模糊判断矩阵权重的一种确定方法

模糊判断矩阵权重的一种确定方法
梁晓茹 ,殷春武
1 2
( 1. 西安文理学院 数学系 ,陕西 西安 710065; 2. 西京学院 基础部 ,陕西 西安 710123 )
摘 要 : 根据模糊一致性矩阵的性质 ,推出满足模糊一致性的等式 , 再利用点到面的欧氏距离最小 的原理得到确定权重的线性规划模型 ,从而给出一种确定权重的方法 . 最后给出应用实例 . 关键词 : 排序 ; 一致性 ; 模糊判断矩阵 ; 权重 中图分类号 : O223 文献标识码 : A
i=1
n
εij ・ εij = 0 i . j∈N 从而将模型 ( P1 )中带绝对值的线性规划模型转化为不带绝对值的模型 ( P2 ) . 此模型的求解方法很多 ,
+
很容易求出其解来 .
3 应用实例
针对某一属性 , 通过专家调查给出四个方案 模糊比较矩阵如下 :
0. 5 0. 1 0. 6 0. 7
[责任编辑 王新奇 ]
A M ethod of D eterm in in g Fuzzy M a tr ix W e ight
LI AN G X iao 2ru , Y IN Chun 2 wu
1 2
( 1. Departm ent of M athematics, Xi’ an University of A rts and Science, Xi’ an 710065, China; 2. Depart m ent of foundation, Xijing University, Xi’ an 710023, China)
Abstract: According to the p roperties of fuzzy consistency, the equation of satisfying fuzzy consistence is de2 ducted. Then, the function of line p rogramm ing is obtained from the p rincip le that the distance from point to p lane in Euclid space is the least, thus, a method of determ ining fuzzy judgment matrix weight is put for ward. Finally, an examp le is given to demonstrate it . Key words: sequence; consistence; fuzzy judgm ent matrix; weight
第 13 卷第 1 期 2010 年 1 月
西安文理学院学报 : 自然科学版 , Journal of Xi an University of A rts & Science (Nat Sci Ed )
Vol . 13 No. 1 Jan. 2010
文章编号 : 1008 2 5564 (2010) 01 2 0018 2 03
( fij - 1 ) W i + fijW j +ε N ij - ε ij = 0 i, j∈
+
( 4)
从而 ( fij - 1 ) W i + fijW j =εij - εij , 则模型 ( P1 ) 可转换为
m inJ = ∑ ∑ dij = ∑ ∑
i = 1 j = 1 j≠ i n n n n
+
-
(ε ij - ε ij ) ( fij - 1 )
+ 2
+
-
i = 1 j = 1 j≠ i
+f
2
ij
s . t . ( fij - 1 ) W i + fijW j +ε N ( P2 ) ij - ε ij = 0 i, j∈
-Fra Baidu bibliotek
∑W i = 1
i =1 n
定义 1
[3 ]
设有矩阵 F = ( fij ) n ×n如果 0 ≤fij ≤1, 且满足 fij + fji = 1, 则称矩阵 F 为为模糊互补矩阵 .
定义 2 设有模糊互补矩阵 F = ( fij ) n ×n , 如果对于 i, j, k ∈N 有 fij fjk fk i = fik fk j fji , 则称 F = ( fij ) n ×n为 模糊一致矩阵 . 定理 1
( fij - 1 ) W i + fijW j ( fij - 1 )
2
i = 1 j = 1 j≠ i
+f
2
ij
( P1 )
s . t ∑W i = 1
i=1
线性规划模型 ( P1 ) 中含有绝对值 , 为其求解带来了难处 , 为解决此问题 , 需将线性规划模型 ( P1 ) 经过适 当的转换求解 . 我们总是希望式 ( 1 ) 成立 , 当判断矩阵不满足一致性的时候 , 我们总希望所得到的解不 会相差很多 , 即下面的式子成立
1 模糊一致性矩阵的定义及其性质
记 N = { 1, 2 …, n} , 不考虑实际背景 , 设某准则下有 n 个方案 A i ( i∈N ) 进行两两比较 , 得到的判断
T 矩阵为 A, n 个方案 A i ( i∈N ) 的权重向量为 W = (W 1 , W 2 , W 3 , …, W n ) , 且 ∑W i = 1.
