立体的相贯线画法指导
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§4.3 两立体相交求相贯线
立体可见表面上的点才是可见的。
当立体表面的投影有积聚性时，则可利用投影的积聚 性求作相贯线。
[例题1] 两平面立体相贯,完成相贯线投影
1.相贯线为一组闭合折线，相贯线的正面 投影未知，水平投影已知；相贯线的投影 前后、左右对称; 2.求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ等;
2' 1' 3'
3.顺次地连接各点，作出相贯线，并且判 别可见性; 4.整理;
同坡屋面屋顶平面图的画法。
1. 檐线相交的两个屋平面的交线，必通过这两 檐线的交点，其水平投影，则是这两檐线水平投影
夹角的平分线。
2.檐线平行的两个屋平面的交线，必平行于这两
条檐线，其水平投影，则是这两檐线水平投影的等
距平行线。 3.通过两条屋面交线的已知交点，至少还有第三 条屋面交线，其投影也是如此。该交点称为同坡屋 面的顶点，也可简称顶点。
相贯线投影 a` b` d`(f`) e``(f``) a``(b``) c``(d``)
c`(e`)
e a c
f b d
D C
E
A
1. 相贯线为圆弧和双曲 线的组合 ; 相贯线的侧 面投影已知 , 可利用表 面取点法求共有点;
2. 求相贯线上的特殊点 Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ; 3.求一般点Ⅲ; 4. 光滑顺次连接各点 , 作相贯线 , 且判别可见 性; 5.整理;
空间分析： 具有同坡屋面屋顶的楼房。
同坡屋面屋顶立体图。
平脊 斜脊 屋面交线交点 屋檐多边形
斜沟
同坡屋面特点：
（1）坡屋面如前后檐口线平行
且等高时，前后坡面必相交成 水平的屋脊线，屋脊线的H投影， 必平行于檐口线的H 投影，且与檐口线等距。 （ 2 ）同坡屋面的正投影和侧面投影中斜脊线和斜沟线与 水平线的角度反映出同坡屋面和地面的坡度。 （3）三个相交的坡面的三条交线必交于一点。 作同坡屋面的投影图，可根据同坡屋面的投影特点， 直接求得水平投影，再根据各坡面与水平面的倾角求得 V 面投影以及W 面投影。
当立体表面的投影有积聚性时，则可利用投影的积聚 性求作相贯线。
[例题1] 两平面立体相贯,完成相贯线投影
1.相贯线为一组闭合折线，相贯线的正面 投影未知，水平投影已知；相贯线的投影 前后、左右对称; 2.求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ等;
2' 1' 3'
3.顺次地连接各点，作出相贯线，并且判 别可见性; 4.整理;
同坡屋面屋顶平面图的画法。
1. 檐线相交的两个屋平面的交线，必通过这两 檐线的交点，其水平投影，则是这两檐线水平投影
夹角的平分线。
2.檐线平行的两个屋平面的交线，必平行于这两
条檐线，其水平投影，则是这两檐线水平投影的等
距平行线。 3.通过两条屋面交线的已知交点，至少还有第三 条屋面交线，其投影也是如此。该交点称为同坡屋 面的顶点，也可简称顶点。
相贯线投影 a` b` d`(f`) e``(f``) a``(b``) c``(d``)
c`(e`)
e a c
f b d
D C
E
A
1. 相贯线为圆弧和双曲 线的组合 ; 相贯线的侧 面投影已知 , 可利用表 面取点法求共有点;
2. 求相贯线上的特殊点 Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ; 3.求一般点Ⅲ; 4. 光滑顺次连接各点 , 作相贯线 , 且判别可见 性; 5.整理;
空间分析： 具有同坡屋面屋顶的楼房。
同坡屋面屋顶立体图。
平脊 斜脊 屋面交线交点 屋檐多边形
斜沟
同坡屋面特点：
（1）坡屋面如前后檐口线平行
且等高时，前后坡面必相交成 水平的屋脊线，屋脊线的H投影， 必平行于檐口线的H 投影，且与檐口线等距。 （ 2 ）同坡屋面的正投影和侧面投影中斜脊线和斜沟线与 水平线的角度反映出同坡屋面和地面的坡度。 （3）三个相交的坡面的三条交线必交于一点。 作同坡屋面的投影图，可根据同坡屋面的投影特点， 直接求得水平投影，再根据各坡面与水平面的倾角求得 V 面投影以及W 面投影。
第七讲立体的相贯线
概述
两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线 叫做相贯线。
平面立体相贯: 空间封闭折线
平面立体与曲 面立体相贯： 多段平面曲线
曲面立体相贯： 空间曲线
相贯线的基本特性
性质2、两曲面立 体的相贯线一般为 闭合的空间曲线
性质3、相贯线 是两立体表面 的分界线。
性质1、相贯线是 两立体表面的共有
线
表面交线的应用
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相 贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。
处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
例题 分析并想象出物体相贯线投影的形状
本章小结：
一、本节的基本内容 ⒈ 立体表面相贯线的概念
☆ 找特殊点 ☆ 求一般点 ☆判别可见性、光滑连接
4.整理相贯立体在各投 影中的投影轮廓线
相贯线投影的近似画法
当两正交圆柱直径相差较大时，其相贯线的投影
可用圆弧近似代替。
d/2
1′
2′
1〞(2〞)
d/2
4〞
3〞
1′′
2′
3′(4′)
d d
4
1
2
3
三点画圆弧
1
2
以大圆柱半径为半径画弧
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。
例 求圆柱和圆锥正交的相贯线。
1' 6’（5’）
4’（3’）
2'
PV P1V
1"
5"
6"
3"
4"
2"
3 5
21
6 4
PV
