反例在数学教学中的作用研究1

3.4
我们在学习有关公式、法则时，会容易忽略掉这些公式、法则的运用范围，从而在使用时不注意分析具体条件而生搬硬套，造成错误。因此，在教学教师中不仅要向同学们讲清、交代公式、法则的适用条件，而且还要适当引用一些反例，加深他们对这些公式、法则的理解以便达到有效的掌握。
3.1
在对数学的概念进行学习时，不仅要运用正面的例子对概念进行深刻的理解，而且还要运用适当的反例，从另一个反面对概念的本质进行分析，使对所学概念有进一步理解，从而更深刻地理解和掌握概念。
例1关于函数的概念时，可能就是简单地认为就是：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，为了纠正这一错误的认识，可以提出这样的两个问题：
(1)人的身高与年龄成函数关系吗？
(2)若 ,则y是x的函数吗？
不少同学肯定认为(1)人的身高与年龄有关系，因而人的身高与年龄构成函数关系。而(2)中由于 ，因变量y不随x的变化(y＝1)，故y不是x的函数。此时教师可以和学生一起参与讨论。发现问题(1)里，尽管人的身高与年龄有关系，但年龄并不能确定人的身高，即当自变量(人的年龄)发生变化时，因变量(身高)没有完全确定的值和它对应，因此不符合函数的定义。而在问题(2)里，对每一个给定的x值(在x的定义域内)，y随x总有唯一确定的值(y＝1)和它对应，只不过当x变化时，y的值始终不变罢了。由此认识到y是x的函数，并非一定要求y随x的变化而变化。
那该怎样学好数学呢?首先最主要的问题就是帮助和促使我们掌握好基本概念和基本性质.解决这个问题的有效方式之一,就是重视和恰当的使用反例.所以说在数学的学习中,反例有着十分重要的意义,举反例的方法在数学学习中应经常为同学们所用,它帮助学生对概念、定理、公式的理解更加全面、更加透彻,它在帮助我们发现和认识数学真理,强化对数学基础的理解和掌握,以及帮助培养学生的思维能力和创造能力等方面都具有不可抹灭的作用和意义.
3.
我们在学习一个新的定理、性质时，容易忽略定理、性质中的关键词语，从而容易造成解题的错误。所以在实际教学中为了克服这一现象，教师要善于构造反例，来帮助同学们牢记住定理、性质中的关键词语，以达到正确理解并掌握定理、性质。
例8垂径定理的推论1“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”，我们常会忽略括号中的限制条件，误记为“平分弦的直径垂直于弦”。而在教学时可以构造反例：圆中任意两条直径，虽然它们互相平分，但不一定互相垂直，用来来纠正这一错误，从而加深对限制条件的理解。
Keywords:CounteHale Waihona Puke Baidu example;Source;Structure;Syndrome differentiation;Role;thought
1
数学中的反例通常是要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。比如说，对一个命题：所有的天鹅都是白色的。为了说明这个命题不是真的，只需要举出一个例子，使之具备命题的条件（天鹅），而不具备命题的结论（白色的）。这样的例子称为反例：“一只不是白色的天鹅”就是这个命题的反例。在数学的发展史中,反例和证明有着同等重要的地位.反例与证明是相反相成的两种逻辑方法。证明是用已知为真的判断，来确定另一个判断的真实性；而反例是用已知为真的事实去确定另一判断的真假。但它们都是在确定事物的本质和内在联系。美国数学家B.R.盖尔鲍姆说：“冒着过于简单的风险，我们可以说（撇开定义、陈述以及艰苦的工作不谈）数学由两大类——证明和反例组成，而数学也是朝着两个主要的目标——提出证明和构造反例”发展。
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反例的寻找为新兴学科的发展提供了源泉，被誉为大自然的几何学的分形理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论。虽然分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特1975年首先提出的,但最早的工作可追朔到1875年,德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人康托德国数学家)构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年,意大利数学家皮亚诺构造了填充空间的曲线。1904年,瑞典数学家科赫设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年,波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例,但它们正是分形几何思想的源泉。以后,这一领域的研究工作没有引起更多人的注意,先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
（2）同学在解有关分式方程去分母时，往往会出现漏乘现象。
例6解方程：
错解:方程两边同乘以 ，
得： ,即x＝0
经检验知x＝0是原方程的解。
我们在看完以上的解答后都会认为这个解答是正确的，理由如下：就是把x＝0代入方程两边相等。在教学时，教师就可以再举一个简单的分式方程 如何去分母？此刻同学们就能清楚地意识到上面错解的原因是去分母时漏乘(方程右边未乘以 ，从而使他们迅速地得出正确解法。
（3）我们在学习了等比数列前 项和公式后，在求等比数列前 项和时往往直接应用公式 ，而不考虑公比是否等于1。
例7求和： .
