第六章运动学基础

a v
m u vy
vz u
O M0
x
aM
v
r
y
N (x,y)
vx 速度矢端图是一个半
径为r的圆周,且平 行于平面Oxy。
a a x a 2 y r 2
2
3. 点M的加速度
dv x ax r 2 cos t dt dv y ay r 2 sin t dt
3.运动学的研究对象及其运动形式
•研究对象： 点(或动点):可忽略大小的物体 或刚体上的指定点 刚体:刚体整体的运动 研究卫星轨道 时，卫星可以看作 一个点。 研究卫星运动 姿态时，卫星不再 是一点，而应看作 刚体。
接触轨道之 前，保龄球可以 看作一个点；
接触轨道之后，保龄 球在摩擦力作用下发生 滚动，这时保龄球不再 是一点，而应看作刚体。
x R(t sin t )
dx R (1 cos t ) dt dy vy R sin t dt vx
y R(1 cos t )
(5)求M点的加速度
ax x R 2 sin t a y y R 2 cos t
3. 自然法
•运动形式 (1) 点的运动形式
A.直线运动
B.曲线运动—— 最一般的情形为三维 变速曲线运动
(2) 刚体的运动形式 A.平动(translation) •直线平动 •曲线平动
B.定轴转动(fixed-axis rotation)
C.平面运动(planar motion)
D.定点运动(rotation around a fixed point)
x OA R sin y R R cos R(1 cos )
OA AM弧 R ut ut R M点的运动方程: ut ut x R ( sin ) R R
y R (1 cos
ut ) R
(3)M点轨迹是旋轮线
u 令 R
(4)求M点的速度
当0时， 的极限方向垂直于 ，亦即n方向。 d n d
•加速度
P
s
dvτ dτ a= τ + vτ dt dt
dτ dτ d dt d d t

n



P'
´
´
/2



d n d
d d ds 1 v dt ds dt d 1 其中： (曲率) ds
★自然法适用于描述非自由质点运动（轨迹已知） (1) 弧坐标 (-)
O s
(+)
M
规定:原点、正向
s称为弧坐标, 是代数量
运动方程
s f (t )
(2) 自然轴系 •密切面
M
M
轨迹曲线上任两点 的切向量所决定平 面的极限位置.
平面曲线上任一 点的密切面就是 曲线所在平面.
(2) 自然轴系 •自然轴系（游动坐标系）
第六章 运动学基础
§6-1 机构运动简图 §6-2 点的运动 §6-3 刚体的基本运动
§6-1 机构运动简图
机构 具有确定相对运动的多个实体组成的系统. 1.多个实体的组合 构件
2.各实体间具有确定的相对运动 运动副
固定件 —支承运动构件的构件 组成机构的各 —驱动力作用的构件 – 构件 主动件 相对运动实体 member —随主动件运动 从动件 而运动的构件
2.直角坐标法
•运动方程
r xi yj zk
z
k
M ( x, y , z )
x f1 t y f 2 t z f 3 t
轨迹方程
r
j
z
x
y
f ( x, y , z ) 0 g ( x, y , z ) 0
运动学部分
1.运动学的研究内容和意义
运动学纯粹从几何的角度来研究物体的运动 规律 ，而不涉及物体的受力和惯性。 意义: 工程实际中的应用机构运动分析. 动力学的基础分析运动与力的关系.
2.运动的相对性及参考系 运动规律是指物体在空间的位置随时间变化的规律。 运动规律 物体位置的描述必须指明相对的物体。运动学中， 把后者称为确定前者位置的参考体。固连于参考体 的坐标系称为参考系。 参考系 对于不同的参考系，同一物体的运动的表现形 式是不一样的, 称为运动的相对性。 运动的相对性 两个时间概念：瞬时、时间间隔 运动的描述方法 几何法 分析法 瞬时 全过程

v
(3) 速度与加速度
dvτ dv d dτ = = ( ) = + a v τ τ v τ τ v = v τ dt dt dt dt dτ dτ d s dt d d t P' P /2 n

•加速度
2 τ sin 2 sin 2 dτ τ lim lim lim 1 0 d 0 0 2
2 2 2
ay ax az cos , cos , cos a a a
例 已知：半径为 R 的圆轮在固定 直线轨道上作纯滚动（只滚不 滑）。轮心速度 u =const。 求：轮缘一点M的运动方程及任一 瞬时的速度与加速度。 解：(1)建立参考坐标系Oxy (2)求任意瞬时M点的位置坐标
dv az z 0 dt
加速度a 的方向垂直并指向z 轴。
4. 曲率半径
vz
2 v
a
m
v
an
a 0,
u
vy
an a

