噪声分析第五章

噪声分析与控制
吴九汇
机械工程学院
振动与噪声控制工程研究所
教材目录
3
5.1 经典互易定理
最简单的特例:
2211
v v
F F
′′
=
21
12
v v
F F
′
=
′
或
这就是说，如果由于在坐标方向存在外力而出现效应，那么同样的外力作用于坐标方向就会有效应，它的大小与符号都和相同。

1
x
1
F
2
v
2
x1v′
2
v
另外一个特例是，令所有类型的外力中除了两个以外均等于0，这时有
11221122
F v F v v F v F
′′′′
+=+
在这种情形下，动力系统就是一个无源线性四端网络.
线性四端网络两边的变量不一定要具有相同的量纲。

例如，若、分别表示力及线速度，而和却可以是力矩及角速度。

上述论断可以无条件地应用于线性无源的电系统中。

1
F
1
v
2
F
2
v
21
12
e e
i i
=
这种线性网络系统的互易定理可叙述为：
可逆、线性、无源的四端网络的转移阻抗相等。

经典互易定理只具有形式性
•它仍然未明确在系统中起作用的各种耦合的物理特性
•定理形式上的一般性会使人产生模糊的印象
力声变换结构的互易关系
21
21
22
11
11
v v
F S F
P
Z Z
U S S S
====
这就是力学系统与声学系统相耦合的力声变换结构参量之间的互易关系.
21
12
e e
i i
=
根据电声类比，电学中的恒压源和电流分别类比于声学中的恒声压源和体积速度，这样由上式可得电声换能器的互易关系为
1
1
T
S
P e
i Q
=
电-声转换：电信号机械振动声波
声-电转换：声信号机械振动电信号
1
1
T
S
P e
i Q
=
r
S
P
M
P 换能器在辐射状态时在距离处产生的声压和声压源在换能器处产生的自由场声压是相等的
00
e e
42
ikr ikr
S S
M
i Q i fQ
P
r r
ωρρ
π
=−=−
空间声源和接收器可互易
00
(,)(,)
G G
=
r r r r
1
1
T
S
P e
i Q
=
00
e e
42
ikr ikr
S S
M
i Q i fQ
P
r r
ωρρ
π
=−=−
2
f S
M
M Q r
S P f
ρ
==
2r
f
ρ
上式中的
是球面波自由声场中的互易参量。

5.2声学互易定理
声学互易定理
声学互易定理
12
21
()()
()()
S
P P
f f dS
∂∂
⎡⎤
−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
∫∫r r
r r
n n
[]dV
P
q
P
q
i
V
∫∫∫−
−
=)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
r
r
r
r
ωρ
声学互易定理一般形式：
声学互易定理的不同形式12
21
()()
()()
S
P P
f f dS
∂∂
⎡⎤
−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
∫∫r r
r r
n n
[]dV
P
q
P
q
i
V
∫∫∫−
−
=)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
r
r
r
r
ωρ
1221
()()()()
V V
q P dV q P dV
=
∫∫∫∫∫∫
r r r r
上式两边可看作是能量的关系，其物理意义表示声源A消耗在为克服声源B的作用的功率等于声源B为克服声源A的作用所消耗的功率。

声学互易定理的不同形式
12
12
21
12
()()
()()
S S
P P
P dS P dS
∂∂
=
∂∂
∫∫∫∫
r r
r r
n n
上式的每边表示其中一个发射器的振动速度与另一个发射器产生在这个发射器表面上
的声压的乘积，所以等式的左边和右边是声源为克服另一声源的作用所消耗的功率。

