人教A版高中数学选修22 .2 导数的概念教学 课件
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人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 基本初等函数的导数
2
=-3 .
-3
(3)y'=14x13.
1
(4)∵y=4 =x-4,
∴y'=-4x
4
=-5 .
-5
1
5
;(4)y= 4 ;(5)y=
1 x
3
x ;(6)y=(3) ;(7)y=log3x.
-2
0
14
(1)y=e ;(2)y=x ;(3)y=x
5
解 (5)∵y= x 3 =
3 -2
∴y'= x 5
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进
行求解.两种情况的区别就在于切点已知和未知的问题,都需要借助导数的
几何意义求解.
变式训练3[2024广东惠州高二统考]已知函数f(x)=x3.求:
(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
★★(2)曲线y=f(x)过点B(0,16)的切线方程.
解 (1)因为f'(x)=3x2,所以f'(1)=3,
又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)设切点为(x0,03 ),则 f'(x0)=302 ,所以切线方程为 y-03 =302 (x-x0).
因为切线过点 B(0,16),
m
n
x ,从而 f'(x)=(x
m
n
m
)'= n
·x
m
-1
n
.
思考辨析
对于幂函数f(x)=xα,当α分别取1,2,3,-1,
1
时,f'(x)分别为多少?
2
人教版A版高中数学选修2-2：导数的概念_课件3
[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
[答案] －2A
[例 4] 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：
s)
s＝32t92＋＋32(t－3)2
(t≥3) (0≤t<3)
① ②.
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(4) 由 (2) 知 落 体 在 t0 ＝ 2 秒 的 瞬 时 速 度 为 v ＝ g×2≈9.8×2＝19.6(米/秒)．
[点评] 应注意区分平均速度与瞬时速度的概 念、瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这一段 时间内的平均速度当Δt→0时的极限，即运动 方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导数．
＝4litm→0
f(a＋44t)t－f(a)－5litm→0
f(a＋5t)－f(a) 5t
＝4A－5A＝－A.
[点评] 概念是分析解决问题的重要依据，只 有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与 外延，才能灵活地应用概念进行解题，解决 这类问题的关键是等价变形，使问题转化．
已知 f′(x0)＝A，则 liΔmx→0 f(x0－2ΔΔxx)－f(x0)＝____.
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
ΔΔst＝f(0＋ΔΔt)t－f(0) ＝29＋3[(0＋Δt)－Δ3]t2－29－3(0－3)2＝3Δt－18， ∴物体在 t＝0 处的瞬时变化率为 Δlitm→0 ΔΔst＝Δlitm→0 (3Δt－18)＝－18， 即物体的初速度为－18m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬进速度即为函数在t＝1 处的瞬时变化率．
－1 1＋Δx·(1＋ 1＋Δx)
2022-2023学年人教A版选择性必修第二册 5-1-1 变化率问题与导数的概念 课件(31张)
3．在 f′(x0)＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为(
C
)
A．大于 0 B．小于 0
C．等于 0 D．大于 0 或小于 0
强研习·重点难点要突破
研习 1 函数的平均变化率
[典例 1] (1)函数 y＝1x从 x＝1 到 x＝2 的平均变化率为( B )
A．－1
B．－12
C．－2
D．2
(2)已知函数 y＝3x－x2 在 x0＝2 处的增量为 Δx＝0.1，则ΔΔxy的值为( B )
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
(1) [解析] 平均变化率为ΔΔxy＝122－ －11＝－12. (2) [解析] ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴ΔΔyx＝－00.1.11＝－1.1.
研习 2 求瞬时速度 [典例 2] 一个做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度． 在 0 时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－ΔtΔt2＝3－Δt， Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
时速度，即瞬时速度 v＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→ m0
st0＋ΔΔtt－st0.
知识点 2 函数的平均变化率 对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0 变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)．这时，x 的变化量为 Δx，y 的变化量为 Δy＝___f_(x_0_＋__Δ_x_)_－__f(_x_0_) __.我们把比值ΔΔyx， 即ΔΔyx＝f__x0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0__叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
高中数学 导数的概念_说课课件 新人教A版选修2-2
有了新的概念， 当然少不了例题和 练习.
例1的设置是对 导数概念的及时巩 固和诠释，同时规 范解题的格式.