我们一看见这个题，都会很自然地套用公式，但是我们可能都会忽略掉 和 这两种情况应另类考虑，因此，在实际教学时教师可以通过提醒学生认识到 时，{ }不是等比数列；当 时，{ }虽是等比数列，但 =1，因此求和时也不能套用上面的公式。这也是一个反例的运用，这一反例可以让学生注意到对等比数列分类条件的重视，让我们知道了对待每一个数学问题，都必须仔细观察，然后培养自己观察力和想象力，提高自身数学思维的严密性。
ChongqingThreeGorgesUniversity, Wanzhou,Chongqing404000 )
Abstract:Mathematics is an exact science, it has its own unique way of thinking and logical reasoning system.In the history of mathematics, counter example and prove equally important position.Especially in the judgment of true and false things, plays a very important role.So-called, is usually used to illustrate an example of a proposition is not set up, which can meet the requirements of proposition but inconsistent with the conclusion that the proposition of example.In learning mathematics was set up to prove that a propositional, will prove its strictly in accord with the topic of a variety of possible conclusions are valid, and to overthrow a proposition, but as long as pointed out in accord with the topic of a particular situation to conclusion was not ok, that is to say just give a counter example.
下面我将从反例的来源与构造，反例在数学教学中的作用，反例教学对思维能力的培养，运用反例应该注意的问题这四个方面来论述。
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证明一个猜想是真实可靠的,必须经过严格的推理证明才能得出结论;而要证明一个猜想是假的,就只需要找到这个猜想命题的反例.在数学学习中,有这样一种现象：教师为了说明一个命题是假命题,就举出一个例子,说出这个例子虽然满足命题的条件,但是不能满足命题的结论,这就是常用的反例证明。但是反例是怎样获得的呢?与获得证明的方法一样,反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动,其方法包括:观察与实验,归纳,分析与综合,概括与抽象等,反例决不是凭空得到的。从概念的定义入手分析获得反例是最常用的一种方法，概念是反映事物本质属性的思维形式。在数学问题中,若首先给出一个概念的定义,然后判断一个猜想是否正确,则反例的获得就常常需要从定义入手分析。数学中的反例作为简明而又有力的否定方法,它不仅在培养逆向思维能力中占有重要地位，而且在纠正错误结论、澄清概念、开拓数学新领域中也起到了非常重要的作用，正如美国数学家盖尔鲍姆所说：“数学是由两大类－证明和反例组成，而数学的发展也是朝着这两个目标的即提出证明和构造反例。”
（1）同学在判断两个相关联的量是否成反比例的量时，往往不是很清楚。
例5小美总共要做10道数学题，已经做了的题和没有做的题是否是成反比例的。
错解：已经做了的题和没有做的题是成反比例的。
相信大多数的学生都会认为这是对的，这是由于没有充分理解到成反比例的三个条件，这个题只满足了前面的两个而没有满足第三个：两个量的乘积一定。这个题是两个量的和一定，这样就能让学生清楚地意识到以上解法是错误的原因，从而让他们更加深刻的理解到成反比例的三个条件。
题目：反例在数学教学中的作用研究
反例在数学教学中的作用研究
摘要：数学是一门严密的科学,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系。在数学发展史中，反例与证明有着同等重要的地位。尤其是在判断事物的真假时，起着十分重要的作用。所谓反例,通常是用来说明一个命题不成立的例子,即符合命题的条件但与命题的结论相矛盾的例子。在数学学习中要证明一个命题成立,就要严格地证明其在符合题设的各种可能的情况下结论都成立,而要推翻一个命题,却只要指出在符合题设的某个特殊情况下结论不成立就可以了,也就是说只要举出一个反例就行了。
例2对于定理：“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”与定理：“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”的内容很相近，这就容易让他们搞不清楚。因此在教学中，诸如此类的问题，讲述时应多举反例，也可以鼓励他们举反例，以便达到强化理解概念的作用。
例3我们在学习等腰直角三角形时，等腰直角三角形的性质较多，内容丰富，由“等腰”、“直角”、“三角形”三方面组成。学生在学习了概念之后，就容易出现：要不是忘了等腰，就是忘了直角，有的可能甚至连三角形的两边之和大于第三边都忘记了。此时就要举出反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。同理“等腰”、“三角形”等性质也如法炮制。因此，当学生对内容丰富的知识进行学习时可通过反例教学，来突出所学知识中容易被学生忽略的性质，从而帮助他们对所学知识的全面认识和深刻理解。
例4在对正三棱锥的概念进行学习时，我们很容易就忽略掉“顶点在底面的射影是底面的中心”这一条件，误认为“底面是正三角形，各侧面均为等腰三角形的三棱锥就是正三棱锥”。对此，可以举如下反例：如图1所示，三棱锥 中， 。显然底面为正三角形，侧面均为等腰三角形，但三棱锥 却不是正三棱锥。
3.
在解题过程中我们容易出现差错并且不容易被发现和纠正。对此，可以引入适当的反例，通过让学生进行讨论，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。
关键词：反例；来源；构造；辨证；作用；思维
CounterExampleRoleStudyInMathematicsTeaching
WU Ya-lin
(Grade 2009, Mathematics andAppliedMathematics,CollegeofMathematicsandStatistics,
通过所举两个反例的学习，他们就容易地体会到：对变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。
教学中，概念、定理、公式一般采用正面阐述的形式，往往容易让学生对一些关键的词语认识不够，对所给的条件理解不透彻，就不能够抓住它的本质，而只是机械地记忆概念、定理的名称和公式的结构。如果遇到概念、定理、公式的名称相近或结构类似，就容易造成理解上的混淆。