累次极限与二重极限的关系研究

第!卷第"期

石家庄学院学报#$%!，&$’"())*年*月+$,-./%$012343/52,/.67$%%8689/:;<))*

累次极限与二重极限的关系研究

赵丽琴，白云芬

=石家庄学院数学系，

河北石家庄>*>>"*?摘要：在累次极限与二重极限定义的基础上讨论了累次极限与二重极限的关系，从理论上

指出累次极限不能看作二重极限特例的根本原因．

关键词：累次极限；二重极限；聚点

中图分类号@AB!B 文献标示码：C 文章编号：BD!"EBF!<（<>>*）>"E>>BFE><

在现行的《数学分析》教材中，分别独立地给出了累次极限与二重极限的定义，并指出如下事实GBH （IBJK ）：

B ）

二重极限与累次极限之间没有蕴含关系，例如：!;两个累次极限都存在且相等，

但是二重极限可能不存在;";二重极限存在，但是两个累次极限都可能不存在（或一个存在，另一个不存在）;

<）

若二重极限与累次极限都存在，则它们必相等，这时二重极限可化作累次极限来求;问题二重极限定义中，要求动点!（"，#）以任意方式趋于定点!>（">，

#>）时，函数$（"，#）都有相同的极限，则称$（"，#）在点%>（">，

#>）的二重极限存在;累次极限是函数先"!">后#!#>或先#!#>后"!">时极限存在，则称&（"，#）在点%>（">，

#>）的累次极限存在;为什么累次极限不能看作二重极限的特殊情况，从而由二重极限的存在推出累次极限的存在呢L

为解决此问题，须正确理解二重极限的定义G

定义设&（"，#）为定义在’"(<上的二元函数，%>（">，

#>）为’的一个聚点，)是一个确定的实数;若对任给的正数!，总存在某正数!，使得当!#*>（%>，!）$’时，都有&（%）!)"!，则称&（"，#）在’上当%!%>时以)为极限，记作%3M &（%）#)或%3M &（"，#）!)+定义中要求动点!#*>（!>，!）$’，即“动点!（"，#）必须落在定点!>（">，

#>）的去心!邻域与函数定义域’的交集内”，如果单纯地理解为“动点!（"，#）落在定点!>（">，

#>）的去心!邻域”，则会导致错误，如图B;例

讨论函数&（"，#）N "O3.（PQ #）R #O3.（PQ "）在点!>（>，>）的二重极限与累次极限G，当>"""!，>"#"!时，有&（"，#）E>"O3.（PQ #）R #O3.

（PQ "）&",#"!R !N !;即函数&（"，#）N "O3.（PQ #）R #O3.（PQ "）在点!>（>，

>）的二重极限存在，但是函数&（"，#）N "O3.（PQ #）R #O3.（PQ "）在点!>（>，

>）的两个累次极限都不存在;

因为对任何#’>当"!>时&（"，#）

的第二项不存在极限;同理，对任何"’>当#!>时&（"，#）的第一项不存在极限;即%3M%3M &（"，#）N !!!>!#’（"，#）!（">，#>）

收稿日期：<>>JEP

作者简介：赵丽琴（PFDF —），女，河北张家口人，石家庄学院数学系讲师，硕士，研究方向：函数论

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石家庄学院学报!""#年#月$%&$%&（!’%(（)*"）+,’%(（)*!））与$%&$%&#（!，"）-$%&$%&（!’%(（)*"）+,’%(（)*!））都不存在.这是因为函数#（!，"）-!’%(（)*"）+"’%(（)*!）的定义域为$-｛（!，"），!!/，"!/｝%/（/，

/）是$的一个聚点，但它落在定义域的$边界!-/，"-/上.无论先!"/后""/还是先""/后!"/，都经过函数#（!，"）

的定义域的边界，不满足二重极限定义中的要求，从而不能由二重极限的存在推出累次极限存在.

那么，什么时候二重极限存在，累次极限一定存在呢0

当聚点%/（!/，

"/）是函数#（!，"）的定义域的内点或孤立外点时，则一定存在!!"，使&/（%/，!）#$，此时若在点%/（!/，"/）的二重极限存在，则由二重极限的定义可推得在点%/（!/，

"/）的累次极限存在.例讨论函数#（!，"）-（!，"）’%(12*（!+"）3在点%/（/，

/）的二重极限与累次极限.解显然%/（/，

/）是函数唯一无定义的点（孤立外点），对$!!"，!!"，当/#!$!，/$"$!时，#（!，"）4/-（!’"）’%(12*（5+"）3%

即函数#（!，"）-（!，"）’%(12*（!+"）3在点%/（/，

/）的二重极限存在.

由于$%&#（!，"）-$%&（!+"）’%(12*（!’"）3-!’%(（2*!），从而$%&$%&#（!，"）-$%&$%&（!’"）’%(12*（!’"）3-$%&!’%(（2*!）-/.即累次极限$%&$%&（!’"）’%(12*（!’"）3存在，

同理另一个累次极限$%&$%&#（!，"）-$%&$%&（!’"）’%(12*（!’"）3-$%&,’%(（2*"）也存在，如图!.参考文献：

123刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义163.北京：高等教育出版社，)778.

1!3华东师范大学数学系.数学分析163.北京：

高等教育出版社，!//!.（责任编辑梁志星）

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