第5章 空间力系
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 空间力系
力对轴之矩的解析表达式
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
z
Fz
F
A(x,y,z)
B
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
O y x
Fy
Fx
y a x
Fy
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
F Fx2 Fy2 Fz2 Fx cos( F , i ) F Fy cos( F , j ) F Fz cos( F , k ) F
Байду номын сангаас
2. 空间汇交力系的合成与平衡条件
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 n Fx cos( FR , i ) FR F1 F2 L Fn Fi F R i 1 Fy Fxi i Fyi j Fzi k cos( FR , j ) FR Fz cos( FR , k ) FR 平衡条件
第六章 空间力系
例 题 3
已知： F 、 a、b、c
求： 力F 对OA轴之矩
z
解：（1）计算 MO(P)
i
j k
O
A c
F
a y
MO (P) r P 0 b 0 0 0 F Fbi
（2）利用力矩关系
x
b
M OA ( F ) M O ( F ) cos
第六章 空间力系
Fab a b c
第 5章
※ ※ ※ ※ ※ ※ ※
第六章
空间力系
空间汇交力系 空间力对点的矩和力对轴的矩 空间力偶理论 空间任意力系的简化 空间任意力系的平衡方程 结论与讨论 重心
空间力系
§5-1
空间汇交力系
z
1. 空间力的投影和分解
直接投影法
F
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
空间力系
M x (F ) 0 M y ( F ) 0 Fz 0
平面任意力系
Fy 0 M z ( F ) 0 Fx 0
第六章
空间约束类型 及其约束反力
第六章
空间力系
（1）空间铰链：
（2）径向轴承：
（3）径向止推轴承：
空间力系
F1 2 F2 8kN FAx 15.6kN FAz 6kN FBx 3.6kN FBz 4kN
§5-6
1. 重心的概念及其坐标公式
Pi x i xC Pi
重心
z
△Vi
Pi
zi
O
C
由合力矩定理，得
Pi y i yC Pi Pi z i zC Pi
● 力对点的矩矢在通过 该点的某轴上的投影，等 于力对该轴的矩。
第六章 空间力系
M O (F )x M x (F ) M O (F )y M y (F ) M O (F )z M z (F )
MO (F ) 2OAB
Mz(F) = MO(Fxy) = ±2 △Oab Mz(F)
第六章 空间力系
Fx
Fxy b
3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
M O (F ) r F
i j k x y z Fx Fy Fz
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
（4）空间固定端：
第六章
空间力系
例 题 4
已知：a =300mm，b=400mm，c =600mm， R=250mm，r =100mm，P=10kN，F1= 2F2。 求： F1、F2 及A、B处反力。
z
a
b
c
F2
A B
y
F1
x
P
第六章
空间力系
z
解：取系统为研究对象
F2
a
b
c
FAz
A B
FBz
y
FE
E
O A y
B
x
C
FB
解得：
FA
P
FE P / cos 2 FA FB P tan 2
第六章 空间力系
§5-2
1. 力对点的矩
力对点的矩和力对轴的矩
z
B
空间的力对O点之矩取决于：
（1）力矩的 大小； （2）力矩的 转向； （3）力矩 作用面方位。
MO(F)
A(x,y,z)
F1
FAx
FBx
x
P
M y ( F ) 0, M x ( F ) 0, M z ( F ) 0, Fx 0, Fz 0,
第六章
( F2 F1 ) R Pr 0 FBz (b c) Pb 0 ( F2 F1 )a FBx (b c) 0 F2 F1 FAx FBx 0 FAz FBz P 0
2 M M x2 M y M z2 Mx cos( M , i ) M My cos( M , j ) M Mz cos( M , k ) M
M x M 1x M 2 x L M nx M ix M y M 1 y M 2 y L M ny M iy M z M 1z M 2 z L M nz M iz
FR Fi 0
i 1 n
平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
第六章
空间力系
例 题 1
求：绳的拉力和墙体的约束反力 。
z
解：取球体为研究对象
Fz 0, FE cos P 0 Fx 0, FA FE sin cos 45 0 Fy 0, FB FE sin sin 45 0
F
O
r
h
y
x
★ 须用一矢量表征
MO(F) =Fh=2△OAB
第六章 空间力系
z
r xi yj zk
B
F Fx i Fy j Fz k
i j k x y z Fx Fy Fz