在简单声源和振动表面声源两种情况下互易定理的公式在形式上是一致的12
21
12
()()
()()
S
P P
P P dS
⎡⎤
∂∂
−−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
∫∫r r
r r
n n
[]dV
P
q
P
q
i
V
∫∫∫−
=)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
r
r
r
r
ωρ
,
声学互易定理的不同形式
(1)
可逆换能器性能的互易比较
12
12
21
()()
()()
S S
P P
P dS P dS
∂∂
=
∂∂
∫∫∫∫
r r
r r
n n
2112
()()()()
P A Q A P B Q B
=
互易定理广泛用于可逆换能器（既作发射器又作接收器）的接收、发射性能的比较.
球面S1很小振动速度在平面S2是常数
12
12
221
122
()()1
()()
S S
P P
P A dS S P dS
S
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
=⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
∂∂
⎝⎠⎝⎠
∫∫∫∫
r r
r
n n
声学互易定理的不同形式(1)
可逆换能器性能的互易比较
12
21
()()
()()
S S
P P
P dS P dS
∂∂
=
∂∂
∫∫∫∫
r r
r r
n n
2112
()()()()
P A Q A P B Q B
=
小球源在换能器B处产生的自由场声压（即当换能器不在场时）可由下式表示
0101
()()
e e
42
ikr ikr
i Q A i fQ A
P
r r
ωρρ
π
=−=−
12
002
()()
2e
()
ikr
P B P A
r
P i f Q B
ρ
−
=−
声学互易定理的不同形式
(1)
可逆换能器性能的互易比较
12
002
()()
2e
()
ikr
P B P A
r
P i f Q B
ρ
−
=−
上式左边是换能器上的声压与自由场声压之比，它表示换能器作为接收器的性能。

右边的因子是发射换能器辐射声波的声压和这个换能器体积速度的比值，因而它表示换能器作为发射器的性能。

而量是对球面波传播规律的互易参量。

22
()()
P A Q B
2r f
ρ
上式是现今广泛推行的应用互易法校准换能器的基础。

应用不同互易参量的概
念，不仅可以在球面规律传播情况进行校准，也可以在其它复杂声场中进行校准。

声学互易定理的不同形式(2) 力学Betti互易定理
12
21
()()
()()
S
P P
f f dS
∂∂
⎡⎤
−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
∫∫r r
r r
n n
[]dV
P
q
P
q
i
V
∫∫∫−
−
=)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
r
r
r
r
ωρ
声学互易定理一般形式：
12
21
()()
()()
S S
P P
f dS f dS
∂∂
=
∂∂
∫∫∫∫
r r
r r
n n
1221
v()()v()()
S S
f dS f dS
=
∫∫∫∫
r r r r
左边和右边是一个系统的力为克服另一系统的作用而消耗的功率
声学互易定理的不同形式
12
21
()()
()()
S
P P
f f dS
∂∂
⎡⎤
−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
∫∫r r
r r
n n
[]dV
P
q
P
q
i
V
∫∫∫−
−
=)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
r
r
r
r
ωρ
声学互易定理一般形式：
1
2
()
()
S
P
f dS
∂
∂
∫∫r r
n012
()()
V
i q P dV
ωρ
=−∫∫∫r r
.
力和声源相互作用的互易定理
20
()
P r102
01
(,)
()
S
P
i
f dS
Q
ωρ
∂
∂
∫∫r r r
n
=
.
110
()()
q Qδ
=−
r r r
5.3声学互易定理的工程应用
A.自由空间中互易法校准传声器
在自由空间中要按互易法校准传声器声场灵敏度，需要有三个传声器，
即一个互易传声器、一个待校准的非互易传声器和一个作为辅助声源的传声器。

采用三次测量法利用互易定理分别对接收换能器和辐射换能器进行校准
(1) 接收换能器的互易法校准
接收换能器以符号x 表示
作为辅助声源的辐射换能器以字标1表示
互易换能器既可作为接收器，
也可作为辐射器，以字标2表示
A.自由空间中互易法校准传声器
(1) 接收换能器的互易法校准
222
f x
x x
f
M
U U P
U P U M
=⋅=
2
22
x x
f x
U U P
M S
P
i i
′′′
=⋅=
′
′′
2
2
f
M
C
S
=
22
x x
f x
U U
M C
U i
′
=⋅
′
上式就是待校准的接收换能器的接收灵敏度校准公式
A.自由空间中互易法校准传声器
(2) 辐射换能器的互易法校准
上式就是待校准的辐射换能器的发送灵敏度校准公式
待校准的是辐射换能器，以符号x表示;
以声接收器作为辅助声源，以字标1表
示; 换能器2是可逆器件.
22
2
x
x x
S
i i P
i P i S
=⋅=
22
22
x f x
x x
U U
P
S M CS S
P
i i
′′
′
=⋅==
′
′′
22
1
x
x
x
U i
S
C i
i
′
=
′
A.自由空间中互易法校准传声器
•利用互易法校正传声器灵敏度的理论和公式比较简单，只需测量
开路电压和短路电流，所用仪器也比较简单;
•互易法给出的灵敏度公式只适用于无限自由空间，即要有一个消声室。