2'
两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线 叫做相贯线。
平面立体相贯: 空间封闭折线
平面立体与曲 面立体相贯： 多段平面曲线
曲面立体相贯： 空间曲线
相贯线的基本特性
性质2、两曲面立 体的相贯线一般为 闭合的空间曲线
性质3、相贯线 是两立体表面 的分界线。
性质1、相贯线是 两立体表面的共有
线
表面交线的应用
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相 贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。
处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
例题 分析并想象出物体相贯线投影的形状
本章小结：
一、本节的基本内容 ⒈ 立体表面相贯线的概念
☆ 找特殊点 ☆ 求一般点 ☆判别可见性、光滑连接
4.整理相贯立体在各投 影中的投影轮廓线
相贯线投影的近似画法
当两正交圆柱直径相差较大时，其相贯线的投影
可用圆弧近似代替。
d/2
1′
2′
1〞(2〞)
d/2
4〞
3〞
1′′
2′
3′(4′)
d d
4
1
2
3
三点画圆弧
1
2
以大圆柱半径为半径画弧
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。
例 求圆柱和圆锥正交的相贯线。
1' 6’（5’）
4’（3’）
2'
PV P1V
1"
5"
6"
3"
4"
2"
3 5
21
6 4
PV
2'
画法几何 立体的相贯线
相贯线是立体相交 的公共线投影在平 面上形成交点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线与截面法的联系
相贯线是立体几何中的重要概念表示两个立体相交时产生的公共线。 截面法是研究立体几何的重要方法通过截面可以直观地看到立体的形状和结构。 相贯线与截面法密切相关截面法可以帮助我们更好地理解和分析相贯线。 相贯线与截面法的结合可以更好地解决立体几何中的问题如立体的体积、表面积等。
立体相贯线的应用实例
第四章
圆柱与圆柱的相贯线
相贯线：两个圆柱体相交时其公共 部分的边界线
相贯线的性质：相贯线是圆柱体的 公共边界线也是圆柱体的截面线
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应用实例：两个圆柱体相贯时相贯 线是它们的公共边界线
相贯线的计算：通过计算两个圆柱 体的半径和角度可以计算出相贯线 的长度和位置
投影法需要掌握立体投影的基 本原理和技巧
截面法
截面法原理：通过截面将立体 相贯线转化为平面问题
截面选择：选择合适的截面如 垂直于相贯线的平面
截面求解：在截面上求解相贯 线的投影得到相贯线的方程
相贯线求解：根据截面求解的 结果求解立体相贯线的方程
辅助面法
辅助面法的定义： 通过添加辅助平 面使立体相贯线 在辅助平面上投 影从而求解立体 相贯线
平面相贯线：两个 平面相交形成的相 贯线
曲面相贯线：两个 曲面相交形成的相 贯线
空间相贯线：两个 空间相交形成的相 贯线
组合相贯线：多个 立体相交形成的相 贯线
相贯线画法课件
★ 作图方法：找两立体表面上的一系列共有点的投影。 求共有点的方法有：表面取点法 辅助平面法。
3.两圆柱正交相贯线画法 （正交、偏交、斜交）
（1）不相等直径两圆柱正交
例：求两圆柱正交的相贯线
分析：由投影图可知， 直径不同的两圆柱轴线 垂直相交，由于大圆柱 轴线垂直于W面，小圆 柱轴线垂直于H面，所 以，相贯线的侧面投影 和水平投影集聚在圆上， 只有正面投影需要求作。 相贯线为前后左右对称 的空间曲线。
画法： （1）以大圆柱半径为 半径 （2）在小圆柱轴线上 找圆心 （3）圆弧弯向大圆柱 轴线方向
R
练习：补全三视图中的相贯线
2 两等直径圆柱正交
其相贯线由空间曲 线变成两个椭圆。 如图所示，各椭圆 所在平面均与V面 垂直，因此它们的 V投影都积聚成直 线，由两立体在V 面上的转向轮廓线 的交点所连成。
求正交两圆柱的相贯线
利用表面取点法求两正交圆柱相贯线
利用积聚性在表面取 点 【例】求垂直相交的两 圆柱的相贯线
分析： (1)求特殊点 （2）求一般点 （3）连曲线并判别可见性 。 （4）描深，完成全图
43
完成后的投影图
不等径两正交圆柱相贯线简化画法
在不引起误解时，图形中的相贯线可以采用简 化画法。 例如，轴线正交且平行于V面的两不等直 径圆柱相贯，相贯线的V面投影可以用与大圆柱半 径相等的圆弧来代替。
第二节 截切体和相贯体 四 . 相贯体
1.概念 两立体相交叫作相贯，其表面产生 的交线叫做相贯线。
相贯的形式
平面体与回 转体相贯
回转体与回 平面体与平 转体相贯 面体相贯
2.相贯线性质 表面性——相贯线位于两立体的表面上。 共有性——相贯线是两立体表面的共有线。 封闭性——相贯线一般是封闭的空间曲线。
3.两圆柱正交相贯线画法 （正交、偏交、斜交）
（1）不相等直径两圆柱正交
例：求两圆柱正交的相贯线
分析：由投影图可知， 直径不同的两圆柱轴线 垂直相交，由于大圆柱 轴线垂直于W面，小圆 柱轴线垂直于H面，所 以，相贯线的侧面投影 和水平投影集聚在圆上， 只有正面投影需要求作。 相贯线为前后左右对称 的空间曲线。
画法： （1）以大圆柱半径为 半径 （2）在小圆柱轴线上 找圆心 （3）圆弧弯向大圆柱 轴线方向
R
练习：补全三视图中的相贯线
2 两等直径圆柱正交
其相贯线由空间曲 线变成两个椭圆。 如图所示，各椭圆 所在平面均与V面 垂直，因此它们的 V投影都积聚成直 线，由两立体在V 面上的转向轮廓线 的交点所连成。
求正交两圆柱的相贯线
利用表面取点法求两正交圆柱相贯线
利用积聚性在表面取 点 【例】求垂直相交的两 圆柱的相贯线
分析： (1)求特殊点 （2）求一般点 （3）连曲线并判别可见性 。 （4）描深，完成全图
43
