对数与对数运算二

＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.
题型四 对数换底公式的应用
例4 计算下列各式的值：
(1)(log43＋log83)log32； 1
(2) 2log52·log79 ； 13
log53·log7 4
(3)log 22＋log279.
【解】 (1)原式＝log134＋lo1g38log32
变式训练
3．计算： (1)log535－2log573＋log57－log51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋ lg 22－lg2＋1.
解： (1)原式＝ log5(5×7)－2(log57－ log53)＋ log57 －log595 ＝ log55＋ log57 －2log57＋ 2log53 ＋ log57－ 2log53＋ log55 ＝2log55＝2. (2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋ lg 2－12
2．设 3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．
解：由已知分别求出 x 和 y， ∵3x＝36,4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436， 由换底公式得：
x＝lloogg3366336＝log1363，y＝lloogg3366346＝log1364， ∴1x＝log363，1y＝log364， ∴2x＋1y＝2log363＋log364
【解】 12.…6 分
(1)原 式 ＝ log2
7×12 48× 42
＝
log2
1 ＝－ 2
2原式＝125lg2－2lg7－34×32lg2＋122lg7＋lg5
名师微博 这是关键步．
＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.12 分
【名师点评】 (1)对于同底的对数的化简常用方 法是：①“收”将同底的两对数的和(差)收成积(商) 的对数；②“拆”将积(商)的对数拆成对数的和 (差)． (2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内 向外逐层化简求值．
对数与对数运算（二）
星期四，快到成功的彼岸了，加油！
一、什么是对数？
新知初探思维启动
1．对数 (1)对数的概念 ①定义： 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数_x___叫做 以_a___为底_N___的对数，记作_x_＝__l_o_ga_N____.
对数运算
• 1阅读课本P64-66 ，完成优化P44 • 对数的运算公式
＝2lo1g32＋3lo1g32log32＝12＋13＝56.
1 lg2 lg9 1 lg2 2lg3 (2)原式＝l2g·13lgl5g·l3g74＝－2·llgg53·32lglg72 ＝－32.
lg5·lg7 lg5 ·lg7

(3)原式＝lloogg222212＋lloogg333332＝211＋23＝2＋23＝83.
想一想
2.若M，N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋ logaN(a>0，且a≠1)成立吗？ 提示：不一定成立．
做一做
3.log318－log32的值为( A．log316 C．log336 答案：D
) B．log320 D．2
4．lg 2＋lg 5的值为________． 答案：12
解：(1)原式＝lg10l＋g4l＋g0.l6g＋3 lg2＝llgg1122＝1. (2)原 式 ＝ lg5(3lg2＋ 3)＋ 3(lg2)2－ lg6＋ lg6－ 2＝ 3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2 ＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2
＝3(lg2＋lg5)－2＝1.
1
11
(3)log2125·log332·log53
＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－3log25·(－5log32)·(－log53)
＝－15·llgg52·llgg23·llgg35＝－15.
备选例题
1．求值：(1)1＋122llgg02.＋36l＋g313lg8； (2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2 3)2＋lg16＋lg0.06.
2．对数的计算
(1)对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋ logaN
；
②logaMN ＝ logaM－logaN ；
③logaMn＝ nlogaM(n∈R) ． (2)换底公式
logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．
1做优化P46例3 （1） 例4 （2）
题型三 对数运算性质的应用
例3 (本题满分 12 分)计算下列各式的值．
(1)log2 478＋log212－12log242； (2)12lg3429－43lg 8＋lg 245.
【思路点拨】 由题目可知(1)式中是以 2 为底的 对数，(2)式中都是常用对数，同时两式中含有根 号以及对数的加减运算，可利用对数运算性质进行 计算．
【名师点评】 换底公式的本质是化同底， 这是解决对数问题的基本方法．解题过程中 换成什么样的底应结合题目条件，并非一定 用常用对数、自然对数．
变式训练
4．计算下列各式的值： (1)log89·log2732； (2)log927；
1
11
(3)log2125·log332·log53.
解：(1)log89·log2732＝llgg98·llgg3227 ＝llgg3223·llgg2353＝23llgg32·53llgg23＝190. (2)log927＝lloogg33297＝lloogg333332＝23lloogg3333＝32.
＝log36(32×4)＝log3636＝1.
方法感悟
方法技巧 1．logaN＝b 与 ab＝N(a＞0 且 a≠1，N＞0)是等价 的，表示 a，b，N 三者之间的同一种关系，可以 利用其中两个量表示第三个量． 2．利用对数运算法则求值，一般有两种处理方法． 一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的 运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后 化简求值；另一种是它的逆运算．