梁的正应力
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实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向直线、
m n
变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍 为平面。
中性层
中性轴：
m
n
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
E
A
(-) B
D
(+) 10kN*m
y2
C
y1
拉应力
a
e
压应力
压应力 B截面
b
d
拉应力 D截面
危险点：
a, b, d
（3）计算危险点应力 拉应力
a
e
压应力
校核强度
M B y2 a Iz 30 MPa （拉） M B y1 b Iz
70 MPa （压）
压应力 B截面
b
d
拉应力
150kN吊车
B
200kN吊车
1.确定F加在辅助梁的位置
A
C
辅助梁
M M
A
0 0
FA
x
F
l
FB
B
FP l x F F B B l F l x 0 l F Fx FAl 0 FAx l
令: FA Fx 200kN l
FB
F l x l
D q
A B
d
FB
C
3q FA kN 4
梁的强度
FB
9q kN 4
FA
2m
1m
M max 0.5q WZ WZ
1 q 2
9q 32
WZ 15.68kN / m 0.5 杆的强度 9q 4 FNBD 1 2 d A 4 q
31.9
查表
N0 12.6工字钢
15 3.75
kN
WZ=77.5cm3
28.1
kNm
13.16
例题 4.25
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 y
z
d d
d 2 d 2
z
d 2 d 2
z z
d
d
(a)
max (a)
M z 6M z 3 d3 d 6
(b)
B
Mz 12 M max (c) 2 2 3 z d d d 2 6
Mz 6M max (b) 2 3 z d 2 d .d 2 6
F
B
A
C
B
A
50
150 96.4
2F
1400 600
z
200 50
12kNm
16kNm
A
M Ayl 16 103 250 96.4 24.09MPa 8 IZ 1.02 10
A
M Ay y IZ
16 103 96.4 15.12MPa 8 1.02 10
1 q d 2 22.3kN / m 9
q 15.68kN / m
例题 4.30
q
A
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。
B
h
x
dx
l
b
解：
1、计算梁底层微段的伸长量 1 1 2 qlx qx M ( x) 2 3q 2 2 ( x) ( lx x ) 2 2 EWZ bh Ebh E 6 3q 2 (dx) ( lx x )dx 2 Ebh 2、梁的最底层纤维的总伸长
1 M B FL 2
bh3 IZ 12
1.65MPa
1 h FL M y c B c 2 3 2 2.47MPa （压） bh IZ 12
b 0
例题 4.21
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
4m
200
100
MZ EI Z 1
y
dx
Mzy Iz
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
y
y:到中性轴的距离
o
m
dx
n
z
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M M
y
Mz Mzy max Wz Iz
max
M x Wz
中性轴
正应力计算公式适用范围
M y Iz
横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立 但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时 弹性力学指出：上述公式近似成立 截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
F
A B
150 50
96.4 C 50
l 2
l 2
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max s
max s
例题 4.20
A
l 2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。 h 6 a F B h b C l 2 h 2
c
b
1 h FL M y a B a 2 3 3 bh IZ 12
竖放
max
qL2 8
M max WZ
横放
qL2 8 2 6MPa bh 6
max
M max WZ
qL2 8 2 12MPa hb 6
100
例题 4.22
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
2
解：1 画 M 图求有关弯矩
qLx qx M1 ( ) 2 2
2
2
x 1
60kNm
M max qL / 8 67.5kNm
qL 8 Mmax
180 30
bh 5 4 Iz 5.832 10 m 12
Wz I z / ymax 6.48 10 m
4 3
2 求应力 3
150kN
x 2.667m
x 2m
2 x 2.667
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加 悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力 [σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车 150kN吊车
B
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C
辅助梁
M max A 200 l 2.667 266.6kNm
FA
x
F
l
FB M max B 150 2 300kNm
max
WZ
M max B Wz
(c)
弯曲应力例题
1 A 1m 1 2m q=60kN/m B
例1
简支梁
求：（1）1—1截面上1、2两
点的正应力；
（2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
1 2 120 y
180 30
（4）已知 E = 200 GPa，
求1—1截面的曲率半径。
z
1 A 1m 1 M M1
q=60kN/m B 2m .23
