2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 2.4二次函数

2014年高考一轮复习考点热身训练：2.4二次函数

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.已知x ∈R,函数f(x)=(m-1)x 2

+(m-2)x+(m 2

-7m+12)为偶函数,则m 的值是 ( ) ()1 ()2 ()3 ()4

2.如果函数f(x)=x 2

+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),那么( ) ()f(2)＜f(1)＜f(4) ()f(1)＜f(2)＜f(4) ()f(2)＜f(4)＜f(1) ()f(4)＜f(2)＜f(1)

3.(2013·长春模拟)设二次函数f(x)=ax 2

+bx+c ，如果f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，则f(x 1+x 2)等于( ) ()b 2a -

()b a

- ()c ()2

4ac b 4a

-

4.如图是二次函数f(x)=x 2

-bx+a 的部分图象，则函数g(x)=lnx+f ′

(x)的零点所在的区间是( )

()(1，2) ()(2，3) ()(

14，12) ()(1

2

，1) 5.（预测题）函数f(x)=ax 2

+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是( )

()[-3,0) ()(-∞,-3] ()[-2,0] ()[-3,0]

6.（易错题）若不等式x 2

+ax+1≥0对于一切x ∈(0, 1

2

]恒成立,则a 的最小值是

( )

()0 ()2 ()-5

2

()-3 二、填空题(每小题6分，共18分)

7.（2012·福州模拟）已知二次函数f(x)=a x 2

+bx+1的值域为［0，+∞）且f(-1)=0,则a=________，b=________.

8.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a 、b ∈R)是偶函数，且它的值域为(-∞,4]，则该函数的解析式f(x)=__________.

9.(2012·泉州模拟)若函数y=x 2

-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-25

4

,-4],则m 的取值范围为

_________.

三、解答题(每小题15分，共30分)

10.（2012·厦门模拟)已知函数f(x)=x 2

+(lga+2)x+lgb 满足f(-1)=-2且对于任意x ∈R,恒有f(x)≥2x 成立.

（1）求实数a,b 的值； （2）解不等式f(x)

11.(2012·长沙模拟)已知函数f(x)=x 2-2ax+5(a ＞1). (1)若f(x)的定义域和值域均是［1,a ］,求实数a 的值;

(2)若对任意的x 1,x 2∈［1,a+1］,总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4,求实数a 的取值范围. 【探究创新】

(16分)已知直线AB 过x 轴上一点A(2,0)且与抛物线y=ax 2

相交于B(1,-1)、两点. (1)求直线和抛物线对应的函数解析式.

(2)问抛物线上是否存在一点,使S △OAD =S △OBC ?若存在, 请求出点坐标,若不存在,请说明理由.

答案解析

1.【解析】选.由已知f(-x)=f(x)⇒(m-2)x=0, 又x ∈R,∴m-2=0,得m=

2.

2.【解析】选.依题意,函数f(x)=x 2

+bx+c 的对称轴方程为 x=2,且f(x)在[2,+∞)上为增函数,

因为f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3),2＜3＜4, ∴f(2)＜f(3)＜f(4),即f(2)＜f(1)＜f(4). 3.【解析】选.∵f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2),

∴

12x x b

22a

+=-, 即x 1+x 2=- b a ,∴f(x 1+x 2)=f(-b a )=a(-b a )2+b ·(-b

a

)+c=c.

4.【解析】选.由二次函数的图象知2a 0

b 0121b a 0

⎧⎪⎪

⇒⎨⎪⎪-+=⎩＞＜＜

a 0

,1b 2⎧⎨

⎩

＞＜＜又f ′(x)=2x-b,∴g(x)=lnx+2x-b, 则g(

12)=ln 12+2×12-b=ln 1

2+1-b, ∵ln 12＜0,1-b ＜0,∴g(1

2

)＜0,

g(1)=ln1+2-b=2-b ＞0, ∴g(1)·g(

1

2

)＜0,故选. 5.【解析】选.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,

当a ≠0时，需a 0,a 312a

⎧⎪

-⎨-≤-⎪⎩＜解得-3≤a ＜0,

综上可得-3≤a ≤0.

【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选,失误的原因是将关于x 的函数误认为二次函数.

6.【解析】选.方法一：设g(a)=ax+x 2

+1, ∵x ∈(0, 1

2

],∴g(a)为单调递增函数. 当x=

1

2时满足： 12a+14+1≥0即可，解得a ≥-52

. 方法二：由x 2

+ax+1≥0得a ≥-(x+1x )在(0,12

]上恒成立,

令g(x)=-(x+1x ),则知g(x)在(0, 1

2]为增函数,

∴g(x)max =g(12)=-52,∴a ≥- 5

2

.

【方法技巧】关于二元不等式恒成立问题的求解技巧：

(1)变换主元法：求解二元不等式,在其中一个元所在范围内恒成立问题，当正面思考较繁或难以入手时，我们可以变换主元，将问题转化为求解关于另一个变量的函数的最值或值域问题，从而求解.

(2)分离参数法：根据题设条件将参数(或含有参数的式子)分离到不等式的左边，从而将问题转化为求不等式右边函数的最值问题.

7.【解析】由题意知2b 4a 0a b 10

⎧∆-=⎨-+=⎩＝,解得a 1

b 2=⎧⎨=⎩.

答案：1 2

8.【解题指南】化简f(x)，函数f(x)为偶函数，则一次项系数为0可求b.值域为(-∞,4],则最大值

为4，可求a ，即可求出解析式.

【解析】∵f(x )=(x+a )(bx+2a)=bx 2+(2a+ab)x+2a 2

是偶函数，则其图象关于y 轴对称， ∴2a+ab=0，∴b=-2或a=0(舍去).

又∵f(x)=-2x 2+2a 2

且值域为(-∞,4]，

∴2a 2=4，f(x)=-2x 2

+4．

答案：-2x 2

+4