完成后的投影图
不等径两正交圆柱相贯线简化画法
在不引起误解时，图形中的相贯线可以采用简 化画法。 例如，轴线正交且平行于V面的两不等直 径圆柱相贯，相贯线的V面投影可以用与大圆柱半 径相等的圆弧来代替。
第二节 截切体和相贯体 四 . 相贯体
1.概念 两立体相交叫作相贯，其表面产生 的交线叫做相贯线。
相贯的形式
平面体与回 转体相贯
回转体与回 平面体与平 转体相贯 面体相贯
2.相贯线性质 表面性——相贯线位于两立体的表面上。 共有性——相贯线是两立体表面的共有线。 封闭性——相贯线一般是封闭的空间曲线。
第六章 立体表面的相贯线
例6—3 补画俯视图上三棱柱与圆锥相交的相贯线。
三棱柱与圆锥相贯 a）两视图 b）立体图
第六章
立体表面的相贯线
求点Ⅰ和Ⅱ的投影
求点Ⅲ和Ⅳ的投影
第六章
立体表面的相贯线
求点Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ的投影
三棱柱与圆锥相贯的投影图
第六章
第三节
立体表面的相贯线
两回转体相交时的相贯线
当两回转体相交时，其相贯线是封闭的空间曲线，特殊情 况下为平面曲线。
圆锥与棱柱相贯
第六章
第一节
立体表面的相贯线
两平面立体相交时的相贯线
平面立体与平面立体相交的相贯线是由若干段直线所围成的封 闭空间图形。 例6—1 作长方体与正三棱锥相交的相贯线。
长方体与正三棱锥相贯
对相贯体进行形体分析
第六章
立体表面的相贯线
求点Ⅰ和Ⅱ的投影
求点Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ的投影
第六章
立体表面的相贯线
两圆柱轴线垂直但不相交时相贯线的变化趋势
轴线垂直相交 轴线垂直但不相交
第六章
立体表面的相贯线
二、辅助平面法
三面共点
第六章
立体表面的相贯线
圆柱与圆锥的相贯线 a）圆柱穿过圆锥 b）圆柱与圆锥共切于一个球 c）圆锥穿过圆柱
第六章
立体表面的相贯线
例6—6 求圆柱与圆柱斜交时的相贯线。
第六章
立体表面的相贯线
第六章
立体表面的相贯线
三、圆柱、圆锥和球同轴（或轴线平行）时的 相贯线
圆柱、圆锥和球同轴或轴线平行时的相贯线
a）圆柱与球相贯b）圆柱与圆锥相贯c）圆锥与球相贯d）圆柱与圆柱相贯
第六章
第四节
立体表面的相贯线
组合相贯线
立体的相贯线画法几何课件
第十一章立体的相贯线§11-1概述§11-2平面立体与平面立体相贯§11-3平面立体与曲面立体相贯§11-4曲面立体与曲面立体相贯§11-1概述1.相贯线——两立体表面的交线。
相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
2.相贯线的性质——是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
3.相贯线的形式——随着立体形状、大小和相对位置的不同而不同。
§11-2 平面立体与平面立体相贯一、两平面立体的相贯线二、求两平面立体相贯线的方法三、相贯线可见性的判别原则四、例题一、两平面立体的相贯线两平面立体的相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
二、求两平面立体相贯线的方法第一种方法求各侧棱对另一形体表面的交线，然后把位于形体1同一侧棱面又位于形体2同一侧棱面上的两点，依次连接起来。
第二种方法求一形体各侧棱面与另一形体各侧棱面的交线。
三、相贯线可见性的判别原则只有位于两形体都可见的侧面上的交线，才是可见的。
例题平面立体与平面立体相贯1平面立体与平面立体相贯2平面立体与平面立体相贯3平面立体与平面立体相贯4屋脊线斜脊线天沟线平面立体与平面立体相贯5§11-3平面立体与曲面立体相贯平面立体与曲面立体相贯时，相贯线由若干段平面曲线或平面曲线和直线组成。
各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割曲面所得的截交线。
每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的侧棱与曲面体表面的交点。
例题平面立体与曲面立体相贯1a" aa" aa" a平面立体与曲面立体相贯4平面立体与曲面立体相贯5平面立体与曲面立体相贯6平面立体与曲面立体相贯7平面立体与曲面立体相贯8平面立体与曲面立体相贯9平面立体与曲面立体相贯10§11-4 两曲面立体相贯一、两曲面立体相贯线的性质二、相贯线的三种基本形式三、两曲面立体相贯线的求法四、相贯线上共有点的求法五、例题六、相贯线的特殊情况一、相贯线的性质1 、一般情况下,相贯线为封闭的空间曲线。
中国民航大学工程制图第六讲立体表面的相贯线
二、平面体与圆柱体相贯
⒈ 相贯线的产生：
外表面与外表面相交， 外表面与内表面相交， 内表面与内表面相交。
⒉ 求相贯线的方法： 求平面体的棱面与圆柱面的截交线，依次连接起来。
⒊ 相贯线的形状及投影： 相贯线为封闭的空间折线。相贯线在非积聚性投影
上总是向被穿的圆柱体里面弯折，而且在两体相交区 域内不应有圆柱体轮廓线的投影。
在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。
树立质量 法制观 念、提 高全员 质量意 识。20. 11.42 0.11.4 Wedn esday, November 0 4, 202 0
人生得意 须尽欢 ，莫使 金樽空 对月。 12:05: 5712:0 5:571 2:0511 /4/20 20 12: 05:57 PM
●10’ ●1’(4’)
●2’(3’)
●10” 4”(3”) 1”(2”)
4
3
●10
1
2
例3：求棱柱与圆椎的相贯线
二、回转体与回转体相贯
★ 相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它 是两回转体表面的共有线。
★ 作图方法
• 表面取点法(利用积聚性)
• 辅助平面法
★ 作图过程
确定交线的范围