让学生从中总结 求导的步骤，实现 由理论到技能的转 化.
导 数 DAOSHU
（四）成果巩固
分组练习
1、求函数 y 在x3
x1,2处， 的， 导6 数. 2、求函数y=x4在
x1,2处， 的， 导6数.
人民教育出版社
普通高中课程标准实验教科书 选修2-2 第一章
导 数 DAOSHU
五 教学过程
导 数 DAOSHU
微积分的创立是数学发展中的里程 碑，导数是微积分的核心概念之一．
在本节课中学生将经历由平均变化率 到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解 导数的含义，体会导数的内涵，感受导数 在解决数学问题和实际问题中的作用．
在第 2h与第 6h时,原油温度的瞬时 分变 别化 为 3 率 与5.它说明在 2h附 第近 ,原油温度大 30C约 /h的 以速 率下;降 在6h附近 ,原油温度大 50C约 /h的 以速率.上升
意义，这也是 本节课的重点.
强一
般 ,f'地 x0反
映
了
原
油x温 附度 近在 的时 变刻 化 0
当然别忘了
的瞬时变化,率 并说明它们的意. 义
设计意图
实际生产 生活中的应 用最能体现 数学的价值.
导 数 DAOSHU
（七）实际应用
设计意图
解：
，根据导数的定义
在例题的解
和 f' 6 同理 .f可 '6得 5.
在2第 h和6第 h时,原油温度 f'2的瞬时
析中要特别强 调x=2和x=6处
的导数的实际
特 别
人教A版高中数学选修22 .2 导数的概念教学 课件
（ 3） 求 y 3 x 1在 x 1处的导数 ；
3 .探究 : 2 题所求的导数与该方程
所表示
的直线的斜率有什么关
系?
4 .试设计方案求情境中 B 点的瞬时速度 。
人教A版高中数学选修22 .2 导数的概念教学 课件（精品课件）
2. f (x0)与x的具体取值无关。 3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
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由导数的，定 求义 函 y可 数 f(x)的 知导数的：一般
1.求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0);
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∆t<0时，在[2+∆t,2]这段时间内
vh(2)h(2t)4.9(t)21.31t
2(2t)
t
4.9t1.31
∆t>0时观，在察[2：,2+当∆t]Δ这t段趋时近间于内 0
人教A版高中数学选修22 .2 导数的概念教学 课件（精品课件）
提出想法：如果能求得t=2s附近的平均速 度，即如果|∆t|非常非常小， h 就可以近似
t
地反映这段时间内任何时刻的瞬时速度
实施想法：在t=2之前或之后，任取一个时刻2+∆t,∆t 为时间改变量，当∆t<0时，2+∆t在2之前，当∆t>0时， 2+∆t在2之后。
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人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
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人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
高二数学人教A版选修2-2导数的计算(二)课件
复合函数的导数
• 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__y_u_′·_u_x_′___.即y对 x的导数等于__y_对__u_的__导_数___ __与__u_对__x的__导__数__的_乘__积____．
• 2．复合函数求导应注意的问题
(1)y＝3－14x4；(2)y＝cos(2 008x＋8)； (3)y＝21－3x；(4)y＝ln(8x＋6)．
[思路点拨] 选取中间变量 → 分解 → 求导 → 转化
解析： (1)引入中间变量 u＝φ(x)＝3－4x. 则函数 y＝3－14x4是由函数 f(u)＝u14＝u－4 与 u＝φ(x)＝3－4x 复合而成的． 查导数公式表可得 f′(u)＝－4u－5＝－u45，φ′(x)＝－4. 根据复合函数求导法则可得3－14x4′＝f′(u)φ′(x) ＝－u45·(－4)＝1u65 ＝3－164x5.