下面提出非消声室中传声器灵敏度的互易校正方法，作为对自由场
传声器灵敏度互易法校正的补充
B.非消声室中互易法校准换能器
•在非消声室中，不得不考虑地面、周围壁面和天花板的反射声影响；
•如果在室外或较大房间中，传声器位置距周围壁面和天花板的距离比传声器之间
校正距离要大得多（大于10倍以上），那么根据球面发散波的计算就可以忽略它们
对互易法校正的影响，而只需考虑地面声发射的近距离影响；
•只要设法校正地面反射声的影响，那么非消声室中的测量就象在自由声场中进行，
从而可以继续利用自由场中的互易法校正传声器灵敏度。

B.非消声室中互易法校准换能器
(1)
地面反射声的校正
cos
(1)
e
H(sin)e sin
2
ikR
ik z z
ik
kr d
R
ξ
ξξξ
−
Γ
=
∫
B.非消声室中互易法校准换能器
(1)
地面反射声的校正
cos
(1)
e
H(sin)e sin
2
ikR
ik z z
ik
kr d
R
ξ
ξξξ
−
Γ
=∫
()cos
(1)
H(sin)e()sin
2
ik z z
R
ik
kr V d
ξ
ϕξξξξ
+
Γ
=⋅
∫
()
(1)4
2
H()i u
u
u
π
π
−
≈
10
cos()
4
e e()sin
2
i ikR
R
k
V d
r
π
ξθ
ϕξξξ
π
−
Γ
=
1
u
B.非消声室中互易法校准换能器
(1)
地面反射声的校正
10
cos()
4
e e()sin
2
i ikR
R
k
V d
r
π
ξθ
ϕξξξ
π
−
Γ
=
1
1
e
()
ikR
R
V
R
ϕθ
=(平稳相位法)是方程式的根，称为平稳相位点
θ0
cos()
d
d
ξθ
ξ
−
=
10
sin
r Rθ
=
B.非消声室中互易法校准换能器
(1)
地面反射声的校正
为了简单起见，将直达声的声压写成
0cos()
D
A
P t kR
R
ω
=−
而反射声的声压表示为
1
1
()
cos()
R
A V
P t kR
R
θ
ω
=−
接收器所在点的总声压应是直达声和反射声的
声压之和，但由于接收器输出的电压只反映其
均方根值
1
22
20
1
22
11
()2()
11
[]cos()
2
T
D R
V V
P P P dt k R R T R R RR
θθ
⎡⎤=+=++−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦∫
B.非消声室中互易法校准换能器
(1) 地面反射声的校正
1
22
20
1
22
11
()2()
11
[]cos()
2
T
D R
V V
P P P dt k R R
T R R RR
θθ
⎡⎤
=+=++−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫
如果维持发射器到接收器之间的距离不变，而同时改变发射器和接收器的高度
R
1
()2
k R R nπ
′−=0
max
1
()
1
2
V
A
P
R R
θ
⎛⎞
′
=+
⎜⎟
⎜⎟
′
⎝⎠
1
()(21)
k R R nπ
′′−=+0
min
1
()
1
2
V
A
P
R R
θ
⎛⎞
′′
=−⎟
⎟
′′
⎠
图5.14 保持距离R不变而改变高度以获得声压极大值和极小值的示意图
B.非消声室中互易法校准换能器
(1) 地面反射声的校正
max
1
()
1
2
V
A
P
R R
θ
⎛⎞
′
=+⎟
⎟
′⎠
min
1
()
1
2
V
A
P
R R
θ
⎛⎞
′′
=−⎟
⎟
′′
⎠
图5.14 保持距离R不变而改变高度以获得声压极大值和极小值的示意图通常情况地面是水泥地, 反射系数()()1
V V
θθ
′′′
≈=
即使不是刚性地面，但在较高频率时，由于波长很短，这时求极大值和极小值的
相应高度差也很小，因而角度变化很小，可近似认为()()
V V V
θθ
′′′
==
在一般测量条件下，只要地面相对于空气是比较硬的，总可以取()()
V V V
θθ
′′′
==
B.非消声室中互易法校准换能器
(1) 地面反射声的校正
max
1
()
1
2
V
A
P
R R
θ
⎛⎞
′
=+⎟
⎟
′⎠
min
1
()
1
2
V
A
P
R R
θ
⎛⎞
′′
=−⎟
⎟
′′
⎠
图5.14 保持距离R不变而改变高度以获得声压极大值和极小值的示意图()()
V V V
θθ
′′′
==
max min
11
11
11
()1
2
22
1
()
P P
R R R
R R R V
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=+−
⎢⎥
′′′
⎢⎥
+
⎢⎥
′′′
−
⎣⎦
在测试频率大于500 Hz时有
11
R R
′′′
≈
max min
11
()
2
2
A
P P
R
=+
左边正是自由场中球面声压的表达式
应用互易定理校准传声器
B.非消声室中互易法校准换能器
(1)
地面反射声的校正
图5.14 保持距离R不变而改变高度以获得声压极大值和极小值的示意图0
max min
11
()
2
2
A
P P
R
=+
因此在测量时，只要保持发射器到接收器之间的距离不变，上下平移点源发射器
和接收器的高度，从得到的相邻的极大值和极小值之和除以2即可消去地面反射
声影响。