• 先找特殊点。 • 补充中间点。
◆ 两内表面相贯
例 4：两圆柱正交（虚体-虚体）
小 结： 无轮是两外表面相贯，还是一内表 面和一外表面相贯，或者两内表面相贯， 求相贯线的方法和思路是相同的。
例5：求主视图
● ● ●
×
●
● ●
相切外处表无线面与外表 面相贯，内表面与 内表面相贯。分别 求其相贯线。
例5：求主视图
例6：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
工程制图相贯线的画法教育课件
例 10 画出三棱柱与圆锥相贯的投影图
§9-3 两曲面立体相贯
一、概述
两曲面立体的相贯线为封闭的空间曲线。
由于相贯线既属于甲立体表面，同时又属于乙立体表面，
是两立体表面的共有线。为此，求相贯线的实质是求两立体
表面上的一系列共有点，然后依次光滑地相连，并判别可见
性，二描、深利。用积聚性投影求相贯线
返 回
三、辅助面法求相贯线 四、复合相贯线
上一节
五、相贯线的特殊情况及相贯线投影的趋势
下 一节
退 出
§9-4 两立体相交的计算机造型举例
一、构造基本立体
1.以下基本立体可以直接构造：圆柱、圆锥、圆球、
圆环、长方体、楔形体、拉伸体、同轴回转体
2.基本立体的形体坐标系
返
3.构造基本立体所需尺寸
回
4.不同投射方向下绘图、造型的结果 5.基本立体造型方式
上一节
二、实体之间的定位 三、布尔运算
下一节
取并
退
取差
出
取交
四、应用举例
本章结束
上一节 返 回
退出
பைடு நூலகம்
回
例 2 画出三棱锥实体与三棱柱虚体的三面投影图
下 一节
例 3 画出三棱锥与三棱柱全贯的投影图
退
出
例 4 画出三棱锥与三棱柱互贯的投影图
§9-2 平面立体与曲面立体相贯
平面立体与曲面立体相交，其相贯线一般是封闭的空间
折线，其中有若干个边是平面曲线或直线。每一部分平面曲
线，可看作是曲面立体表面被平面立体上某一表面所截的交
§9-1 两平面立体相贯
两平面立体的相贯线通常是一条或几条闭合的空间折线
或平面多边形。
立体相贯
利用积聚性，进行表面取点。
（4）整理轮廓线 （5）检查投影，完成作图
3
8.1 积聚性法
例8-1 已知正交两圆柱的三面投影，求作它们相贯线的投影。
● ● ● ●
●
●
●
●
●
4
8.1 积聚性法
例8-1 已知正交两圆柱的三面投影，求作它们相贯线的投影。
● ● ● ●
●
●
●
求相贯线的投影： 空间及投影分析： 利用积聚性，采用表面
y
y
7
8.3 相贯线的特殊情况
1．当同轴回转体相交，相贯线是垂直于轴线的圆。
15
8.3 相贯线的特殊情况
2．两个轴线相互平行的柱面相交，相贯线是两条平行于轴线的直线。 3．两共顶的锥面相交，相贯线是过锥顶的一对相交直线。
16
8.3 相贯线的特殊情况
4.具有公共内切球的两回转体相交，相贯线为两相交椭圆。
8 两立体相交
两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。
相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两立体表面 的共有线。求相贯线的实质就是求两立体表面的共有点。18Fra bibliotek作图方法
两立体相交
积聚性法---利用投影的积聚性直接表面取点。 辅助平面法---用辅助平面。
作图过程
先找特殊点。 补充中间点。
小圆柱轴线垂直于H面，水平投影 取点法。 积聚为圆，根据相贯线的共有性，相 ☆ 找特殊点 贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴 ☆ 补充中间点 线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相 贯线的侧面投影在该圆上。 ☆ 光滑连接
5
●
●
两圆柱相贯的三种形式
（4）整理轮廓线 （5）检查投影，完成作图
3
8.1 积聚性法
例8-1 已知正交两圆柱的三面投影，求作它们相贯线的投影。
● ● ● ●
●
●
●
●
●
4
8.1 积聚性法
例8-1 已知正交两圆柱的三面投影，求作它们相贯线的投影。
● ● ● ●
●
●
●
求相贯线的投影： 空间及投影分析： 利用积聚性，采用表面
y
y
7
8.3 相贯线的特殊情况
1．当同轴回转体相交，相贯线是垂直于轴线的圆。
15
8.3 相贯线的特殊情况
2．两个轴线相互平行的柱面相交，相贯线是两条平行于轴线的直线。 3．两共顶的锥面相交，相贯线是过锥顶的一对相交直线。
16
8.3 相贯线的特殊情况
4.具有公共内切球的两回转体相交，相贯线为两相交椭圆。
8 两立体相交
两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。
相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两立体表面 的共有线。求相贯线的实质就是求两立体表面的共有点。18Fra bibliotek作图方法
两立体相交
积聚性法---利用投影的积聚性直接表面取点。 辅助平面法---用辅助平面。
作图过程
先找特殊点。 补充中间点。
小圆柱轴线垂直于H面，水平投影 取点法。 积聚为圆，根据相贯线的共有性，相 ☆ 找特殊点 贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴 ☆ 补充中间点 线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相 贯线的侧面投影在该圆上。 ☆ 光滑连接
5
●
●
两圆柱相贯的三种形式
立体与立体相交-相贯线ppt课件
的圆。根据这个圆相对于投影面的位置，其投影可 能是直线、反应实形的圆或椭圆
回本节 回本讲
3.圆锥或圆柱与圆球相交
如图所示的手柄，手柄 轴线过球心，其相贯线 是垂直于手柄轴线的圆。 图中的轴线是正平线， 相贯线是正垂圆，其V 面投影为直线，H面投 影为椭圆。
回转体轴线过球心的相贯线