高中数学人教A 版选修2-2
1.2.2 导数的计算（二）
• 1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．
• 2．能利用复合函数的求导法则进行复合函数 的求导.（难点）
• 3.掌握求曲线切线方程的方法和切线问题求 参数的题型.（重点）
导数的运算法则
• 设两个函数分别为f(x)和g(x)
两个函数的 和的导数
两个函数的 商的导数
gfxx′＝_f_′__x__g__[xg_－_x_f]_2x__g_′___x_(_g_(_x)_≠__0_)___
• 1．应用导数的运算法则应注意的问题
• (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不 要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用 运算法则求简单函数的导数即可．
• (2)对于和差的导数运算法则，此法则可推 广到任意有限个可导函数的和或差，即 [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)± f′2(x) ±…±f′n(x)．
人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 复习课 第2课时 一元函数的导数及其应用
故 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
②当 Δ=0,即 a=2√2时,仅当 x=√2时,
有f'(x)=0,对其余的x>0都有f'(x)>0.
故函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
③当 Δ>0,即 a>2√2时,方程 g(x)=0 有两个不同的实根,
即
-√ 2 -8
+√ 2 -8
f'(x)=0 有两个不同的实根,x1= 2 ,x2= 2 ,0<x1<x2.
1 4
,
4 5
.
反思感悟 1.极值和最值是两个不同的概念,前者是函数的“局部”性质,而
后者是函数的“整体”性质.另函数有极值未必有最值,反之亦然.
2.判断函数“极值”是否存在时,务必把握以下原则:
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求方程f'(x)=0的根.
(3)检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号.
的一个是最大值,最小的一个是最小值.
9.解决实际问题的基本思路
实际问题→用函数表示的数学问题
↓
实际问题的答案←用导数解决数学问题
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数在闭区间上的极大值就是最大值.( × )
(2)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必存在最大值与最小值.( √ )
x2
0
极小值
(x2,+∞)
+
单调递增
【例3】
已知函数f(x)=x2+
求a的取值范围.
(x≠0,a∈R),若f(x)在区间[2,+∞)内单调递增,
②当 Δ=0,即 a=2√2时,仅当 x=√2时,
有f'(x)=0,对其余的x>0都有f'(x)>0.
故函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
③当 Δ>0,即 a>2√2时,方程 g(x)=0 有两个不同的实根,
即
-√ 2 -8
+√ 2 -8
f'(x)=0 有两个不同的实根,x1= 2 ,x2= 2 ,0<x1<x2.
1 4
,
4 5
.
反思感悟 1.极值和最值是两个不同的概念,前者是函数的“局部”性质,而
后者是函数的“整体”性质.另函数有极值未必有最值,反之亦然.
2.判断函数“极值”是否存在时,务必把握以下原则:
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求方程f'(x)=0的根.
(3)检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号.
的一个是最大值,最小的一个是最小值.
9.解决实际问题的基本思路
实际问题→用函数表示的数学问题
↓
实际问题的答案←用导数解决数学问题
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数在闭区间上的极大值就是最大值.( × )
(2)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必存在最大值与最小值.( √ )
x2
0
极小值
(x2,+∞)
+
单调递增
【例3】
已知函数f(x)=x2+
求a的取值范围.
(x≠0,a∈R),若f(x)在区间[2,+∞)内单调递增,
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2 导数的概念及其几何意义课件2高二选修22数学课件
B．f′(x0)＝fx0＋ΔΔxx－fx0
C．f′(x0)＝lim [f(x0＋Δx)－f(x0)] Δx→0
【答案D】．Df′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
12/8/2021
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教材整理 2 导数的几何意义 阅读教材 P61“练习”以下至 P62“例 4”以上部分，完成下列问题． 1．如图 3-2-1 所示，设函数 y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可 以看出：当 Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线； 当 Δx 趋于零时，点 B 将沿着曲线 y＝f(x)趋于点 A，割 线 AB 将绕点 A 转动最后趋于直线 l.直线 l 和曲线 y＝f(x) 在点 A 处“相切”，称________为曲线 y＝f(x)在点 A 处 的切线．
＝ lim
Δx→0
x0＋Δx3－x0＋Δx2＋1－x30－x20＋1 Δx
＝3x20－2x0.
由题意知，3x20－2x0＝1，解得 x0＝－13或 x0＝1.
12/8/2021
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于是切点的坐标为－13，2237或(1,1)． 当切点为－13，2237时，2237＝－13＋a，a＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为－13，2237.
12/8/2021
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求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线 的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切 点在曲线上，可得切点的纵坐标.
导数的概念及其几何意义课件(2)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
∴y′|x＝2＝2.
