第1讲：多项式理论及多项式除法

x 7 商 4 8 除数 4 x 2 2 x 1 x3 4 x 2 3x 2 被除数 x2 x 3 x 2 4 7 x 2 13 x 2 2 4 7 x2 7 x 7 2 4 8 6 x 23 余数 4 8
3 23 3 2 x x 4 x 3x 2 x 7 2 8 2 2 4x 2x 1 4 8 4x 2x 1
项式与真分式的和。
例如
3 23 3 2 x x 4 x 3x 2 x 7 2 8 2 2 4x 2x 1 4 8 4x 2x 1
假分式 多项式 真分式
x 7 商 4 8 2 4 x 2 x 1 x3 4 x 2 3x 2 被除数 2 x x 3 除数 x 2 4 2 7 x 13x 2 2 4 2 7x 7x 7 多项式 长除法 2 4 8 6 x 23 的过程 余数 4 8
高一数学拓展讲座
第1讲：多项式理论及多项式除法
一、一元多项式理论
多项式是代数学中的一个基本概念，也是代 数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多 项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变 形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算 对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、 运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论 体系，为解代数方程奠定了理论基础。
关于因式分解理论，有两个基本问题： （1）怎样判断一个多项式是否可约？ （2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
对于（1）高等代数作出了回答：在复数域 中，一次多项式是既约的，任何次数大于1 的多项式都是可约的；在实数域中，次数大 于等于3的多项式是可约的；在有理数域中， 情况比较复杂，具体问题具体讨论 。
（一）一元多项式理论
1、一元多项式的标准形式
多项式理论是方程理论、函数理论、不等 式理论的基础。
2、多项式的恒等
定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的 多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项 式是恒等的。
特别地：一个一元n次多项式，如果对于 变数字母的任意取值，以标准形式给出的多 项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等 于0，这个多项式称为0多项式。
分解因式中的两个有用的结论：
多项式的长除法
Polynomial Long Division
介绍两个多项式的除法
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称为有理函数
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
假分式
多项式 真分式
定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项 式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项 分别具有相同系数的同类项。
定理3：数域F上以标准形式给出的两个多 项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同 的取值，那么这两个多项式恒等。 定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。
3、多项式的整除
因式分解的理论基础是因式定理 4、多项式的因式分解 中学教材规定：“把一个多项式化成 几个整式乘积的形式，叫做多项式的Βιβλιοθήκη Baidu式 分解”。要求：“因式分解要进行到不能 再分解为止。” 高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式 化成几个既约多项式乘积的形式。”
n
n 1
其中 m 、 n都是非负整数； a0 , a1 ,, an 及
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且 a0 0， b0 0 .
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an m m 1 Q( x ) b0 x b1 x bm 1 x bm
n
n 1
(1) n m , 这有理函数是真分式； ( 2) n m , 这有理函数是假分式；
正如假分数可以通过除法化为整数与真分 数之和：
3 4 13 13 1 3 12 4 4 1
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多