r
vx
u2 v 2 r 2 2 u 2 r 2 2 r r a
曲率半径为常数

r sin 2
描述点运动的三种方法比较
矢量法－结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。对于实际问题需将矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。 直角坐标法－实际问题中，一种广泛应用的方法。 弧坐标法－应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的物理 含义更加清晰。
表示速度矢量方向的变化率；
P
an
a
思考 1 ：点 M 沿螺线自外向内 运动，如图所示。它走过 的弧长与时间的一次方成 正比，问点M 。 A 加速度越来越大 B 加速度越来越小 C 越跑越快 D 越跑越慢 思考2：当点作曲线运动 时，点的加速度a是恒矢 量，如图所示。则点的 运动 （是或不是） 曲线 匀变速运动。
),
2. M点的速度
x r cos(
2π 2π t ), y r sin( t ), T T
z ut
dy dz dx v r t cos , v u vx r sin t , y Z dt dt dt
z
速度在平面Oxy上的投影大小等于
r
2 2 vx vy r
y
加速度
d 2 r d 2x d2y d 2z a 2 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dv y d 2 y dv x d 2 x dvz d 2 z ax 2 , ay 2 , az 2 dt dt dt dt dt dt
a ax a y az
d τ d τ d v n dt d d t
dvτ v2 a= τ+ n dt
•加速度

dv v2 a τ n a τ an n a a n dt
切向加速度:
dv a dt
v 2
表示速度矢量大小的变化率；

法向加速度:
an

O M0
x
M

v
2 2 v vx vy vz2 r 22 u2 const
cos
y
vz
2 2 v2 vx y vz

u r 2 2 u 2
N (x,y)
速度与圆柱母线的交角 不变。
z
v x r sin t
r
vz
v y r cos t
例：炮弹射出，直角坐标运动方程为
x v 0 cos t y v 0 sin t
1 2
gt
2
求：t=0时炮弹的切向加速度和法向加速度，以及 这时轨迹的曲率半径。
y
v0
o

x
x v 0 cos a t 解： 2 1 y v sin a t gt 0 2 dx dy vx v0 cos a v y v0 sin a gt dt dt
-切向单位矢量,正向与弧坐标正向一致
n -主法线单位矢量,正向指向曲线内凹一侧
Baidu Nhomakorabea
b -副法线单位矢量 b n b
M
n
密切面

(3) 速度与加速度 •速度
r dr v lim t 0 t dt dr ds ds ds dt dt
方向沿轨迹 切线方向
n
M
密切面
z
r
O M0
x
M
N (x,y) y
z
解： 1. M点的运动方程和轨迹。
2π M 0ON t T
2π x r cos( t ) , T 2π y r sin( t ) , T
r
z ut
x
O M0
M
N (x,y) y
M点的轨迹（螺旋线）方程
x r cos(
z
u z y r sin( ) u
2 x 2 y 2 0 2 2
v v v v cos a v0 sina gt 2 2 dvy dvx a ax ay g ax 0, ay g dt dt 当t=0时 v v0, a g
2 a a2 an
将加速度在切线和法线方向 分解有
两构件组成有确定 相对运动的可动联接
—运动副 高副—通过点、线接触 低副—通过面接触 移动副 转动副
平面运动副及构件的表示方法
平面运动副及构件的表示方法
移动副
平面运动副及构件的表示方法
转动副
平面运动副及构件的表示方法
平面运动副及构件的表示方法
平面运动副及构件的表示方法
平面运动副及构件的表示方法
1.矢量法
z
M M
r
O x
•运动方程
r
y
r r t
•速度(velocity)
z
M
v
r
r dr v lim r dt t 0 t
方向沿t时刻轨迹切线
M
r
O
r
y
•加速度(acceleration)
x
dv a v r dt
方向沿t时刻速度矢端图的切线
dv g a v0 sin gt dt v an a 2 a2 g cos
an
2 v0
a g sin
2 2 v0 v0 an g cos

例 圆柱的半径为 r ， 绕铅直固定轴z 作匀速转动， 周期为 T 秒。动点 M 以匀速 u 沿圆柱的一条母线 NM 运动（如图）试求M点的轨迹、速度和加速度，并 求轨迹的曲率半径。
O i
x
y
速度 v
dr dx dy dz i j k dt dt dt dt dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
v vx v y vz
2 2 2
z
k
M ( x, y, z )
r
j
z
x
y
O i
x
vy vx v cos , cos , cos z v v v
§6-3 刚体的基本运动
刚体的基本运动:平动和定轴转动 研究刚体基本运动的目的: 研究复杂运动的需要 研究参考系的运动 内容: 1. 刚体整体运动的描述(物理量) 2. 刚体上各点的运动描述(速度,加速度)
1 刚体的平动
构件
平面机构的运动简图 用简单的符号和线条表达机构的组成和 构件之间的相对运动机构运动简图
平面机构的运动简图
平面机构的运动简图
§6-2 点的运动
研究点的运动就是确定任一时刻点在参考坐标系 (坐标原点和坐标轴)中的位置，即点的运动规律。 运动规律 用数学式表示称为运动方程。 运动方程 点在空间运动时所经过的路线称为该点的运动轨迹。 轨迹 分为直线运动和曲线运动。 点的速度是描述点在某一瞬时运动的快慢和方向的 速度 物理量。 点的加速度是描写点的速度的大小和方向变化快慢 加速度 （率）的物理量。 研究点运动时常用的三种方法：弧坐标法、直角坐标 。 法、矢径法，另外还有如极坐标法、柱坐标法等 法、矢径法