例题4 已知抛物线y＝2x2＋1，（1）抛物线上哪一点的切 线的倾斜角为45°？（2）抛物线上哪一点的切线平行于直 线4x－y－2＝0?（3）抛物线上哪一点的切线过点（0,1）？
解 设抛物线上一点的坐标为(x0，y0)，f(x)＝2x2＋1， ∵ΔΔyx＝2x＋Δx2＋Δx1－2x2－1＝4x＋2Δx. ∴f′(x)＝lim (4x＋2Δx)＝4x.
y
y=f(x) 割线
f(x0+△x)
f(x0) O
P
T 切线
f(x0+△x)-f(x0)
P0
x0 △xx0+△x
x
y
思考 此处的切线定义与初中学过的切线
定义有什么不同？
• 圆是一种特殊的曲• 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置
的直线定义为切线（交__点__可__能_不__惟__一_）适用
∴ lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
1＋2＋2Δx＝2，
从而 y′|x＝2＝2.
方法二(导函数的函数值法)：
Δy＝(x＋Δx)－x＋4Δx－x＋x4＝Δx＋xx4＋ΔxΔx，
ΔΔxy＝Δx＋xΔxx4＋ΔxΔx＝1＋xx＋4 Δx，
∴y′＝ lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
1＋xx＋4 Δx＝1＋x42，
Δx→0
∴f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线在点(x0，y0)处的切线的倾斜角为 45°，
∴斜率为 tan45°＝1，即 f′(x0)＝4x0＝1，得 x0＝14，
故
y0＝2×
1 4
2＋1＝98，该点为
1，9 48
.
(2)∵抛物线在点(x0，y0)处的切线平行于直线 4x－y－2＝0，
第二学期高二数学人教A版选修22.2导数的概念精品PPT课件
y' |xx0 表 示 函 数 y关 于 自 变 量x在x0处 的 导 数.
1 .平 均 变 化 率 ： y f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 x ) f(x 1 )
x x 2 x 1
x
2．瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在_某__一__时__刻___的速度称为瞬时速度．
易混点
1.h(t0t)h(t0) [4.9(t0t)26.5(t0t)10](4.9t026.5t010) 4.9(t022t0tt2)6.5t06.5t104.9t026.5t010 9.8t0t4.9t26.5t 2 .v h th (t0 tt) h (t0 ) 9 .8 t0 t 4 .9 t t2 6 .5 t 9 .8 t0 4 .9 t 6 .5 3 .求 当 t趋 于 0 时 ， v 趋 于 的 值 ? lit m 0 ( 9 .8 t0 4 .9 t 6 .5 ) 9 .8 t0 6 .5 4 . 当 t 0 = 2 时 ， l i t m 0 ( 9 . 8 t 0 4 . 9 t 6 . 5 ) 9 . 8 2 6 . 5 = 1 3 . 1
肇庆学院附属中学 郑瑞华老师
复习回顾 1.1.1变化率问
题 具 体 实 例 ( 数 学 上 ) ： 函 数 yf(x )的 图 象 分 别 如 下 ，
求 [ 0 , 3 ] 上 的 平 均 变 化 率 ？
y
y
y
10
10
10
3x
3x
3x
（1）
（2）
（3）
yf(3)f(0)10, x 30 3
yf(3)f(0)10, x 30 3
但是x 0到底是个啥？ 无穷小量究竟是不是0？ 无穷小及其分析是否合理？
高中数学第五章导数的概念及其几何意义第2课时导数的几何意义pptx课件新人教A版选择性必修第二册
()
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，
人教A版高中数学选修2-2 3.1.2 导数的概念
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
问题：已知函数y xf ' (x)的 图象如图（其中f '(x)是f (x) 的导函数）下列四个图象中
y 2
-1 -2
1 -1
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
yA
解： f ( x ) 的大致形状如右图： y f (x)
这 里 ， 称 A , B 两 点 为 “ 临 界 点 ”
B
o 2 3x
已知导函数 f ' ( x) 的下列信息：
当1<x<4时，f '( x ) >0;
当x>4,或x<1时，f '( x ) <0;
当x=4,或x=1时，f '( x ) =0.则函数f(x)图象的大致
y f (x)的图象大致是（Ｃ ）
-2
2 1x
-１ -２ ２
Ａ
２ -１ １
-２ -１ １
Ｂ
Ｃ
-１ -２
Ｄ
巩
固
f(x )1x 31x27单 调 区 间 322
（第一步）定义域R , f (x) =x2-x=x(x-1)
（第二步）令x(x-1)>0, 得x<0或x>1，则 f(x)单调 递增区间（－∞，0）,（1， +∞）
P
2
3Dx0
人教A版高中数学选修22《.2导数的概念》精品PPT课件
人教A版高中数学选修22《.2 导数的概念》课件-精品课件ppt(实 用版)
确定 思路 实施 操作 发现 规律 形成 概念
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将“附近”这个词量化
产生逼近的趋势
设置表格、分组计算
体会逼近的思想
数学表达式
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确定 思路 实施 操作 发现 规律 形成 概念
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h
