中点坐标公式及其应用

中点坐标公式

中点坐标公式

在平面直角坐标系中,如果线段AB 的端点A 、B 的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ,则其中点P ),(n m 的坐标为

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=22

21

21y y n x x m 图形说明如图（1）所示.

图（1）

以上便是线段的中点坐标公式.

知道三个点中任意两个点的坐标,可以求出第三个点的坐标.如:

抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点分别为)0,()0,(21x x 、

,则由中点中点坐标公式可知其对称轴为直线2

2

1x x x +=

.再比如,如图（2）所示,在平面直角坐标系中,□ABCD 的顶点A 为（1 , 2 ）,两条对角线交于点O,且点O （3 , 4）,则端点C 的坐标可由中点坐标公式求得为（5 , 6）.

图（2）

中点坐标公式的应用

例 1.（河南中考）已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点,若点A 的坐标为)0,2(-,抛物线的对称轴为直线,2=x 则线段AB 的长为________.

例2（北京月考试题）已知:如图,抛物线c bx x y ++-=2

经过直线

3+-=x y 与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x 轴的另一个交点

为C,抛物线的顶点为D. （1）求该抛物线的解析式;

（2）点M 为抛物线上的一个动点,求使△ABM 与△ABD 的面积相等的点M 的坐标.

y x

D B

A

C

O

y x

D

B A

C

O

解: （1）由题意知:A( 3 , 0 ),B( 0 , 3 ) ∵抛物线c bx x y ++-=2经过点A 、B

∴⎩⎨⎧==++-3039c c b 解之得:⎩

⎨⎧==32

c b

∴该抛物线为322

++-=x x y ; （2）∵D 为抛物线322++-=x x y 的顶点 ∴D( 1 , 4 )

①过点D 作DM ∥AB,交抛物线于点M,此时△ABM 与△ABD 的面积相等.可设直线DM 为m x y +-= ∵D( 1 , 4 ) ∴41=+-m ∴5=m

∴直线DM 为5+-=x y 令5322+-=++-x x x 解之得:2,121==x x

∴3,421==y y ∴点M( 2 , 3 )

（其中,点M( 1 , 4 )与点D( 1 , 4 )重合）

②∵ A( 3 , 0 ),B( 0 , 3 ),D( 1 , 4 ) ∴23332

2

=+=AB

2)34()01(22=-+-=BD

52)04()31(22=-+-=AD ∴20222==+AD BD AB ∴BD ⊥AB

延长DB 至点D′,使DB=B D′,并过点D′作直线AB 的平行线l ,l 与抛物线有两个交点,这两个交点即是符合题意的点M.

设直线l 为n x y +-=,点D′为),(q p

∵B( 0 , 3 ),D( 1 , 4 )

∴由中点坐标公式得:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=2432

10q p ∴⎩⎨⎧=-=21

q p

∴D′)2,1(- ∵直线l 经过点D′ ∴21=+n ∴1=n

∴直线l 为1+-=x y 令1322+-=++-x x x 解之得:2

17

3,217321-=+=

x x ∴2

171,217121+-=--=

y y ∴点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--+2171,2173或⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+--2171,2173 综上所述,点M 的坐标为

( 2 , 3 )或⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--+2171,2173或⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+--2171,2173.