼面积、网眼面积标准差、网总面积和捕获路径等，采用lingo软件，分别

对五个影响因素建立了控制条件，综合考虑各影响因素间的相互关系，在此基础上建立

了一个多约束条件的优化模型。该模型的本质是一个多目标的优化模型，采用选取核心

影响因素建立目标函数，次要因素建立控制条件的方法，通过分析各因素对目标函数的

影响并采用图表对比法，不断优化控制条件，得到了最优结构，使其捕食效率最大化。

针对问题二：受力稳定这方面对蜘蛛网结构经过力学分析后，我们明确给出了关于蛛网合理结构的分析结论最优模型为：27边形，19条纬线。

在文章的末尾，我们客观地分析了建模过程中的问题。之后，我们又宏观地将模型

推广到城市路网规划、水产捕鱼业渔网的设计。当然我们的模型还是比较理想化的仍然需要很多的改进。

关键词：蛛网结构捕食效率Lingo 多目标规划

一、问题重述

1 第一阶段问题：

问题：世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。请你建立合理的数学模型，说明蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。事实上，这就是一个多目标的优化问题。从宏观上分析，有以下两方面需要讨论：

（1）捕食效率：消耗尽可能少的资源而最大限度的提高捕食概率。

对于问题（1），具体可以展开为如下几点：

（a）蛛丝总量消耗尽可能少；

（b）蛛网的总面积尽可能大；

（c）平均网眼面积尽可能小；

（d）网眼面积标准差尽可能小；

（e）平均捕食路径尽可能短。

（2）蛛网自身结构的力学特性：现实世界中的蛛网会承受风荷载、猎物碰撞所产生的冲击荷载以及蛛网自重作用等外荷载，合理的蛛网结构应能抵抗这些外力作用，使网格结构始终保持稳定。

二、模型假设与符号说明

2.1模型假设

（1）假定蛛网的周向线（纬线）是由直线段组成（如图2.1）,且各条纬线满足相互平行、等间距的条件。现实中的蛛网的纬线是近似于对数螺旋(logarithmic spiral）的，这样假定是为了分析问题的方便同时也是必要、合理的。

（2）认为蛛网的结构形式是关于原点呈中心对称的。因为从最基本的力学常识可知，

非对称结构的受力性能时往往不及对称结构（非对称结构的内力响应不均衡，会在结构

内产生局部内力、位移过大的情况，而这些将不利于蛛网结构稳定）。

（3）认为猎物撞击到蛛网的任何部位是一个随机事件，这个随机事件是等概率事件。即认为猎物撞击到蛛网上任一点（边缘或蛛网中心）的概率是相等的。

（4）当半径丝之间的夹角θ<50时将两端半径丝之间的弧形捕丝假设为直线行捕 丝

2.2符号说明 名称 单位 说明

a E 2

mm

网眼面积的期望，衡量蛛网的疏密程度 A

2mm

网的总面积 l S mm 蛛丝的总长度

h mm 纬线平行间距

1N

___ 辐线根数（辐线：从中心向外发散的网线） 2N

___

纬线根数

θ 弧度(rad) 相邻两辐线夹角 CON S l _

mm 蜘蛛吐丝总量控制值

CON A _

2

mm 蜘蛛网总面积控制值 i T

2mm

第i 个梯形的面积

CON E ave _ 2mm

网眼平均面积控制值 CON ave _ 2mm

面积标准差控制值

CON E d _

mm

可接受的最不利捕食路径长度

3、问题的分析 3.1 概述

根据蜘蛛网的功能和蜘蛛的捕食特性，最合理的蜘蛛网结构应在受力稳定的前提 下，具有最高的捕食效率。而捕食效率由多个因素共同控制，包括：耗费材料（蛛丝）、蜘蛛网总面积、蜘蛛网的疏密程度、蜘蛛捕食路径长度等。因此，这本质上是一个多目标的数学优化问题。 3.2 待解决问题的分析 （1）受力稳定

结构会受到风荷载和冲击荷载的作用，结构的选型应首先保证在这些作用的综合作用下能够稳定工作。由于非对称蛛网结构受力性能较差，本模型考虑对称的蛛网结构，同时假定结构是稳定的。待求解出最优结构后再从力学角度对其进行验证，保证结构受力的稳定性； （2）耗费材料量

蜘蛛吐丝结网的过程需要耗费时间和能量，过多的用丝量不仅不经济（耗费时间多、能量多），并且根据常识，蜘蛛的吐丝量是有限的。因此，材料应该成为主要的控 制因素；

（3）蜘蛛网的总面积

根据基本假定（3），猎物落入蛛网上任意一点的概率都是一样的，显然，蜘蛛网的面积越大，捕获猎物的概率越高。但是，随着蜘蛛网面积的增大，必定会造成材料的增加和捕食路径的增长，导致效率降低。因此，认为蜘蛛网的面积达到一定量即可满足蜘蛛的需求； （4）蜘蛛网的疏密程度 蜘蛛网的疏密程度，可以用网眼面积的平均值和网眼面积的标准差来衡量，显然， 网眼面积的平均值应尽量符合可能的猎物尺寸的分布情况，网眼面积的标准差也应按照猎物的尺寸控制在一定范围内； （5）蜘蛛捕食路径长度

由于猎物落入蜘蛛网上任一点的概率都是相同的，我们可以认为其平均最不利路径长度可以反映捕食路径的长短。关于平均最不利路径的概念及推导详见附录1. 3.3各控制因素间关系

根据以上分析，在假定受力情况稳定的条件下，初步判断各个控制因素

权重，见图

图3.1各控制因素间关系

3.4解决问题的方法

由于这是一个多目标的优化问题，需要根据各个控制因素间的权重大小及其影响关系，确定最主要目标，并将次要因素作为控制条件，从而将原问题简化为一个多约束条件控制的单目标优化问题。同时利用Lingo软件分析求解.

4.1模型结构

由上面的分析可知，蜘蛛网结构主要由辐线和纬线组成，因此，任意一个蜘蛛网结构可以由图4.1表示：

图4.1模型蛛网结构

4.2基本数学表达式的构建

N个三角单元（见图4.2），根据蜘蛛网结构图可知，任一个蛛网结构可以划分为1