O2
2
tt
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确定 思路 实施 操作 发现 规律 形成 概念
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形成 概念
从一般到特殊
求运动员在t=2s时的瞬时速度？
由已知探求未知
求运动员在2s附近的平均速度？
确定 思路
实施 操作
发现 规律
形成 概念
将“附近”这个词量化
确定 思路
实施 操作
发现 规律
形成 概念
h 将“附近”这个词量化
O
2
t
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（思考题）
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无限逼近 无限逼近
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人教版高中数学选修2-2 导数与最值 PPT课件
x5
x015-1-4
x0
x
o
x0
x
3
二 函数极值的定义
定义 设函数f ( x )在区间(a , b)内有定义, x 是 0
(a , b)内的一个点 , 如果存在着点 x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x , 除了点 x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值 ; 如果存在着点 x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x , 除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值 .
2015-1-4 4
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12x 3
有极大值 f (1) 2和 极 小 值 f ( 2) 1, 点x 1, x 2是 函 数 f ( x )的 极 值 点 。
注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 图形如下
M
N
2015-1-4
9
函数的最大值与最小值
知识回顾 1、分析下图一个定义在区间 a, b上的函数 f ( x ) 的极值 和最值．
2015-1-4
10
2、函数 f ( x ) 在 a, b 上间断或在开区间 (a , b) 上连续是否也
②求函数 f ( x )在区间端点 f (a )、f (b) 的值；
③将函数 f ( x )在各极值与 f (a )、f (b) 比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值．
2015-1-4 12
(数学选修2-2)导数的概念课件
f(x2) － f(x1)
x2 － x1
f ( x 2) x2
问题探究
【背景材料2】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位:m)与起跳后的时间t (单位:s)存在函数关系: h(t)＝－4.9t 2＋6.5t＋10. 如何计算运动员在0s到 65 s时段内的平均速度?
运动员在该时段内是静止吗? h 65 h( ) - h( 0) 49 v= =0 65 - 0 49 平均速度不能反映他在这段时间 O 65 t 里运动状态, 65 t 49 需要用瞬时速度描述运动状态. 98 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?f(x2) f(x1)B Ax2 x1
y=f(x)
f x2 f x1
C
x2
O
x1
x
f ( x2 ) - f ( x1 ) 3.平均变化率 的几何与物理意义是: x2 - x1
(1)表示函数y=f(x) 图像上割线AB的斜率.
(2)表示位移S=f(x) 在时间段[x1, x2]上的平均速度. S=f(x), f ( x 1) x1
Vh h( 2 + Vt ) - h( 2) v= = = - 4.9Vt - 13.1 Vt Vt
△t
v
－13.051 －13.095 1 －13.099 51 －13.099 951
△t
v
－13.149 －13.104 9 －13.100 49 －13.100 049 －13.100 004 9 ……
还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个确定的值 13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 | t | 无限变小时, 平均速度v就无限趋近于t 2时的瞬时速度. 运动员在t 2时的瞬时速度是 13.1m / s.
人教版高中数学选择性必修2《导数的概念及其意义》PPT课件
高中数学
选择性必修第二册 RJ
RJA
第五章
1
5.1导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念
及其几何意义
学习目标
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系.
3.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法.
4.掌握导数的概念及其几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲
4x (x) 2 7 x
x 3，
x
了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
y
lim (x 3) 3.
x 0 x
x 0
所以f '(2) lim
同理可得 ′（6）＝5.
