二次曲线的定义

推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。 推论2′ 任一二级曲线可由 两个射影点列生成。 推论3′ 二级曲线上四条定 直线被其上任意一条直线所截 得四点的交比为定值。
注：推论3对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
二次曲线的射影定义 三、二次曲线的射影定义
由上述的两个定理及其推论，我们有 定义3 在射影平面上，称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线。 定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
二次曲线的射影定义 六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3′ (Maclaurin) 一条非 定理3(Maclaurin) 一条非 退化二阶曲线的全体切线构成 退化二级曲线的全体切点构成 一条非退化二阶曲线。 一条非退化二级曲线。 设 : S aij xi x j 0. 由本定理，[u1,u2,u3] 为 Γ上一点处的切线
的所有直线 [u1, u2, u3] 的集合称 为一条二级曲线. 其中 (bij) 为三 阶实对称阵, 秩 (bij)≧1。
定义2′ 如果 T 可以分解为 定义2 如果 S 可以分解为两 个一次因式的乘积，则称 S = 0 两个一次因式的乘积，则称 T 为退化二阶曲线，否则称为非 = 0 为退化二级曲线，否则称为 非退化二级曲线。 退化二阶曲线。
C ( B, A, B, A) C( B, A, B, A) AB( B, E, D, A) AB( D, A, B, E ). AB( B, E, D, A) AB( D, A, B, E ).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以 及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好 是已知两个三点形的六条边。结论成立。 注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
整理得
2 aij qi q j ( aij pi q j aij qi p j ) aij pi p j 0
为简便计，我们引入记号
(2)
S pp aij pi p j S pq aij pi q j S p aij pi x j
利用定理1的证明，此二射影线束 A B 0 A B 0 生成的二阶曲线的方程为 aAA dBB bAB cAB 0 由 λ + μ = 1 得 a = 0, b = c = 1, d = –1 , 代入上式得
2 x1 x3 x2 x3 x3 0,
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。 解 令 A x1 0, B x3 0; A x2 0, B x3 0.
(2)
即
x3 0 x1 x2 x3 0 这是一条退化的二阶曲线。
二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线
本部分总假定：所论二次曲线为非退化的 .1. 定义 定义4 与二阶曲线 Γ 交于两个重合的点的直线称为 Γ 的切线。
外 相异的实切线 一般地 , 点P在 上 过P有的两条 重合的实切线 内 共轭的虚切线
设
:
T bijuiu j 0
(bij bji )
| bij | 0
(1)
1.切点的定义 一般地，过平面上一点有 Γ′ 的两条直线。若过平面上某 点 P 有且仅有 Γ′ 的一条直线，则称 P 为 Γ′ 的一个切点。 2. 切点方程 一般 ( Γ′ 在l上的切点)：Tl 2 TllT 特殊 ( l 属于 Γ′ )： Tl 0
a11 a12 a13 u1 a12 a22 a23 u2 a13 a23 a33 u3 u1 u2 u3 0 0 (13)
展开, 得 T Aijui u j 0. 且Aij Aji , | Aij || aij |2 0. 注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。 推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
xi = pi + λqi 。 PQ 为 Γ 的切线 PQ 交 Γ 于两个重合的点 将 xi = pi + λqi 代入 Γ：S = 0 后只有一个解。代入得
即
a ( p q )( p a ( p p p q
ij i i
j
q j ) 0,
ij
i
j
i
2 q p qi q j ) 0 j i j
二次曲线的射影定义
注：Sp = 0 常用的等价写法
(1). a11 ( p1 , p2 , p3 ) a12 a 13 a12 a22 a23 a13 x1 a23 x2 0. x a33 3
(2).
S S S x x1 x x2 x x3 0. 1 p 2 p 3 p
二次曲线的射影定义
AM OP K 设 BM OP K
定理2的证明. 设 Γ 由 O(P) O′(P) 生成，需证 A( M ) B( M ).
则有
A( M ) OP( K ) B( M ) OP( K )
所以只要证 OP( K )
O( P) O( P),
OP( K ).
