算法设计与分析习题答案1-6章

习题1
1. 图论诞生于七桥问题。

出生于瑞士
的伟大数学家欧拉（Leonhard
Euler ，1707—1783）提出并解决了该问题。

七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。

请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。

输入：一个起点
输出：相同的点
1， 一次步行
2， 经过七座桥，且每次只经历过一次
3， 回到起点
该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

图 七桥问题
南
2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。

请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法
=m-n
2.循环直到r=0
m=n
n=r
r=m-n
3 输出m
3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。

要求分别给出伪代码和C++描述。

编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
double value=0;
for(int n=1;n<=10000 ;++n)
{
value=value*10+1;
if(value%2013==0)
{
cout<<"n至少为:"<<n<<endl;
break;
}
}计算π值的问题能精确求解吗编写程序，求解满足给定精度要求的π值
#include <iostream>
using namespace std;
int main ()
{
double a,b;
double arctan(double x);圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。

为什么是6天呢任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。

例如，6=1+2+3，因此6是完美数。

神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。

设计算法，判断给定的自然数是否是完美数
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int value, k=1;
cin>>value;
for (int i = 2;i!=value;++i)
{
while (value % i == 0 )
{
k+=i;有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。

他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。

这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。

每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间
由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成
甲每次分别带着乙丙丁过桥
例如：
第一趟：甲，乙过桥且甲回来
第二趟：甲，丙过桥且甲回来
第一趟：甲，丁过桥
一共用时19小时
9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。

请问，你是选择先行动还是后行动为什么
设最初两个数较大的为a, 较小的为b，两个数的最大公约数为factor。

则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ..., factor*(a/factor)=a. 一共a/factor个。

如果a/factor 是奇数，就选择先行动；否则就后行动。

习题4
1.分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题
解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。

2. 证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O(n)。

O(N)=2*O(N/2)+x
O(N)+x=2*O(N/2)+2*x
a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a *O(N/2)+(a+1)*x 由此可知，时间复杂度可达到O(n);
3.分治策略一定导致递归吗如果是，请解释原因。

如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。

不一定导致递归。

如非递归的二叉树中序遍历。

这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈
这个数据结构。

4. 对于待排序序列(5, 3, 1, 9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。

归并排序：
第一趟：（5,3）（1,9）；
第二趟：（3,5,1,9）；
第三趟：（1,3,5,9）；
快速排序：
第一趟：5（ ,3,1,9）；设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。

设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置, 要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。

例如，对abcdefgh 循环左移3位得到defghabc。

设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。

#include <iostream>
using namespace std;
int data[100];
设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。

参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现
9. 在有序序列(r1, r2, …, r n)中，存在序号i（1≤i≤n），使得r i=i。

请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。

在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。

请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。

设M是一个n×n的整数矩阵，其中每一行（从左到右）和每一列（从上到下）的元素都按升序排列。

设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中，并分析算法的时间复杂性。

12. 设S是n（n为偶数）个不等的正整数的集合，要求将集合
S划分为子集S1和S2，使得|S1|=|S2|=n/2，且两个子集元素之和的差达到最大。

设a1, a2,…, a n是集合{1, 2, …, n}的一个排列，如果i<j且a i>a j，则序偶(a i, a j)称为该排列的一个逆序。

例如，2, 3, 1有两个逆序：(3, 1)和(2, 1)。

设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。

循环赛日程安排问题。

设有n=2k个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：
（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
（2）每个选手一天只能赛一次。

采用分治方法。

将2^k选手分为2^k-1两组，采用递归方法，继续进行分组，直到只剩下2个选手时，然后进行比赛，回溯就可以指定比赛日程表了
15. 格雷码是一个长度为2n的序列，序列中无相同元素，且每个元素都是长度为n的二进制位串，相邻元素恰好只有1位不同。

例如长度为23的格雷码为(000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100)。

设计分治算法对任意的n 值构造相应的格雷码。

矩阵乘法。

两个n ×n 的矩阵X 和Y 的乘积得到另外一个n ×n 的矩阵Z ，且Z ij
满足 （1≤i , j ≤n ），这个公式给出了运行时间为O (n 3)的算法。

可以用分
治法解决矩阵乘法问题，将矩阵X 和Y 都划分成四个n /2×n /2的子块，从而X 和Y 的乘积可以用这些子块进行表达，即
从而得到分治算法：先递归地计算8个规模为n /2的矩阵乘积AE 、
BG 、AF 、BH 、CE 、DG 、CF 、DH ，然后再花费O (n 2)的时间完成加法运
算即可。

请设计分治算法实现矩阵乘法，并分析时间性能。

能否再改进这个分治算法
习题5
1.
下面这个折半查找算法正确吗如果正确，请给出算法的正确性证明，如果不正确，请说明产生错误的原因。

ij Z
int BinSearch(int r[ ], int n, int k) {
int low = 0, high = n - 1;
int mid;
while (low <= high)
{
mid = (low + high) / 2;
if (k < r[mid]) high = mid;
else if (k > r[mid]) low = mid;
else return mid;
}
return 0;
}
错误。

正确算法：
int BinSearch1(int r[ ], int n, int k)
{
int low = 0, high = n - 1;
int mid;
while (low <= high)
{
mid = (low + high) / 2;
if (k < r[mid]) high = mid - 1;
else if (k > r[mid]) low = mid + 1;
else return mid;
}
return 0;
}
2.请写出折半查找的递归算法，并分析时间性能。

求两个正整数m和n的最小公倍数。

（提示：m和n的最小公倍数lcm(m, n)与m和n的最大公约数gcd(m, n)之间有如下关系：lcm(m, n)=m×n/gcd(m, n)）
插入法调整堆。