回本节 回本讲
柱－球相贯
四、常见相贯类型
按照相贯体的形状特性，常见的相贯类型分为： 1 柱、柱相贯 2 锥、柱相贯 3 锥、锥相贯 4 柱、球相贯 5 锥、球相贯
回本节 回本讲
1、柱、柱相贯
（1） 位置分类： 按照圆柱体的相对位置不同，柱柱相贯分为：
1） 垂直正交 2） 垂直交叉 3） 倾斜相交 4） 倾斜交叉
回本节 回本讲
回本节 回本讲
相贯线为平面曲线 相贯线为直线
回本节 回本讲
2. 按照立体的类型，常见的立体相贯有以下三种：
（1）平面立体与平面立体相贯, 如右图,三棱柱与四棱柱相贯； （2）平面立体与回转体相贯,如 右图，四棱柱与半圆柱体相贯； （3）回转体与回转体相贯,如右 图，圆柱体与半园柱体相贯。
由于平面立体可以看作是由 若干个平面围成的实体，所以前 两种相贯情况可归结为求平面与 立体的截交线。本节仅讨论回转 体与回转体相贯。
（3）出现局部形体相交时，要能够“由局部还原整 体”，先进行整体的交线分析，作图时可先整体求解 再取局部的交线。
本讲结束
回本讲
立体与立体相交
一.两立体相贯的相贯线概述
两立体相交称为相贯，其表面的交线称为相贯线。
1、相贯线的性质
（1） 相贯线是两相交回转体 表面的共有线，也是两立体表 面的分界线，相贯线上的点是 两回转体表面的共有点，同时 存在于两形体的表面上。 （2）回转体的表面是曲面， 所以相贯线是曲面与曲面之间 的交线，通常情况下，相贯线 是一条封闭的空间曲线，特殊 情况下，相贯线也可能是平面 曲线或直线。
回本节 回本讲
3.圆锥或圆柱与圆球相交
如图所示的手柄，手柄 轴线过球心，其相贯线 是垂直于手柄轴线的圆。 图中的轴线是正平线， 相贯线是正垂圆，其V 面投影为直线，H面投 影为椭圆。
回转体轴线过球心的相贯线
回本节 回本讲
柱－球相贯
四、常见相贯类型
按照相贯体的形状特性，常见的相贯类型分为： 1 柱、柱相贯 2 锥、柱相贯 3 锥、锥相贯 4 柱、球相贯 5 锥、球相贯
回本节 回本讲
1、柱、柱相贯
（1） 位置分类： 按照圆柱体的相对位置不同，柱柱相贯分为：
1） 垂直正交 2） 垂直交叉 3） 倾斜相交 4） 倾斜交叉
回本节 回本讲
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相贯线为平面曲线 相贯线为直线
回本节 回本讲
2. 按照立体的类型，常见的立体相贯有以下三种：
（1）平面立体与平面立体相贯, 如右图,三棱柱与四棱柱相贯； （2）平面立体与回转体相贯,如 右图，四棱柱与半圆柱体相贯； （3）回转体与回转体相贯,如右 图，圆柱体与半园柱体相贯。
由于平面立体可以看作是由 若干个平面围成的实体，所以前 两种相贯情况可归结为求平面与 立体的截交线。本节仅讨论回转 体与回转体相贯。
（3）出现局部形体相交时，要能够“由局部还原整 体”，先进行整体的交线分析，作图时可先整体求解 再取局部的交线。
本讲结束
回本讲
立体与立体相交
一.两立体相贯的相贯线概述
两立体相交称为相贯，其表面的交线称为相贯线。
1、相贯线的性质
（1） 相贯线是两相交回转体 表面的共有线，也是两立体表 面的分界线，相贯线上的点是 两回转体表面的共有点，同时 存在于两形体的表面上。 （2）回转体的表面是曲面， 所以相贯线是曲面与曲面之间 的交线，通常情况下，相贯线 是一条封闭的空间曲线，特殊 情况下，相贯线也可能是平面 曲线或直线。
两曲面立体的相贯线
第五节 两曲面立体的相贯线[Intersection of Two Curved Surface Solids]两曲面体的相贯线，一般是封闭的空间曲线。
此类相贯线在建筑形体中常常会遇到，例如图5-19所示，它是由一系列柱面相贯所形成的屋顶。
组成相贯线的所有点，均为两曲面体表面的共有点。
因此求相贯线时，要先求出一系列的共有点，然后用曲线板依次连接所求各点，即得相贯线。
求共有点时，应先求出相贯线上的特殊点，即最高、最低、最左、最右、最前、最后及转向轮廓线上的点等，然后再求出其上的一般位置点。
一、求相贯线常用的两种方法 [Two Commonly Used Methods to Find Intersection Line ]（一） 利用曲面的积聚投影，用表面取点法作出相贯线相交两曲面之一，如果有一个投影具有积聚性，就可以利用该曲面的积聚性投影作出两曲面的一系列公有点，然后连成相贯线。
因为如果有一个曲面的某投影具有积聚性，相贯线在此投影面上的投影就已知，求相贯线的其余投影，实质上就是根据这一已知投影在另一立体的表面取点。
因此，此法也叫表面取点法。
例5-10 已知两半圆柱屋面相交，求它们的交线，如图5-20所示。
投影分析：由图5-20可知：屋面的大拱是半圆柱面，小拱则也是半圆柱面。
前者素线垂直于W 面，后者素线垂直于V 面，两拱轴线相交且平行于H 面。
相贯线是一段空间曲线，其V 面投影重影在小圆柱的V 面投影上，W 面投影重影在大拱的W 面投影上，相贯线的H 面投影为曲线，可通过求出相贯线上一系列的点而作出。
图5-19由柱面相贯构成的屋面作图步骤（图5-20）：（1） 求特殊点。
最高点A 是小圆柱最高素线与大拱的交点，最低、最前点B 、C （也 是最左、最右点），是小圆柱最左、最右素线与大拱最前素线的交点。
它们的三投影均可直接求得。
（2） 求一般点E 、F 。
在相贯线V 面投影的半圆周上任取点e ′和f ′。
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§7-2 立体的相贯线
1.相贯线——两立体表面的交线。 2.相贯线的性质 ⑴封闭性：相贯线围封闭的空间或平面的线。 ⑵共有性：是两立体表面的共有线，相贯线 上的点是两立体表面的共有点。
1
3.相贯线的分类——根据立体几何性质 ⑴ 平面立体与平面立体相交 ⑵平面立体与曲面立体相交 ⑶曲面立体与曲面立体相交
部与球相交。
相贯线分析
1
平面立体与曲面立体相贯，将平
面立体（三棱柱）分解成三个侧棱