MO(F)
A(x,y,z)
F
O
r
h
M O (F ) r F
y
x
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
(x,y,z)
OAB cos Oab
Fxy
MO (F ) cos M z (F )
MO (F )z M z (F )
第六章 空间力系
M O (F )x M x (F ) M O (F )y M y (F ) M O (F )z M z (F )
xi Ai x1 A1 x2 A2 x3 A3 xc 2mm Ai A1 A2 A3 yi Ai y1 A1 y2 A2 y3 A3 yc 27mm Ai A1 A2 A3
第六章 空间力系
(b)负面积法（负体积法） 例题6 求：图示截面重心。
第六章 空间力系
平衡条件
M
i 1
n
i
0
平衡方程
M ix 0 M iy 0 M iz 0
第六章 空间力系
§5-4
z
空间任意力系的简化
M3
z
F2
B
O
A
F1
M2
y
F2
O x
M1
MO
z
FR
O y
F1
y
C
x
F3
F3
x
F1 = F1 , F2 = F2 , K , Fn = Fn M1 MO (F1 ) , M 2 MO (F2 ) , L , M n MO (Fn )
(2) 利用力矩关系
M x ( F ) Fz b Fb sin M y ( F ) Fz a Fa sin M z ( F ) Fxb Fy a Fb sin sin Fa sin cos
M O ( F ) M x ( F ) i M y ( F ) j M z ( F )k Fb sin i Fa sin j ( Fb sin sin Fa sin cos ) k
x
O
y
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
第六章 空间力系
二次投影法
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
F
O
Fxy
x
y
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
第六章 空间力系
Fi FR
i 1 n
M O M O ( Fi )
i 1
n
F′ R MO
主矢 主矩
第六章
空间力系
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 FR Fx cos( FR , i ) FR Fy , j) cos( FR FR Fz , k) cos( FR FR
例 题 2
已知：F、 a、b、、 求： MO(F)
解：(1) 直接计算
i M O (F ) r F
xa yb z0 Fx F cos sin Fy F cos cos Fz F sin
第六章 空间力系
j k y z Fy Fz
x Fx
M O ( F ) Fb sin i Fa sin j ( Fb sin sin Fa sin cos ) k
P
zC y xC xi
yi yC
若物体是均质的，得
x
xC
第六章 空间力系
xdV ,
V
V
yC
V
ydV V
, zC
zdV
V
V
曲面：
xC xdA ,
A
A
yC
A
ydA A
, zC
zdA
A
A
曲线：
xC xdl ,
l
l
yC
ydl ,
l
l
zC
zdl
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
第六章 空间力系
（1）用组合法求重心
(a) 分割法
10mm
y C1 C2 C3
30mm
例题5
求：Z 形截面重心。
x1=－15, y1=45, A1=300
10mm
解: 建立图示坐标系
30mm
30mm
o
x
x2=5,
x3=15,
y2=30, A2=400
y3=5, A3=300
MO(F)
第六章
定位矢量
空间力系
2. 力对轴的矩
Mz(F)
z
Mz(F) = MO(Fxy) =±Fxy h = ±2 △OAb ★ 力对轴的矩等于力在垂直于该 轴的平面上的投影对轴与平面交 点的矩。
x
Fz
O h A
F
B
b
Fxy
y
力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。 ☆ 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
2 2 2
MO(P)
§5-3
空间力偶的定义:
(1) 力偶矩的大小； (2) 力偶的转向；
空间力偶
M
B
F
A
(3) 力偶作用面的方位。
M
F
自由矢量
空间力偶的等效条件
两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。
第六章 空间力系
空间力偶系的合成与平衡 合力偶矩矢： M=M1+M2+…+Mn=∑Mi
M M xi M y j M zk
第六章 空间力系
MO
z
FR
O y
x
§5-5
空间任意力系的平衡方程
空间平行力系
平衡条件：FR′ = 0 Mo = 0
Fx 0
平衡方程:
Fy 0 Fz 0 M x (F ) 0 M y ( F ) 0 M z (F ) 0
M O [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 M x (F ) cos( M O , i ) MO M y (F ) cos( M O , j ) MO M z (F ) cos( M O , k ) MO
