第3章图像处理中的正交变换

y

f
(
x,
y)


A
0
0 x X
0 yY x X,x 0
y Y , y 0

F (u, v)
f ( x, y)e j 2 (ux vy)dxdy

X

Y Ae j 2 (ux vy)dxdy
00
A X e j2 ux dx Y e j2vydy

f ( x)og( x) f ( )g( x )d
(3-21)

f (x, y)og(x, y)
f (, )g( x , y )dd

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(3-22)
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式中O符号表示相关运算。由以上定义可引出傅里叶
变换的一个重要性质。这就是相关定理，即
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本章内容
3.1 傅里叶变换 (Fourier Transform) 3.2 离散余弦变换 (Discrete Cosine Transform) 3.3 沃尔什变换 (Walsh Transform)
感兴趣的同学自学
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3.1 傅里叶变换(Fourier Transformation)
如果
x(n) X(m), y(n) Y(m)
则
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x(n) y(n) X(m)Y(m)
(3-44)
31
9) 相关定理 如果
x(n) X(m) y(n) Y (m)
(3-45)
则
x(n)oy(n) X (m) Y (m)
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10) 帕斯维尔定理
在式(3-17)中引入极坐标表示。其 中：x r cos ，y r sin，u k cos ，v k sin。 所以 f(x, y) 和 F(u,v)分别用 f (r, )和F(k,) 来表示。式中 的 为对应关系符号。反之，如果 F(u,v) 旋转某一角度， 则 f(x, y) 在空间域也旋转同样的角度。这条性质只要以 极坐标代以 x, y, u,v ，则立即可以得到证明。
叶变换，实际上这个条件在工程运用中总是可以满 足的。 (2) 连续非周期函数的傅里叶谱是连续的非周期函数， 连续的周期函数的傅里叶谱是离散的非周期函数。
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傅里叶变换可推广到二维函数。如果二维函数 f(x, y) 满足狄里赫莱条件，那么将有下面二维傅里叶变 换对存在：

F(u, v)
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(8) 卷积定理 如果f(x)和g(x)是一维时域函数，f(x, y)和g(x, y)是
二维空域函数，那么，定义以下二式为卷积函数，即
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f ( x) g( x) f ( )g( x )d

f (x, y) g(x, y)
第 3 章 图像处理中的正交变换
数字图像处理方法可分为两大类： 一个是空间域处理法(或称空域法)， 一个是频域法(或称变换域法)。
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变换处理一般是线性变换，其基本线性运算式是 严格可逆的，并且满足一定的正交条件，因此，也将 其称作酉变换。目前，图像处理技术中正交变换被广 泛地运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图 像识别及图像编码等处理中。
Fa1 f1( x, y) a2 f2( x, y) a1F f1(x, y) a2F f2(x, y)
(3-15)
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(3) 共轭对称性 如果 F(u,v)是 f(x, y) 的傅里叶变换，F *(u,v) 是 f(-x, -y) 傅里叶变换的共轭函数，那么
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则有下列二式成立
F (u) f ( x)e j2uxdx
f ( x) F (u)e j2ux du
(3-1) (3-2)
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式中， x为时域或空间域变量，u为频率变量。
如令 2 u ，则有
F ( ) f ( x)e jxdx

先修课《数字信号处


理》课程的主要内容，
自己复习
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3.1.1 傅里叶变换的定义及基本概念
傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为 x的函数，如果满足下面的狄里赫莱(Dirichlet)条件：
(1) 具有有限个间断点； (2) 具有有限个极值点； (3) 绝对可积。
AXY
uX

