周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第三章

*

x

ih
d dx

x


dx
*

x
ih
d
dx

x


dx
*

x
pˆ x
x 7

同 理：
py dy * y pˆ x y
pz dz * z pˆ z z
推广至三维情况
1 2πh

dx

i p(xx)
dpe h
*


x

-ih
d dx

x dx


dx

1

dx

2πh

i
eh
p( xx)
dp

*

x
-ih
d
dx

x


dx


dxδ(x

x)
加法结合律 Fˆ Gˆ Kˆ Fˆ Gˆ Kˆ
（4）算符乘积
两算符与之积定义为
FˆGˆ Fˆ Gˆ
若 [Fˆ ,Gˆ ] (FˆGˆ GˆFˆ ) 0 , 为任意函数,即
FˆGˆ GˆFˆ
则称两算符对易。
一般 FˆGˆ ,则GˆF称ˆ 二者不对易。
14
若 Fˆ ,Gˆ (FˆGˆ GˆFˆ ) 0 ,为任意函数,即
FˆGˆ GˆFˆ
则称两算符反对易。
（5）逆算符
设 Fˆ 能唯一的解出,则定义 的逆Fˆ算符为
Fˆ 1
或 如果两算符满足
FˆGˆ Iˆ
则称两者互为逆算符.记
Gˆ 1 Fˆ , Fˆ 1 Gˆ
px *

p

p dp
1
2πh

dx


dx


dp
px
*
i px
x eh
i px
x eh
1

dx

i
dpe h
px

*
x

ih
d
i px
eh
x dx
2πh
dx
所以
px
且有 GˆFˆ Iˆ
15
（6）算符的转置、复共轭及厄米共轭 量子系统任意两波函数的标积：
, * d
性质: , ≥0
, * ,
(, c11 c2 2 ) c1(,1) c2 (, 2 ) (c11 c22 , ) c1* (1, ) c2* (2 , )
（1）算符相等
如果两算符Fˆ ,G满ˆ 足 Fˆ Gˆ
其中为任意函数,则称两算符相等,即
Fˆ Gˆ （2）单位算符 Iˆ
作用到任意函数上,不变 Iˆ 13
（3）算符之和
两算符与之和定义为
Fˆ Gˆ Fˆ Gˆ
满足：加法交换律 Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ
粒子动量概率密度 pr 2
其中 粒子动量期望值


pr

1
2 h3
2


xv

e
i h
pvxvdxv

pr pv 2 pvdpv pv* pv pv dpr


x分量：（以一维情况为例）
6
px


1
第三章 量子力学中的力学量
§3.1 表示力学量的算符 §3.2 动量算符和角动量算符 §3.3 厄米算符本征函数的正交性和完备性 §3.4 算符间的对易关系 不确定关系 §3.5 力学量平均值随时间的变化 守恒定律 §3.6 中心力场问题 — 氢原子 §3.7 例题
RETURN
2
§3.1 表示力学量的算符 一、力学量的算符表示 二、算符的基本性质 三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符
v P



*

xv
prˆ

xv
d



*

xv

ih


xv
d
由此得到计算期望值的一个新的数学工具 —— 算符
一般地，粒子的任何一个力学量A的期望值：
A * xv Aˆ xv dxr
8
结论Ⅰ：量子力学中力学量的期望值〈A〉与相 应的算符对应
Aˆ A
9
2.力学量的可能值与算符的关系
一维无限深势阱中运动粒子
能量可能值
n
a sin nπ x 2a
En

n2π2h2 2ma 2
Hˆ

h2 2m
d2 dx2


a 2
sin
nπ a
x


π2h2 2ma2
n2
能量的可能值即为相应算符的本征值。
10
基本假定： 如果力学量F的相应算为 F，ˆ 则 力学量F的可能值即为 的F本ˆ 征值,当系统处 于 的本Fˆ征态时,力学量F 有确定值，亦即在 Ψ态中 的本征F值ˆ 。
Fˆ Fˆ rvˆ, pvˆ Fˆ rvˆ, ih
[例] 角动量
v L

rv
pv
角动量算符 Lvˆ rvˆ pvˆ rvˆ ih
RETURN
12
二、 算符的基本性质
1．定义 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号Fˆ 2．基本性质w 2
所以 x x 2 d x dxdydz


同 理： y y dxdydz z z dxdydz 5
(2)势能期望值
V

xv



*V

xv
d
(3)动量的期望值
pr xv 2 pr d
结论Ⅱ：力学量F的可能值与相应算符的本征值对应
Aˆ A
量子力学中力学量与力学量算符的这种对 应关系称之为：
力学量算符表示力学量。
11
3.量子力学中力学量算符的构成规则
如果量子力学中的力学量F在经典力学 中有相应的力学量，则表示这个力学量 的算符 由Fˆ经典表示式F(r,p)中将r,p换成 相应的算符而构成。
RETURN
3
§3.1 表示力学量的算符 一、力学量的算符表示 [引]
经典力学量特点：任何状态下，都有确定解。 量子力学量特点：任何状态下，一般具有一 系列可能值，每个可能值以一定的概率出现。
力学量如何表示
4
1.力学量的期望值与算符的关系
量子态的平均值（力学量F在态中的平均
值）称为期望值。
(1)坐标的期望值 粒子处于处的概率密度