Wi W i +W j
, 即有
第 1期
梁晓茹 , 等 :模糊判断矩阵权重的一种确定方法
( fij - 1 ) W i + fijW j = 0 i, j∈N
T
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( 1)
显然 , 式 ( 1 ) 代表了 n ( n - 1 ) / 2 个平面方程 , ω = (W 1 , W 2 …, W n ) 可以看成是式 ( 1 ) 所示的 n ( n T 1 ) / 2 个平面方程的交点 . 当矩阵 F = ( fij ) n ×n不满足一致性的时候 , ω = (W 1 , W 2 , …, W n ) 不再是式 ( 1 )
2 2 2
( 2)
通过上面的分析可以知道 ( fij - 1 ) W i + fijW j = 0, ( i, j∈N ) 代表了 n ( n - 1 ) / 2 个平面 , 在此要求出空 间的一个点 ω到这 n ( n - 1 ) / 2 个平面的欧氏距离达到最小 , 其中 ω到第 ( i, j) 个平面的距离为
0 引言
在决策分析中 ,决策者可以给出关于两两方案的比较偏好信息 ,它可以构成一个判断矩阵 ,从判断 [1 - 2] 矩阵中元素表示方式 ,大概可以分成两类 : 一类是 AHP 互反判断矩阵 ; 另一类是模糊互补判断矩 [3 - 8] 阵 . 在有关判断矩阵的研究中关于一致性和排序是最为重要的课题 . 如今关于 AHP 判断矩阵的研 [9] 究已经很成熟 ,对于其排序和一致性修正已经有很多的方法 . 模糊互补矩阵的一致性和排序方法虽 [3 - 5] 有一定的进展 但并不怎么成熟 ,为此有人提出将模糊互补矩阵转换成 AHP 互反矩阵进行排序 , 虽 然可以解决排序问题 ,但我们所希望的还是能直接得到模糊判断矩阵的排序权重确定方法 . 由于很多区 间数排序都要运用到模糊互补判断矩阵 ,所以对于模糊互补矩阵的排序依然是我们要研究的课题 . 本文 根据模糊一致性矩阵的性质 ,推出满足模糊一致性的等式 ,再利用点到面的欧氏距离最小的原理得到确 定权重的线性规划模型 ,从而给出一种确定权重的方法 . 最后给出应用实例 .
所示的 n ( n - 1 ) / 2 个平面方程的交点 , 很自然的想法是求得一个排序向量 ω, 使其到各个平面的距离最 小 . 设平面方程为
c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn + b = 0
则空间一点 x = ( x1 , x2 , …, xn ) 到平面的欧氏距离为
d= c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn + b c1 + c2 + … + cn
[参 考 文 献] [1] 许树柏 . 层次分析 [M ]. 天津 : 天津大学出版社 , 1988. [2] 殷春武 . 模糊多准则群决策方法研究 [D ]. 西安 : 西安理工大学 , 2007, 4. [3] 蒋良奎 . 模糊一致矩阵在层次分析法中的应用 [ J ]. 上海海运学院学报 , 1998, 19 (2) : 55 - 60. [4] 张吉军 . 模糊层次分析 [ J ]. 模糊系统与数学 , 2000, 14 ( 2 ) : 80 - 88. [5] 徐泽水 . 模糊互补判断矩阵排序的一种算法 [ J ]. 系统工程学报 , 2001, 16 ( 4 ) : 311 - 314. [6] 樊治平 ,姜艳萍 . 模糊判断矩阵排序方法研究的综述 [ J ]. 系统工程 , 2001, 19 (5) : 12 - 18. [7] 宋光兴 ,杨德礼 . 模糊判断矩阵排序向量的确定方法研究 [ J ]. 模糊系统与数学 , 2004 18 ( 2 ) : 73 - 82. [8] 吕跃进 . 基于模糊一致矩阵的模糊层次分析法的排序 [ J ]. 模糊系统与数学 , 2002. 16 (2) : 79 - 85. [9] 王应明 . 判断矩阵排序方法综述 [ J ]. 决策与决策支持系统 , 1995, 5 ( 3 ) : 101 - 114.
A2 > A3 > A1 > A4
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西安文理学院学报 :自然科学版
第 12 卷
4 结语
在本文中根据模糊一致性矩阵的性质 , 得到满足一致性的 n ( n - 1 ) / 2 个等式 , 从而构成 n ( n - 1 ) /2 个平面 ,再利用点到面的欧氏距离最短原理来确定判断矩阵的排序权重 ,得到一种新的排序方法 ,该方法 能够充分利用决策者提供的判断信息 .
[8 ]
[3]
模糊矩阵 F = ( fij ) n ×n满足一致性的充要条件是 fij =
. W i +W j
Wi
2 线性规划排序方法原理
由定理可知 , 在互补判断矩阵中 , 如果给定的判断矩阵 F = ( fij ) n ×n满足一致性 , 则 fij =
收稿日期 : 2009 2 08 2 20 作者简介 : 梁晓茹 (1965 — ) ,女 ,陕西武功人 ,西安文理学院数学系讲师 . 研究方向 : 优化理论及方法 ,经济预测与决 策理论和方法 .
dij = ( fij - 1 ) W i + fijW j ( fij - 1 )
2
+f
2
ij
( 3)
在确定判断矩阵排序权重的过程中 , 即要求该权重向量 ω到各个平面的距离达到最小 , 为此可以 建立以下的线性规划模型 :
m in J = ∑ ∑ dij = ∑ ∑
i = 1 j = 1 j≠ i n n n n n
F =
0. 9 0. 5 0. 8 0. 4 0. 4 0. 2 0. 5 0. 9 0. 3 0. 6 0. 1 0. 5
运用行和法可以得到其排序特征向量为 ( 0. 237 5, 0. 325 0, 0. 250 0, 0. 187 5 ) T T 利用本文中的方法得到四个方案的排序为 :ω = ( 0. 232 0, 0. 332 8, 0. 235 0, 0. 220 2 ) , 从而