力对轴之矩的解析表达式
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
z
Fz
F
A(x,y,z)
B
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
O y x
Fy
Fx
y a x
Fy
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
F Fx2 Fy2 Fz2 Fx cos( F , i ) F Fy cos( F , j ) F Fz cos( F , k ) F
Байду номын сангаас
2. 空间汇交力系的合成与平衡条件
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 n Fx cos( FR , i ) FR F1 F2 L Fn Fi F R i 1 Fy Fxi i Fyi j Fzi k cos( FR , j ) FR Fz cos( FR , k ) FR 平衡条件
第六章 空间力系
例 题 3
已知： F 、 a、b、c
求： 力F 对OA轴之矩
z
解：（1）计算 MO(P)
i
j k
O
A c
F
a y
MO (P) r P 0 b 0 0 0 F Fbi
（2）利用力矩关系
x
b
M OA ( F ) M O ( F ) cos
第六章 空间力系
Fab a b c
第 5章
※ ※ ※ ※ ※ ※ ※
第六章
空间力系
空间汇交力系 空间力对点的矩和力对轴的矩 空间力偶理论 空间任意力系的简化 空间任意力系的平衡方程 结论与讨论 重心
空间力系
§5-1
空间汇交力系
z
1. 空间力的投影和分解
直接投影法
F
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
空间力系
M x (F ) 0 M y ( F ) 0 Fz 0
平面任意力系
Fy 0 M z ( F ) 0 Fx 0
第六章
空间约束类型 及其约束反力
第六章
空间力系
（1）空间铰链：
（2）径向轴承：
（3）径向止推轴承：
空间力系
F1 2 F2 8kN FAx 15.6kN FAz 6kN FBx 3.6kN FBz 4kN
§5-6
1. 重心的概念及其坐标公式
Pi x i xC Pi
重心
z
△Vi
Pi
zi
O
C
由合力矩定理，得
Pi y i yC Pi Pi z i zC Pi
● 力对点的矩矢在通过 该点的某轴上的投影，等 于力对该轴的矩。
第六章 空间力系
M O (F )x M x (F ) M O (F )y M y (F ) M O (F )z M z (F )
MO (F ) 2OAB
Mz(F) = MO(Fxy) = ±2 △Oab Mz(F)
第六章 空间力系
Fx
Fxy b
3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
M O (F ) r F
i j k x y z Fx Fy Fz
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
（4）空间固定端：
第六章
空间力系
例 题 4
已知：a =300mm，b=400mm，c =600mm， R=250mm，r =100mm，P=10kN，F1= 2F2。 求： F1、F2 及A、B处反力。
z
a
b
c
F2
A B
y
F1
x
P
第六章
空间力系
z
解：取系统为研究对象
F2
a
b
c
FAz
A B
FBz
y
FE
E
O A y
B
x
C
FB
解得：
FA
P
FE P / cos 2 FA FB P tan 2
第六章 空间力系
§5-2
1. 力对点的矩
力对点的矩和力对轴的矩
z
B
空间的力对O点之矩取决于：
（1）力矩的 大小； （2）力矩的 转向； （3）力矩 作用面方位。
MO(F)
A(x,y,z)
F1
FAx
FBx
x
P
M y ( F ) 0, M x ( F ) 0, M z ( F ) 0, Fx 0, Fz 0,
第六章
( F2 F1 ) R Pr 0 FBz (b c) Pb 0 ( F2 F1 )a FBx (b c) 0 F2 F1 FAx FBx 0 FAz FBz P 0
2 M M x2 M y M z2 Mx cos( M , i ) M My cos( M , j ) M Mz cos( M , k ) M
M x M 1x M 2 x L M nx M ix M y M 1 y M 2 y L M ny M iy M z M 1z M 2 z L M nz M iz
FR Fi 0
i 1 n
平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
第六章
空间力系
例 题 1
求：绳的拉力和墙体的约束反力 。
z
解：取球体为研究对象
Fz 0, FE cos P 0 Fx 0, FA FE sin cos 45 0 Fy 0, FB FE sin sin 45 0
F
O
r
h
y
x
★ 须用一矢量表征
MO(F) =Fh=2△OAB
第六章 空间力系
z
r xi yj zk
B
F Fx i Fy j Fz k
i j k x y z Fx Fy Fz
MO(F)
A(x,y,z)
F
O
r
h