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0 .5 m
WZ
B
M max
61.2cm3
2m
FB 28.1kN
FA 46.9kN
D截面
最大压应力：
c max b 70 MPa [ c ]
最大拉应力：
M d y1 d Iz 35 MPa （拉）
t max d 35 MPa [ t ]
梁的强度符合要求
B
M By y IZ
12 103 250 96.4 18.07MPa 1.02
例题 4.26
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的 附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的 许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
1
2
120 y
z
M1 y 1 2 Iz 60 60 5 10 61.7MPa 5.832
1max
max
M1 60 4 10 92.6MPa Wz 6.48
M max 67.5 10 4 104.2MPa Wz 6.48
3 求曲率半径
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
例2
外伸梁
P＝20kN q=10kN/m y2
A
B
2m
D
2m
E
C
y1
2m
T形梁截面，用铸铁制成，
I z 4.0 107 mm4 , y1 140mm, y2 60mm [ t ] 35 MPa, [ c ] 100 MPa
M max B
1.875 1.86 100 ％ 0.8％ 1.875
1.875 103 cm3
例题 4.27
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直 径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝ 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
o1
m
o2
n
中性轴
F
F
m n
y d d
d
y
m
n
中性轴
M
M
E y E
dA FN A
E
m
n o
dA
z
y
A
ydA 0
o
d
m
dx
n
z
y
M y zdA E zydA 0 A A EI Z E 2 M z A ydA y dA A
( x)
M ( x) WZ
( x) E ( x)
(dx) ( x) dx
3q l 2 l 3 ( x x ) l (dx) 2 0 Ebh 2 3
l
l 0
ql 3 2 Ebh 2
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
校核梁的强度。
解： （1）梁的内力分析，找出危险截面
P＝20kN A q=10kN/m B 35kN D E 5kN
包含反力的
全部外载荷
20kN*m
A (-) B D (+) 10kN*m 危险截面： E 画弯矩图： 可省去制表
B, D？
（2）找出危险截面上的危险点
20kN*m
M y Iz
( A) max (a ) max (b) max (c)； ( B ) max (a ) max (b) max (c)； (C ) max (a ) max (b) max (c)； ( D) max (a ) max (b) max (c)。
F F
1、变形前互相平行的纵向直线、
m n
变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍 为平面。
中性层
中性轴：
m
n
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
E
A
(-) B
D
(+) 10kN*m
y2
C
y1
拉应力
a
e
压应力
压应力 B截面
b
d
拉应力 D截面
危险点：
a, b, d
（3）计算危险点应力 拉应力
a
e
压应力
校核强度
M B y2 a Iz 30 MPa （拉） M B y1 b Iz
70 MPa （压）
压应力 B截面
b
d
拉应力
150kN吊车
B
200kN吊车
1.确定F加在辅助梁的位置
A
C
辅助梁
M M
A
0 0
FA
x
F
l
FB
B
FP l x F F B B l F l x 0 l F Fx FAl 0 FAx l
令: FA Fx 200kN l
FB
F l x l
D q
A B
d
FB
C
3q FA kN 4
梁的强度
FB
9q kN 4
FA
2m
1m
M max 0.5q WZ WZ
1 q 2
9q 32
WZ 15.68kN / m 0.5 杆的强度 9q 4 FNBD 1 2 d A 4 q
31.9
查表
N0 12.6工字钢
15 3.75
kN
WZ=77.5cm3
28.1
kNm
13.16
例题 4.25
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 y
z
d d
d 2 d 2
z
d 2 d 2
z z
d
d
(a)
max (a)
M z 6M z 3 d3 d 6
(b)
B
Mz 12 M max (c) 2 2 3 z d d d 2 6
Mz 6M max (b) 2 3 z d 2 d .d 2 6
F
B
A
C
B
A
50
150 96.4
2F
1400 600
z
200 50
12kNm
16kNm
A
M Ayl 16 103 250 96.4 24.09MPa 8 IZ 1.02 10
A
M Ay y IZ
16 103 96.4 15.12MPa 8 1.02 10
1 q d 2 22.3kN / m 9
q 15.68kN / m
例题 4.30
q
A
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。
B
h
x
dx
l
b
解：
1、计算梁底层微段的伸长量 1 1 2 qlx qx M ( x) 2 3q 2 2 ( x) ( lx x ) 2 2 EWZ bh Ebh E 6 3q 2 (dx) ( lx x )dx 2 Ebh 2、梁的最底层纤维的总伸长
1 M B FL 2
bh3 IZ 12
1.65MPa
1 h FL M y c B c 2 3 2 2.47MPa （压） bh IZ 12
b 0
例题 4.21
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
4m
200
100
MZ EI Z 1
y
dx
Mzy Iz