2来自百度文库S pq Sqq S pp
(4)
(4) 式即为 Q(q1,q2,q3)是 Γ 过 P(p1, p2, p3) 的切线上的点的充要条 件。习惯地，将其中的流动坐标 qi 换为 xi ，得到二阶曲线过点 P(p1, p2, p3) 的切线方程为
2 Sp S pp S
(5)
(5) 式为一个二次方程，故经过平面上一点 P 一般有两条切线。 如果 P 在 Γ 上，则 Spp = 0，从而，二阶曲线上一点 P 处的切线 方程为 Sp 0 (6)
二次曲线的射影定义
线.
例3 求证：x1x3 – x22 = 0 与 4u1u3 – u22 = 0 表示同一条二次曲 证明. 第一步. 验证已知两条二次曲线为非退化. 第二步. 将 aij, u1, u2, u3 代入 (13) 式, 展开即得 4u1u3 – u22 = 0.
Sqp aij qi p j Sq aij qi x j
Sqq aij qi q j
aij a ji , S pq Sqp .
代入(2)式得
Sqq 2 2S pq S pp 0
(3)
二次曲线的射影定义
从而Q(q1,q2,q3) 在过 P(p1, p2, p3) 的切线上 (3) 对 λ 有二重根
从而对应点的连线共点，即 AA′, BB′, KK′ 共点于 S。 但是 S OA OB 为定点，故当 M 变动时，KK′ 经过定点 S，即 OP(K ) OP(K ).
二次曲线的射影定义
推论1 平面上五点(其中无 三点共线)唯一确定一条非退 化二阶曲线。 推论2 任一二阶曲线可由 两个射影线束生成。 推论3 二阶曲线上四个定 点与其上任意一点连线所得四 直线的交比为定值。
注3. 由对偶原则，我们一般仅讨论二阶曲线，其结论均可对 偶地适用于二级曲线。 命题 S = 0 退化 |aij| = 0.
二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构
定理1 不同心的两个射影线束对应直线交点的全体构成一条 经过此二线束束心的二阶曲线 Γ. 注：若已知两个射影线束 A + λB ↔ A′ + λB′ 的对应式 a b c d 0 (ad bc 0) 则由此构成的二阶曲线方程为 : aAA dBB bAB cAB 0 (4.2) 定理2 设二阶曲线 Γ 由射影线束 O(P) 与 O′(P) 生成，则在 Γ 上任意取定相异二点 A和B，与 Γ 上的动点 M 连线可得两个射 影线束 A(M ) B( M ). 注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成，则其上点 的地位平等，以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则 得到两个也生成此曲线的射影线束。
二次曲线的射影定义 一、二次曲线的代数定义
定义1 坐标满足
S aij xi x j 0
i , j 1 3
定义1' 坐标满足
(1)
T bij uiu j 0
i , j 1 3
(aij a ji )
(bij b ji )
(1')
的所有点 (x1, x2, x3) 的集合称 为一条二阶曲线. 其中 (aij) 为 三阶实对称阵, 秩 (aij)≧1。
二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线
2、切线的方程 问题：已知二阶曲线
: S aij xi x j 0
i , j 1 3
(aij a ji )
(1)
求过定点 P(p1, p2, p3) 的 Γ 的切线方程。 设 Q(q1,q2,q3)为平面上任一点，则直线 PQ 上任一点可表为
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象 的不同描述，因此统称为二次曲线。 注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1 S ( x1 , x2 , x3 ) a12 a22 a23 x2 0, a x a a 23 33 3 13 或 S XAX 0. ( A A, 秩( A) 1)
O( A, B, P, M ).
设 OA BM A, OB AM B.
O( A, B, P, M )
分别以AM, BM截得
AM ( A, B, K , M ) BM ( A, B, K , M ). BM ( A, B, K , M ).
注意到 M M , AM ( A, B, K , M )
请自行证明这 三种写法确实 都与Sp=0等价.
(3).
S S S (3)式与解析几何中 p p p 0 . x 1 x 2 x 3 的切线方程一致 1 2 3
二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点
(5' ) (6' )
二次曲线的射影定义
例2 如果两个三点形 ABC 与 A′B′C′ 同时内接于一条二次曲线， 求证它们也同时外切于一条二次曲线。 证. 设交点 D, E; D′, E′ 如图。 因为 A, B, C, A′, B′, C′ 在同一条二次曲线 上，据二阶曲线的射影定义有 C ( B, A, B, A) C( B, A, B, A). 又