在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为−3 ℃/h与5 ℃/h.说明在第2 h附近，
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′（6）＝ − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度
每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
我们知道，导数 ′（0）表示函数＝（）在＝0处的瞬时变化率，反映了函数
＝（）在＝0附近的变化情况.那么导数 ′（0）的几何意义是什么？
思考：观察函数＝（）的图象（如下图），平均变化率
原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
例3
一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 s时汽车的速度（单位：m/s）为
＝（）＝ − 2 + 6 + 60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
选择性必修第二册 RJ
RJA
第五章
1
5.1导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念
及其几何意义
学习目标
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系.
3.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法.
4.掌握导数的概念及其几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲
4x (x) 2 7 x
x 3，
x
了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
y
lim (x 3) 3.
x 0 x
x 0
所以f '(2) lim
同理可得 ′（6）＝5.
在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为−3 ℃/h与5 ℃/h.说明在第2 h附近，
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′（6）＝ − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度
每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
我们知道，导数 ′（0）表示函数＝（）在＝0处的瞬时变化率，反映了函数
＝（）在＝0附近的变化情况.那么导数 ′（0）的几何意义是什么？
思考：观察函数＝（）的图象（如下图），平均变化率
原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
例3
一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 s时汽车的速度（单位：m/s）为
＝（）＝ − 2 + 6 + 60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
人教a版数学【选修2-2】1.1.3《导数的概念》ppt课件
重点：导数的几何意义及曲线的切线方程． 难点：对导数几何意义的理解．
导数的几何意义
新知导学 1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当
Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的 直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的 __________．
[解析] (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
y′|x＝2＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
132＋Δx3＋43－13×23－43 Δx
＝Δlixm→0[4＋2·Δx＋13(Δx)2]＝4. ∴k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y
)
A．1
B．π4
C．54π
D．－π4
[答案] B
[解析] ∵y＝12x2－2，
∴y′＝ lim Δx→0
12x＋Δx2－2－12x2－2 Δx
＝ lim Δx→0
12ΔxΔ2＋x x·Δx＝Δlixm→0
x＋12Δx＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴点P1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
数f(x)的导函数__________．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在点x＝x0 处的函数值，f即′(xf)′(x0)＝__________.
f′(x)|x＝x0
牛刀小试
1．(2014·三峡名校联盟联考)曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线 方程为( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x
[答案] B
( 人教A版)高中数学选修22：1.2.11.2.2第1课时导数公式课件 (共31张PPT)
人教A版数学 ·选修2－2 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 9:26:13 AM
•11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/152021/9/152021/9/15Sep-2115-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/152021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021
1．曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线只有一条，但过点 P 求曲线 y＝f(x)的切线时， 点 P 不一定是切点，故应设出切点坐标，并求切点坐标，有几个切点就有几条 切线． 2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方 程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的 导数值．
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第 1 课时 导数公式
考纲定位
重难突破
1.能根据定义求函数 y＝c，y 重点：基本初等函数的导数
＝x，y＝x2，y＝1x，y＝
x的
公式和导数的四则运算法 则，并能用公式和法则求简
导数.
单函数的导数.
2.掌握基本初等函数的导数 难点：指数函数和对数函数
[典例 2] 已知曲线 y＝ x，求：
(1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程；
(2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程．
[解析] (1)设切点坐标为(x0，y0)，由 y＝ x，
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9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
提出想法：如果能求得t=2s附近的平均速 度，即如果|∆t|非常非常小， h 就可以近似
t
地反映这段时间内任何时刻的瞬时速度
实施想法：在t=2之前或之后，任取一个时刻2+∆t,∆t 为时间改变量，当∆t<0时，2+∆t在2之前，当∆t>0时， 2+∆t在2之后。
∆t<0时，在[2+∆t,2]这段时间内
y f (x0 x) f (x0) ;
3.