M O (F ) r F
y
x
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
(x,y,z)
OAB cos Oab
Fxy
MO (F ) cos M z (F )
MO (F )z M z (F )
第六章 空间力系
M O (F )x M x (F ) M O (F )y M y (F ) M O (F )z M z (F )
xi Ai x1 A1 x2 A2 x3 A3 xc 2mm Ai A1 A2 A3 yi Ai y1 A1 y2 A2 y3 A3 yc 27mm Ai A1 A2 A3
第六章 空间力系
(b)负面积法（负体积法） 例题6 求：图示截面重心。
第六章 空间力系
平衡条件
M
i 1
n
i
0
平衡方程
M ix 0 M iy 0 M iz 0
第六章 空间力系
§5-4
z
空间任意力系的简化
M3
z
F2
B
O
A
F1
M2
y
F2
O x
M1
MO
z
FR
O y
F1
y
C
x
F3
F3
x
F1 = F1 , F2 = F2 , K , Fn = Fn M1 MO (F1 ) , M 2 MO (F2 ) , L , M n MO (Fn )
(2) 利用力矩关系
M x ( F ) Fz b Fb sin M y ( F ) Fz a Fa sin M z ( F ) Fxb Fy a Fb sin sin Fa sin cos
M O ( F ) M x ( F ) i M y ( F ) j M z ( F )k Fb sin i Fa sin j ( Fb sin sin Fa sin cos ) k
x
O
y
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
第六章 空间力系
二次投影法
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
F
O
Fxy
x
y
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
第六章 空间力系
Fi FR
i 1 n
M O M O ( Fi )
i 1
n
F′ R MO
主矢 主矩
第六章
空间力系
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 FR Fx cos( FR , i ) FR Fy , j) cos( FR FR Fz , k) cos( FR FR
例 题 2
已知：F、 a、b、、 求： MO(F)
解：(1) 直接计算
i M O (F ) r F
xa yb z0 Fx F cos sin Fy F cos cos Fz F sin
第六章 空间力系
j k y z Fy Fz
x Fx
M O ( F ) Fb sin i Fa sin j ( Fb sin sin Fa sin cos ) k
P
zC y xC xi
yi yC
若物体是均质的，得
x
xC
第六章 空间力系
xdV ,
V
V
yC
V
ydV V
, zC
zdV
V
V
曲面：
xC xdA ,
A
A
yC
A
ydA A
, zC
zdA
A
A
曲线：
xC xdl ,
l
l
yC
ydl ,
l
l
zC
zdl
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
第六章 空间力系
（1）用组合法求重心
(a) 分割法
10mm
y C1 C2 C3
30mm
例题5
求：Z 形截面重心。
x1=－15, y1=45, A1=300
10mm
解: 建立图示坐标系
30mm
30mm
o
x
x2=5,
x3=15,
y2=30, A2=400
y3=5, A3=300
MO(F)
第六章
定位矢量
空间力系
2. 力对轴的矩
Mz(F)
z
Mz(F) = MO(Fxy) =±Fxy h = ±2 △OAb ★ 力对轴的矩等于力在垂直于该 轴的平面上的投影对轴与平面交 点的矩。
x
Fz
O h A
F
B
b
Fxy
y
力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。 ☆ 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
2 2 2
MO(P)
§5-3
空间力偶的定义:
(1) 力偶矩的大小； (2) 力偶的转向；
空间力偶
M
B
F
A
(3) 力偶作用面的方位。
M
F
自由矢量
空间力偶的等效条件
两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。
第六章 空间力系
空间力偶系的合成与平衡 合力偶矩矢： M=M1+M2+…+Mn=∑Mi
M M xi M y j M zk
第六章 空间力系
MO
z
FR
O y
x
§5-5
空间任意力系的平衡方程
空间平行力系
平衡条件：FR′ = 0 Mo = 0
Fx 0
平衡方程:
Fy 0 Fz 0 M x (F ) 0 M y ( F ) 0 M z (F ) 0
M O [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 M x (F ) cos( M O , i ) MO M y (F ) cos( M O , j ) MO M z (F ) cos( M O , k ) MO