伴随矩阵的性质及应用

一．伴随矩阵的定义及符号

伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的，

1.代数余子式的定义

为了定义伴随矩阵，需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式： 在行列式

11111..................j n

i ij

in ni nj nn

a a a a a a a a a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij

ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式。

2.伴随矩阵的定义

设ij A 是矩阵

11111..................j n i ij in ni nj nn a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

中元素ij a 的代数余子式，矩阵 112111222

2*12.........n n n n

nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 称为A 的伴随矩阵。

二．伴随矩阵的性质

1.伴随矩阵的基本公式：**AA A A A E ==

由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：

**000000d d AA A A A E d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦

其中d A =。

这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质，使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。

2.在公式**AA A A A E ==基础上推导出的其他性质

（1）A 可逆当且仅当*

A 可逆。

证明：若A 可逆，则A ≠0.由**AA A A A E ==知 *

A A E A ⋅= 故*1A A A -= 两边取行列式得*1A A

A

-= 即*11n A A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 故*A 0≠，从而*A 可逆

（2）1*n A A

-=，其中A 是n ⨯n 矩阵 证明：由**AA A A A E ==,知*n

A A A = ①.当A =0时，有|A ∗|=0及|A |=0，故|A ∗|=|A |n−1=0 ②．当A ≠0时，知AA ∗=0由引理得秩（A ）+秩（A ∗）≤n

且秩（A）≥1，则秩（A∗）