求值
f
( x0 )
lim
x0
y . x
x
x
一差、二比、三求值
三.应用概念
例1: 求函f(数 x)1在x2处的导数 x
变1：式 求函 yx数 1在 x1处的。导数
x
例 2：求函 y数 x2在 x1处的。导数
变2：式 求函 yx2 数 1在 xx0处的 。导数
t1
t2
A
B
s | AB|20(m),t t2 t1 1(s)
v s2(0 m /s)7(2 km /h) t
超速20%
A，B点的速度也是72km/h吗？ 不是，又该如何求呢？
二.探究新知
瞬时速度:我们把物体地某一时刻的速度称为瞬
时速度
问题1:上节课讲的高台跳水运动问题,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关 系 h(t)4.9t26.5t1，0如何求t=2时的瞬时速度？
当∆t=-0.0001时，v -_13_._09_951 当∆t=-0.00001时，v -_13_._09_9951 当∆t=-0.000001时，v -_13_._09_99951 ……
当∆t=0.01时， v13.149
当∆t=0.001时， v -1_3_.1_04_9 当∆t=0.0001时，v -1_3_.1_00_49 当∆t=0.00001时，v -1_3_.1_00_0_49 当∆t=0.000001时，v -1_3_.1_00_0_049
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
（ 3） 求 y 3 x 1在 x 1处的导数 ；
3 .探究 : 2 题所求的导数与该方程
所表示
的直线的斜率有什么关
系?
4 .试设计方案求情境中 B 点的瞬时速度 。
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
为了表述方,我便们用
limh2th2 lim(4.9t 13.1) 13.1
t0
t
t0
表示"当t 2,t趋近于 0时,平均速v度趋近于确
定值13.1".
问题2：上式表示了t=2s的瞬时速度，那么运动 员在某一时刻 t 0 的瞬时速度怎样表示？
t0时刻的 ： lt 瞬 i0 m ht0时 tt 速 ht0度
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
……
我们发,当现 t趋近0于 时,即无t论 从小2于 的一,边 还是从大 2一于 边趋近 2时,于 平均速度都趋近 个确定的 1值 3.1.
从物理的 ,时角 间度 |间 t看 |无 隔限变 ,平 小均 时 速v度 就无限t趋 2时 近的 于瞬.因 时,此 运 速动 度 员t在 2时的瞬时 1速 .31m度 /s. 是
1.1.2导数的概念
一.创设情境
在科技发达的今天,道路上到处都装上了电子眼,电 子眼的一个重要作用就是查速,一汽车在一段限速为 60（km/h)的A处起步时听见电子眼“喀嚓”一声， 行至B处又听见“喀嚓”一声，A，B两处相距20米， 两“喀嚓”声的间隔时间为1秒，请问该车是否超速？ 超速多少？B点的速度又是多少？
vh(2)h(2t)4.9(t)21.31t
2(2t)
t
4.9t1.31
∆t>0时观，在察[2：,2+当∆t]Δ这t段趋时近间于内 0
时,平均速度有什么
变化趋势?
vh(2t)h(2)4.9(t)21.31t
(2t)2
t
4.9t1.31
当∆t=-0.01时，v 13.051 当∆t=-0.001时，v -_1_3._0_951
问题3：气球在体积为v 0 时的瞬时膨胀率如何表示？
： 在体 v0时 积 的 为 瞬 lv i0时 m rv0 膨 v v rv胀 0 率
问题4:如果将这两个变化率问题中的函数用y f (x)表示，
那么 y f (x)在xx0的瞬时变化率怎 ？样表示
函数 y f (x)在xx0时的瞬时变：化率
limfx0 xfx0
x0
x
定义:
函数 yf(x)在xx0处的瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim y
x 0
x
x0 x
称为y 函 f(x)数 在 xx0处的，记导 作：数 f (x0 )
或y |xx0
，
即 f '(x0)
lim
x 0
y x
lim
x0
f
(x0
Δx) x
f
( x0 )
1. f (x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。
2. f (x0)与x的具体取值无关。 3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的，定 求义 函 y可 数 f(x)的 知导数的：一般
1.求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0);
2. 求平均变化率
四.课堂小结
1.导数产生的背景----瞬时速度; 2.导数的形成过程; 3.导数的定义及其内涵; 4.思考方法——以已知探求未知。
五.作业
1 .P10习题 1 .1 A 组第 2 ,4 题 . 2 .求下列函数的导数
（ 1） 求 y 2 x 在 x 1处的导数 ；
（ 2） 求 y x 1在 x 2处的导数 ；