平面，相贯线就是棱平面与球面的
截交线的组合。
球面被平面截切空间的交线为圆， 其投影与投影面的相对位置有关。 平行投影面反映圆，倾斜为椭圆。
因三棱柱有积聚性故水平投影已
知。
返回
例题1 平面立体与曲面立体相贯 返回
例题1
3`
3`
3`
1`
4` 2`
分析：
3`
圆柱轴线为铅
垂线，水平投影
1``
有积聚性。四棱
台每一个平面都 4`` 2`` 倾斜圆柱轴线，
故相贯线为四段
椭圆组成。
13
3
4
2
3 3
1 4 2
返回
例题2 平面立体与曲面立体相贯
3`
3`
3` 3`
1`
1``
讨论： 如果圆柱变为孔
4` 2`
4`` 2``
13
3
4
2
3 3
讨论： 相贯线的变 化：
（2）当圆柱逐渐变小。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变 化：
（2）当圆柱逐渐变小。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变 化
（2）当圆柱变为孔
作业： P83 P84
（2）、辅助平面法
利用辅助平面法求相贯线，就是利用辅助平面与参 加相贯的两曲面立体相交，各得一截交线，而这两截交 线的交点，就是所求相贯线上的点。
外表面和内表面相交
外表面和内表面相交
两圆柱相交的三种形式
挖孔后
切割后
内表面和内表面相交
综合举例
错误的做法
内表面和内表面相交
错误的做法
外表面和内表面相交
返回
例3：求垂直相交圆柱的相贯线 (1)求特殊点。
由于两圆柱轴线相交，且同时平行于正面，故两圆柱的外 形线位于同一正平面内，因此，它们的正面投影的交点分别就 是相贯线上的最左点，最右点，同时是最高点的投影。
1` 3` 2`
（2）求一般点。
y
在相贯线水平 投影上任取一点 。
1`` 2``
（3）判别可见性， 3`` 按顺序光滑连接。
判别相贯线可见性的原则：
只有当相贯线同时位于两立 体的可见表面时，其相贯线
才是外可表见面的和。外由表于该面两相圆交柱
所形成相贯形
1
y 2 32
相贯线 1 y
23 辅助素线
两圆柱相交的三种形式
(2`）
平面立体与曲面立体相贯
y 作图步骤
（1）求特殊位置点
4`6` a`7` 5`
5`7`` a" （2）求一般位置点
4`6``
1`
（3`）
2`` （3``)
1``
2
3
4
5y
6
a7
1
作图步骤
（1）求特殊位置点 （2）求一般位置点 （3）依次连接各点 （4）判断可见性 （5）整理轮廓线
局部放大图
返回
1 4 2
返回
两曲面立体相贯
1、两曲面立体相贯线的性质 2、相贯线的三种基本形式
3、两曲面立体相贯线的求法 4、相贯线上共有点的求法 5、求相贯线的作图步骤
6、例题 7、相贯线的特殊情况
返回
1、相贯线的性质
（1） 、一般情况下,相贯线为封闭的空间曲线。 （2）、相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是 两立体表面的共有点。
平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交时，相贯线由若干段平 面曲线或平面曲线和直线组成。
各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割 曲面所得的截交线。
每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的 侧棱与曲面体表面的交点。
例题
返回
例题1 平面立体与曲面立体相贯
分析：形体分析
2
从三面投影得形体1是半球。形体 2是三棱柱，棱线铅垂线。从球得上
2 aY
1
b 6 RH
7
由于两圆柱的水平投影 左右对称，侧面投影上下 对称。故相贯线的正面投
的同面投影依次光滑地连 接起来，即得相贯线。 4.补全外形线，完成作图
影上下、左右对称。
返回
例6：求两轴线交叉圆柱的相贯线 Y RW
3` 4` 2`
a`
5` 6` b`
1`
7`
4`` 3``
2``
(5``)
2
线
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变化 （1）当圆锥向下延伸。 （2）当圆柱逐渐变小。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变 化：
（1）当圆锥向下延伸。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变 化（1）当圆锥成为孔。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
(6``) a``
(7``) 1``
B A
4 3
2 aY
1
5
b 6 RH
7
32 1
6 54
形体的前面
形体的后面
返回
例6：求两轴线交叉圆柱的相贯线
3`
4`
5`
4``
2`
6`
a`
b`
3`` 2``
(5``) (6``) a``
1`
7`
(7``) 1``
3` 2`
4 3
2 aY
1
5
b 6 RH
7
32
6 54
返回
2、相贯线的三种基本形式
（1）、两外表面相交 （2）、外表面与内表面相交 （3）、两内表面相交
外表面和外表面相交 外表面和内表面相交
内表面和内表面相交
返回
3、相贯线的关键 求出两曲面体表面的共有点，然后依次连线。
4、相贯线上共有点的基本求法
(1)、利用曲面的积聚投影法
当相交两立体之一表面的投影具有积聚性时，（如圆柱 的轴线垂直某一投影面，此圆柱体的相贯线，在该投影面有
例3：求垂直相交圆柱的相贯线
作图：
1，求特殊点。 2，求一般点。 3，判别可见性。
分析：
直立圆柱的水平投影有积聚 性， 水平圆柱的侧面投影有积聚性，
相贯线的两面投影分别落在这 两个有积聚性的圆上，故只需求正 面投影。
例3：求垂直相交圆柱的相贯线
1`
2`
3`
最后最低点投影
最
左
最 高
1
4 2
点
投
3
影 最前最低点投影
46``
