数字一在数学解题中的妙用

“1”在数学解题中的妙用
自然数1是人类最早用作记数的单位，数的发展就是从这1开始的。

随着时间的推移，1的作用也逐渐被人们所认识，在现代数学中，1是两进制的基本元素，因此，它就成了电子计算机、逻辑代数的奠基者。

在中学数学中，常常把1转化为其它数学表达式，从而使问题获解或问题化难为易。

本文仅就1在中学数学中的作用，谈一些自己的浅见。

[例题一] 若 a 2 + b 2 =c 2 + d 2 =1,且ac + bd =0
求 ab + cd.
本题如不借1的变形，问题不易求解，由条件启示，可用sin 2α + cos 2α=1来代换。

解：设sinα=a,cosα=b,sinβ=c,cosβ=d.
则有 ab + cd =sinα·cosα + sinβ·cosβ
=2
1(sin2α + sin2β) =sin(α + β)cos(α + β)=0
(∵ac + bd=sin α·cosβ+ cos α·sin β=sin(α + β)=0)
[例题二] 求证 ααα
αααcot csc cot csc 1cot csc 1-=++-+ 这类题目，一般先化成正弦、余弦函数，然后再通过演算加以证明。

但量，如果把左式分子中的1用csc 2α-cot 2α代换，证明过程就可简化。

证明：α
αααααcot csc 1cot csc cot csc 22++---=左式 ααααααc o t
c s c 1)1c o t )(c s c c o t (c s c ++++-= 右式=-=ααcot csc
[例题三] 已知x 2 + x +1 = 0
求：x 2004 + x 2005 + x 2006 + x 2007的值
1
111101220072006200520042322=+++=+++=-=+==++ωωωωωωωωωωω原式可算出的关系及利用的两个根是解，。

、x x ：
[例题四] 证明f （x ）=lg （x x ++12）为奇函数
证明：利用1的代换关系式： 由1)1)(1(22=-+++x x x x 得：x x x x ++=-+11
122
=(12)1-++x x
x x x f -+=∴1lg()(2
=lg(
12)1-++x x =)1lg(2x x ++-=x log -
解析几何中圆与椭圆中的某些题目, 利用1=sin 2α + cos 2α
可简化解题过程
[例题五] 已知点P 是圆(x+1) 2+y 2=1上的任意一点,求点P 到直线x+y-2=0的距离的最大值和最小值以及相应的点P 的坐标。

解：设)2,0[,sin ,cos 1πθθθ∈==+y x 则θθsin ,cos 1=+-=y x
)sin ,cos 1(θθ+-∴P 到直线x+y-2=0的距离为22
sin 1cos -+-=θθd =2)
4sin(23πθ+
-=2)
4sin(23πθ+-，当24ππθ=+时，即4πθ=时 12
2322
3min -=-=d ，此时P 的坐标为（)22,122-。

当234ππ
θ=+时，即45πθ=时，12232
23max +=+=d ，此时 点P 的坐标为)2
2,122(--。

[例题六]已知椭圆,14
92
2=+y x 过点P （0，3）引直线l 与椭圆交于A 、B 两点，且点A
位于B 和P 之间。

若AB AP λ=，求实数λ的范围。

解：设,2
sin ,3cos y x ==θθ利用椭圆的参数方程设 A （3)sin 2,cos 11θθ，B )sin 2,cos 3(22θθ 则)sin 23,cos 3(11θθ--=，)sin 2sin 2,cos 3cos 3(1212θθθθ--= 由λ=有)sin 2sin 2(cos 23)cos 3cos 3(cos 31
21121θθλθθθλθ-=--=-⎩⎨⎧ 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-2121sin sin )1(2
3cos cos )1(θλθλθλθλ 平方相加有 22121]sin )1(2
3[]cos )1[(λθλθλ=-++- 化简有12
1332sin )1(1-=-λθλ， 1sin 1≤θ 112
1332-≤-∴λλ，平方有22)1()121332(-≤-λλ 解之得4
1,45-≤≥
λλ或。

由于点A 位于点B 与P 之间 0≤∴λ，故41-≤λ。

解高次方程时，我们常用1代入方程，先看1是否为原方程的根。

[例七] 解方程 f （x ）=x 3 -3x 2 +5x -3 =0
解：∵f （1）=0，∴原方程由3次降为2次而获解，即：
f （x ）=（x-1）（x 2-2x-3）=0，只需要解x 2-2x-3=0就可以了。

1的作用渗透在数学的各个领域，如单位是1的圆，就可以作出三角函数线，使我们获得三角函数的几何意义。

教学中把握住“1”的妙用，既能提高学生的学习兴趣，又能训练学生思维的灵活性，何乐而不为？。