驻波管测量材料的法向吸声系数
应用互易定理校准传声器
B.非消声室中互易法校准换能器
(2) 传声器的互易校正
max min
11
()
2
2
A
P P
R
=+
采用三次测量法给出了自由声场中待校准的辐射换能器的发送灵敏度校准公式. 对于非自由声空间，则可以利用上式消去地面反射声的影响
用平均值来代替式(5.36)中可逆换能器2的输出电压
()
max min
1
2
U U
+
非自由声场中辐射换能器的发送灵敏度校准公式为2max2min2
()
1
2
x
x
x
U U i
S
C i
i
′′
+
=
′
非自由声场中接收换能器的接收灵敏度校准公式为max min max min
2max2min2
()()
()2
x x x x
f x
U U U U
M C
U U i
′′
++
=⋅
+′
A.外力作用下薄板的声辐射
10
202
01
(,)
()()
S
P
i
P f dS
Q
ωρ
∂
=
∂
∫∫r r
r r
n
.
()
M r0
()()
qδ
=−
r r r
假设在点处放入一单位强度的点声源
00
(,)
44
ik ikR
i i
P
R
ωρωρ
ππ
−
=−=−
−
r r
r r e e
r r
cos
(1)
1000
(,)()H(sin)e sin
8
ik z z
k
P A k r r d
ξ
ωρ
ξξξξ
π
−
Γ
=−
∫
r r
1
10
20
(,)
()(,,)
z h
S
P
i
P f r h dS
z
θ
ωρ
=
∂
=
∂
∫∫r r
r
对于集中力作用在平板情形(,)()()
F
f r r
r
θδδθ
=
2
cos
(1)
2000
()()H(sin)e cos sin
8
ik h z
k F
P A kr d
ξ
ξξξξξ
π
−
Γ
=∫
r
B.外力作用下球壳的声辐射
.
1
100000
02
()!
(,,)(21)P(cos)e j()j()P(1)
4()!
n
im
m m
n
n n n n
n m n n
b
kF n m
P r n kr kR
c a n m
ϕ
θφθ
πρ
∞
−
==−
−−′
=⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
+
∑∑
2
()()()()
sin
F
f r R
r
δδθδϕ
θ
=−
r
1
10
(,)
()()
S
S
P
i
P f dS
r
ωρ
∂
=
∂
∫∫r r
r
r
.
碰撞的力-时间曲线可近似为半正弦脉冲
()sin()
m m
f t f t t
π
=⋅
32
m
fαδ
=⋅
2
25
12
1
1.25(v v)
δ
αα
⎡⎤
−
=⎢⎥
⎣⎦
12
2.943(v v)
m
tδ
=⋅−
1
1010
201
00
(,)(,)
(,)()
S
P P
i i
P dS
r
ωδ
ωρωρ
=
∂∂
=−=
∂∂
∫∫
r r
r r r r
r r r
n
2020
(,)(,)e i t
P t P d
ω
ωω
∞−
−∞
′=∫
r r
020
(,)(,)()
B
P t P t f d
τττ
′
=−×
∫
r r
半正弦碰撞力作用下圆球体的辐射声场
.
本章小结
本章从经典互易定理入手，分别详述了力声变换结构和电声换能
器的参量之间的互易关系，接着详细推导了声学互易定理，并给
出声学互易定理的不同形式，最后举例说明了声学互易定理在工
程实际中的广泛应用，如应用互易定理校准传声器，计算力激励
下的辐射噪声和球体碰撞噪声等。