2`` 3``
1``
2
3
4
5
a
1
4` 1`
2`
5`
3` 返回
例题1 平面立体与曲面立体相贯
6`
7`
讨论：如果三棱柱为孔
7` a"
6`
外表面和外表面相交
a 返回
例题1 平面立体与曲面立体相贯
6`
7`
讨论：如果三棱柱为孔
7` a"
6`
外表面和内表面相交
a 返回
例题2 平面立体与曲面立体相贯
点2,6为最左最右点。点
1,7为最前点，4点为最后
点。点3，5为最高点。
2.求一般点
利用辅助正平面R，与
分析：
圆柱面的截交线正面投影
4
两圆柱交叉相交其相贯 线为空间曲线，其水平投 影及侧面投影与圆柱的投
为两条平行的直线，该两 截交线的交点就是相贯线 上的点。
3
5
影重合为一段圆弧。故只
求作相贯线的正面投影。 3.判别可见性，并将各点
1 2
1 2
1 2
两平面立体相交
两平面立体的相贯线，实质上是求 一形体各侧 棱面与另一形体各侧棱面的交线,也可以求各侧棱对 另一形体表面的交线，然后把位于形体 1 同一侧棱 面，又位于形体 2 同一侧棱面上的两点，依次连接 起来。 故作图可归结为平面与平面立体相交的 截交线问题。
1 2
1 2
1
2
返回
行
两 辅助平面
直 线
投影为直线或圆。
（2）、辅助平面法举例
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要 使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。
返回
5、例题
返回
例5：求两轴线斜交圆柱的相贯线
1`
2`
3`
1`` 3``
3``
3
1 2
3
2
1 3
例5：求两轴线斜交圆柱的相贯线
Y
1`
2`
4` 3` 5`
辅助平面
辅助平面
A B
A B
A B
甲立体表面
辅助平面法原理
截交线
甲面
辅助平面 R 乙立体表面
截交线
两截交线的 R面 交点即为 乙面
共点
为了作图简便和准确，在
选取辅助平面时，应尽量使
辅助平面与两曲面立体的截
Ⅶ
交线的投影都是直线或圆。
交
常用的辅助平面
线
为投影面的平行面或
是 平
Ⅵ Ⅳ
Ⅴ
交 线 是 圆
垂直面,要使辅助平面 与两立体表面交线的
影
最前最低点投影
1.相贯线——两立体表面的交线。 2.相贯线的性质 ⑴封闭性：相贯线围封闭的空间或平面的线。 ⑵共有性：是两立体表面的共有线，相贯线 上的点是两立体表面的共有点。
1
3.相贯线的分类——根据立体几何性质 ⑴ 平面立体与平面立体相交 ⑵平面立体与曲面立体相交 ⑶曲面立体与曲面立体相交
部与球相交。
相贯线分析
1
平面立体与曲面立体相贯，将平
面立体（三棱柱）分解成三个侧棱
平面，相贯线就是棱平面与球面的
截交线的组合。
球面被平面截切空间的交线为圆， 其投影与投影面的相对位置有关。 平行投影面反映圆，倾斜为椭圆。
因三棱柱有积聚性故水平投影已
知。
返回
例题1 平面立体与曲面立体相贯 返回
例题1
3`
3`
3`
1`
4` 2`
分析：
3`
圆柱轴线为铅
垂线，水平投影
1``
有积聚性。四棱
台每一个平面都 4`` 2`` 倾斜圆柱轴线，
故相贯线为四段
椭圆组成。
13
3
4
2
3 3
1 4 2
返回
例题2 平面立体与曲面立体相贯
3`
3`
3` 3`
1`
1``
讨论： 如果圆柱变为孔
4` 2`
4`` 2``
13
3
4
2
3 3
讨论： 相贯线的变 化：
（2）当圆柱逐渐变小。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变 化：
（2）当圆柱逐渐变小。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变 化
（2）当圆柱变为孔
作业： P83 P84
（2）、辅助平面法
利用辅助平面法求相贯线，就是利用辅助平面与参 加相贯的两曲面立体相交，各得一截交线，而这两截交 线的交点，就是所求相贯线上的点。
外表面和内表面相交
外表面和内表面相交
两圆柱相交的三种形式
挖孔后
切割后
内表面和内表面相交
综合举例
错误的做法
内表面和内表面相交
错误的做法
外表面和内表面相交
返回
例3：求垂直相交圆柱的相贯线 (1)求特殊点。
由于两圆柱轴线相交，且同时平行于正面，故两圆柱的外 形线位于同一正平面内，因此，它们的正面投影的交点分别就 是相贯线上的最左点，最右点，同时是最高点的投影。
1` 3` 2`
（2）求一般点。
y
在相贯线水平 投影上任取一点 。
1`` 2``
（3）判别可见性， 3`` 按顺序光滑连接。
判别相贯线可见性的原则：
只有当相贯线同时位于两立 体的可见表面时，其相贯线
才是外可表见面的和。外由表于该面两相圆交柱
所形成相贯形
1
y 2 32
相贯线 1 y
23 辅助素线
两圆柱相交的三种形式
(2`）
平面立体与曲面立体相贯
y 作图步骤
（1）求特殊位置点
4`6` a`7` 5`
5`7`` a" （2）求一般位置点
4`6``
1`
（3`）
2`` （3``)
1``
2
3
4
5y
6
a7
1
作图步骤
（1）求特殊位置点 （2）求一般位置点 （3）依次连接各点 （4）判断可见性 （5）整理轮廓线
局部放大图
返回
1 4 2
返回
两曲面立体相贯
1、两曲面立体相贯线的性质 2、相贯线的三种基本形式
3、两曲面立体相贯线的求法 4、相贯线上共有点的求法 5、求相贯线的作图步骤
6、例题 7、相贯线的特殊情况
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1、相贯线的性质
（1） 、一般情况下,相贯线为封闭的空间曲线。 （2）、相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是 两立体表面的共有点。
平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交时，相贯线由若干段平 面曲线或平面曲线和直线组成。