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
y
y:到中性轴的距离
o
m
dx
n
z
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M M
y
Mz Mzy max Wz Iz
max
M x Wz
中性轴
正应力计算公式适用范围
M y Iz
横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立 但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时 弹性力学指出：上述公式近似成立 截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
F
A B
150 50
96.4 C 50
l 2
l 2
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max s
max s
例题 4.20
A
l 2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。 h 6 a F B h b C l 2 h 2
c
b
1 h FL M y a B a 2 3 3 bh IZ 12
竖放
max
qL2 8
M max WZ
横放
qL2 8 2 6MPa bh 6
max
M max WZ
qL2 8 2 12MPa hb 6
100
例题 4.22
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
2
解：1 画 M 图求有关弯矩
qLx qx M1 ( ) 2 2
2
2
x 1
60kNm
M max qL / 8 67.5kNm
qL 8 Mmax
180 30
bh 5 4 Iz 5.832 10 m 12
Wz I z / ymax 6.48 10 m
4 3
2 求应力 3
150kN
x 2.667m
x 2m
2 x 2.667
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加 悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力 [σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车 150kN吊车
B
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C
辅助梁
M max A 200 l 2.667 266.6kNm
FA
x
F
l
FB M max B 150 2 300kNm
max
WZ
M max B Wz
(c)
弯曲应力例题
1 A 1m 1 2m q=60kN/m B
例1
简支梁
求：（1）1—1截面上1、2两
点的正应力；
（2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
1 2 120 y
180 30
（4）已知 E = 200 GPa，
求1—1截面的曲率半径。
z
1 A 1m 1 M M1
q=60kN/m B 2m .23
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0 .5 m
WZ
B
M max
61.2cm3
2m
FB 28.1kN
FA 46.9kN
D截面
最大压应力：
c max b 70 MPa [ c ]
最大拉应力：
M d y1 d Iz 35 MPa （拉）
t max d 35 MPa [ t ]
梁的强度符合要求
B
M By y IZ
12 103 250 96.4 18.07MPa 1.02
例题 4.26
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的 附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的 许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
1
2
120 y
z
M1 y 1 2 Iz 60 60 5 10 61.7MPa 5.832
1max
max
M1 60 4 10 92.6MPa Wz 6.48
M max 67.5 10 4 104.2MPa Wz 6.48
3 求曲率半径
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
例2
外伸梁
P＝20kN q=10kN/m y2
A
B
2m
D
2m
E
C
y1
2m
T形梁截面，用铸铁制成，
I z 4.0 107 mm4 , y1 140mm, y2 60mm [ t ] 35 MPa, [ c ] 100 MPa
M max B
1.875 1.86 100 ％ 0.8％ 1.875
1.875 103 cm3
例题 4.27
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直 径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝ 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
o1
m
o2
n
中性轴
F
F
m n
y d d
d
y
m
n
中性轴
M
M
E y E
dA FN A
E
m
n o
dA
z
y
A
ydA 0
o
d
m
dx
n
z
y
M y zdA E zydA 0 A A EI Z E 2 M z A ydA y dA A
( x)
M ( x) WZ
( x) E ( x)
(dx) ( x) dx
3q l 2 l 3 ( x x ) l (dx) 2 0 Ebh 2 3
l
l 0
ql 3 2 Ebh 2
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
校核梁的强度。
解： （1）梁的内力分析，找出危险截面
P＝20kN A q=10kN/m B 35kN D E 5kN
包含反力的
全部外载荷
20kN*m
A (-) B D (+) 10kN*m 危险截面： E 画弯矩图： 可省去制表
B, D？
（2）找出危险截面上的危险点
20kN*m
M y Iz
( A) max (a ) max (b) max (c)； ( B ) max (a ) max (b) max (c)； (C ) max (a ) max (b) max (c)； ( D) max (a ) max (b) max (c)。