已知（k1, k2, …, k n）是堆，设计算法将（k1, k2, …, k n, k n+1）调整为堆（假设调整为大根堆）。

参照：
void SiftHeap(int r[ ], int k, int n)
{
int i, j, temp;
i = k; j = 2 * i + 1; 设计算法实现在大根堆中删除一个元素，要求算法的时间复杂性为O(log2n)。

有名的算法称为俄式乘法，其思想是利用了
一个规模是n的解和一个规模是n/2的解之
间的关系：n×m＝n/2×2m（当n是偶数）
或：n×m＝(n-1)/2×2m＋m（当n是奇数），并以1×m＝m作为算法
结束的条件。

例如，图给出了利用俄式乘法计算50×65的例子。

据
说十九世纪的俄国农夫使用该算法并因此得名，这个算法也使得乘法的硬件实现速度非常快，因为只使用移位就可以完成二进制数的折半和加倍。

请设计算法实现俄式乘法。

拿子游戏。

考虑下面这个游戏：桌子上有一堆火柴，游戏开始时共有n根火柴，两个玩家轮流拿走1，2，3或4根火柴，拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。

请为先走的玩家设计一个制胜的策略（如果该策略存在）。

如果桌上有小于4根的火柴，先手必胜，如果是5根，先手必输；依次类推，同理15、20、25…….都是必输状态；所有每次把对手逼到15、20、25…….等必输状态，就可以获胜。

9. 竞赛树是一棵完全二叉树，它反映了一系列“淘汰赛”的结果：叶子代表参加比赛的n个选手，每个内部结点代表由该结点的孩子结点所代表的选手中的胜者，显然，树的根结点就代表了淘汰赛的冠军。

请回答下列问题：
（1）这一系列的淘汰赛中比赛的总场数是多少
（2）设计一个高效的算法，它能够利用比赛中产生的信息确定亚军。

（1）因为n人进行淘汰赛，要淘汰n-1人，所有要进行n-1场比赛。

（2）
10. 在120枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相比较轻还是较重。

可以通过一架天平来任意比较两组硬币，最坏情况下，能不能只比较5次就检测出这枚假币
将120枚平均分为三组，记为：A，B，C；先将A,B比较，如果A,B 重量不同（假如B比A重），再将B与C比较，如果B，C相同，则A 有假币；如果B,C不同，再将A,C比较，如果A,C相同，则B有假币；如果A,C不同，则B有假币；如果A,B相同，则C有假币；
习题6
1.动态规划法为什么都需要填表如何设计表格的结构
在填写表格过程中，不仅可以使问题更加清晰，更重要的是可
以确定问题的存储结构；
设计表格，以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表。

2. 对于图所示多段图，用动态规划法求从顶点0到顶点12的最短路径，写出求解过程。

64
图第2题
将该多段图分为四段；
首先求解初始子问题，可直接获得：
d(0, 1)=c01＝5(0→1)
d(0, 2)=c02＝3(0→1)
再求解下一个阶段的子问题，有：
d(0,3)= d(0, 1)+ c13 =6(1→3)
d(0,4)=min{d(0,1)+ c14 ,d(0,2)+ c24}=8(1→4)。

（以此类推）
最短路径为：0→1→3→8→11→12
3．用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解：有5个物品，其重量分别为(3, 2, 1, 4,5)，价值分别为(25, 20, 15, 40, 50)，背包容量为6。

写出求解过程。

(x1, x2,x3,x4,x5) →(1,1,1,0,0)(过程略)
4. 用动态规划法求两个字符串A="xzyzzyx"和B="zxyyzxz"的最长公共子序列。

写出求解过程。

略
5. 给定模式"grammer"和文本"grameer"，写出动态规划法求解K-近似匹配的过程。

略
6. 对于最优二叉查找树的动态规划算法，设计一个线性时间算
法，从二维表R中生成最优二叉查找树。

7. Ackermann 函数A (m , n )的递归定义如下：
⎪⎩
⎪
⎨⎧
>>--=>-=+=0
,0))1,(,1(0,0)
1,1(01),(n m n m A m A n m m A m n n m A 设计动态规划算法计算A (m , n )，要求算法的空间复杂性为
O (m )。

考虑下面的货币兑付问题：在面值为(v 1, v 2, …, v n )的n 种货币中，需要支付y 值的货币，应如何支付才能使货币支付的张数最少，即满足y v x n
i i i =∑=1
，且使∑=n
i i x 1
最小（x i 是非负整数）。

设计动态规划算
法求解货币兑付问题，并分析时间性能和空间性能。

#include<iostream> #define N 100000 #define M 20
int a[N][M]; int value[M];
using namespace std;
int main()
{
while(true)
{
int i,j,k;
int x,y,z;
cout<<"输入货币种类的个数："<<endl;
cin>>x;
cout<<"从小到大输入货币的价值，其中第一个必须为一："<<endl;
for(i=1;i<=x;i++)//x为货币种类的个数
{
cout<<"value["<<i<<"]=";
cin>>y;
value[i]=y;
}
cout<<"输入要兑换的钱的价值："<<endl; cin>>z;//z为钱
for(j=0;j<=z;j++)
a[j][0]=0;
for(k=0;k<=x;k++)
a[0][k]=0;
for(i=1;i<=z;i++)
{
for(j=1;j<=x;j++)
{
if(value[j]==i)
a[i][j]=1;
else if(value[j]>i)
a[i][j]=a[i][j-1];
else
a[i][j]=a[i-value[j]][j]+1;//相当于把乘
法换成加法，即碰到
一个钱数于兑换货币
自身价值时，返回到
钱数减去该货币值的地方，其值再加1//
}//for
}
cout<<"兑换的最小货币个数是："<<a[z][x]<<endl;
}//while
return 0;
}。