各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割 曲面所得的截交线。
每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的 侧棱与曲面体表面的交点。
例题
返回
例题1 平面立体与曲面立体相贯
分析：形体分析
2
从三面投影得形体1是半球。形体 2是三棱柱，棱线铅垂线。从球得上
2 aY
1
b 6 RH
7
由于两圆柱的水平投影 左右对称，侧面投影上下 对称。故相贯线的正面投
的同面投影依次光滑地连 接起来，即得相贯线。 4.补全外形线，完成作图
影上下、左右对称。
返回
例6：求两轴线交叉圆柱的相贯线 Y RW
3` 4` 2`
a`
5` 6` b`
1`
7`
4`` 3``
2``
(5``)
2
线
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变化 （1）当圆锥向下延伸。 （2）当圆柱逐渐变小。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变 化：
（1）当圆锥向下延伸。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变 化（1）当圆锥成为孔。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
(6``) a``
(7``) 1``
B A
4 3
2 aY
1
5
b 6 RH
7
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形体的前面
形体的后面
返回
例6：求两轴线交叉圆柱的相贯线
3`
4`
5`
4``
2`
6`
a`
b`
3`` 2``
(5``) (6``) a``
1`
7`
(7``) 1``
3` 2`
4 3
2 aY
1
5
b 6 RH
7
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2、相贯线的三种基本形式
（1）、两外表面相交 （2）、外表面与内表面相交 （3）、两内表面相交
外表面和外表面相交 外表面和内表面相交
内表面和内表面相交
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3、相贯线的关键 求出两曲面体表面的共有点，然后依次连线。
4、相贯线上共有点的基本求法
(1)、利用曲面的积聚投影法
当相交两立体之一表面的投影具有积聚性时，（如圆柱 的轴线垂直某一投影面，此圆柱体的相贯线，在该投影面有
例3：求垂直相交圆柱的相贯线
作图：
1，求特殊点。 2，求一般点。 3，判别可见性。
分析：
直立圆柱的水平投影有积聚 性， 水平圆柱的侧面投影有积聚性，
相贯线的两面投影分别落在这 两个有积聚性的圆上，故只需求正 面投影。
例3：求垂直相交圆柱的相贯线
1`
2`
3`
最后最低点投影
最
左
最 高
1
4 2
点
投
3
影 最前最低点投影
46``
2`` 3``
1``
2
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a
1
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2`
5`
3` 返回
例题1 平面立体与曲面立体相贯
6`
7`
讨论：如果三棱柱为孔
7` a"
6`
外表面和外表面相交
a 返回
例题1 平面立体与曲面立体相贯
6`
7`
讨论：如果三棱柱为孔
7` a"
6`
外表面和内表面相交
a 返回
例题2 平面立体与曲面立体相贯
点2,6为最左最右点。点
1,7为最前点，4点为最后
点。点3，5为最高点。
2.求一般点
利用辅助正平面R，与
分析：
圆柱面的截交线正面投影
4
两圆柱交叉相交其相贯 线为空间曲线，其水平投 影及侧面投影与圆柱的投
为两条平行的直线，该两 截交线的交点就是相贯线 上的点。
3
5
影重合为一段圆弧。故只
求作相贯线的正面投影。 3.判别可见性，并将各点
1 2
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两平面立体相交
两平面立体的相贯线，实质上是求 一形体各侧 棱面与另一形体各侧棱面的交线,也可以求各侧棱对 另一形体表面的交线，然后把位于形体 1 同一侧棱 面，又位于形体 2 同一侧棱面上的两点，依次连接 起来。 故作图可归结为平面与平面立体相交的 截交线问题。
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行
两 辅助平面
直 线
投影为直线或圆。
（2）、辅助平面法举例
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要 使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。
返回
5、例题
返回
例5：求两轴线斜交圆柱的相贯线
1`
2`
3`
1`` 3``
3``
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3
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1 3
例5：求两轴线斜交圆柱的相贯线
Y
1`
2`
4` 3` 5`
辅助平面
辅助平面
A B
A B
A B
甲立体表面
辅助平面法原理
截交线
甲面
辅助平面 R 乙立体表面
截交线
两截交线的 R面 交点即为 乙面
共点
为了作图简便和准确，在
选取辅助平面时，应尽量使
辅助平面与两曲面立体的截
Ⅶ
交线的投影都是直线或圆。
交
常用的辅助平面
线
为投影面的平行面或
是 平
Ⅵ Ⅳ
Ⅴ
交 线 是 圆
垂直面,要使辅助平面 与两立体表面交线的
影
最前最低点投影