vY

其傅里叶谱由下式表示
F (u, v) AXY sin(uX ) sin(vY
uX
vY
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3.1.2 傅里叶变换的性质(二维)
傅里叶变换有许多重要性质。这些性质为实际 运算处理提供了极大的便利。这里，仅就二维傅里 叶变换为例列出其主要的几个性质。
(3-5) (3-6)
F ( ) R2 ( ) I 2 ( )
(3-7)
() arctg I() R( )
(3-8)
把 F() 叫做f(x) 的傅里叶幅度谱，而 ()叫相位谱。
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两个重要概念： (1) 只要满足狄里赫莱条件，连续函数就可以进行傅里
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2. 离散傅里叶变换的性质
离散傅里叶变换有如下一些性质
1) 线性
如果时间序列x(n)与y(n)各有傅里叶变换X(m)和
Y(m)，则 ax(n) by(n) aX(m) bY(m)
(3-37)
2) 对称性
如果
x(n) X(m)
则
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1 X (n) x(m) N
f ( x, y)og( x, y) F (u, v) G*(u, v) f ( x, y) g*( x, y) F (u, v)oG(u, v)
(3-23) (3-24)
式中F(u, v)是 f(x, y)的傅里叶变换，G(u, v)是g(x, y)的傅 里叶变换， G*(u, v) 是G(u, v) 的共轭，g*(x, y) 是g(x, y) 的共轭。
R(u, v)
E(u, v) R2(u, v) I 2(u, v)
(3-11) (3-12) (3-13)
式中，|F(u, v)|是幅度谱；(u, v)是相位谱；E(u, v)是能量
谱。
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来自百度文库
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例3-3 求图3-4所示函数的傅里叶谱。
f (x, y)
x
图 3-4 函数f(x, y)
F (u, v) F * (u,v)
(3-16)
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(4) 旋转性
如果空间域函数旋转的角度为 0 ，那么在变换 域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度，即
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f (r, 0 ) F(k, 0 )
(3-17)
18
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2ux
dx

.e
- j 2vydy
(3-14)


Fx f ( x, y) e - j2ydy
Fy{Fx[ f ( x, y)]}
这个性质说明一个二维傅里叶变换可用二次一维 傅里叶变换来实现。
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(2) 线性 傅里叶变换是线性算子，即 :
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(5) 比例变换特性 如果F(u, v) 是 f(x, y) 的傅里叶变换。a和b分别为两个标量，那 么
af ( x, y) aF(u,v)
f (ax, by) 1 F u , v ab a b
(3-18) (3-19)
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(6) 帕斯维尔(Parseval)定理 这个性质也可称为能量保持定理。如果F(u, v)
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1. 离散傅里叶变换的定义
如果x(n)为一数字序列，点数为N，则其离散傅里 叶正变换定义由下式来表示
N 1
j 2mn
X (m) x(n)e N
n0
傅里叶反变换定义由下式来表示
x(n)
1
N 1
j 2mn
X (m)e N
N
m0
(3-29) (3-30)
是f(x, y)的傅里叶变换，那么有下式成立
f ( x, y) 2 dxdy F (u, v) 2 dudv


(3-20)
这个性质说明变换前后并不损失能量。
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(7) 相关定理
如果，f(x), g(x)为两个一维时域函数；f(x, y)和g(x, y)为两 个二维空域函数，那么，定义下二式为相关函数
f ( , )g( x , y )dd

(3-25) (3-26)
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式中＊符号表示卷积关系。由此，可得到傅里叶变 换的卷积定理如下：
f (x, y) g(x, y) F(u,v)G(u,v) (3-27)
f (x, y) g(x, y) F(u,v)G(u,v)
傅里叶变换是大家所熟知的正交变换。在一维信号处理 中得到了广泛应用。把这种处理方法推广到图像处理中是很 自然的事。这里将对傅里叶变换的基本概念及算法作一些简 单的复习。
3.1.1 傅里叶变换的定义及基本概念 3.1.2 傅里叶变换的性质（二维） 3.1.3 离散傅里叶变换 3.1.4 快速傅里叶变换(FFT) 3.1.5 用计算机实现快速傅里叶变换 3.1.6 二维离散傅里叶变换
f ( x) 1 F ( )e jxd 2
(3-3) (3-4)
通常把以上公式称为傅里叶变换对。
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函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量，它可以 由式(3-5)表示
F() R() jI()
或写成指数形式
F ( ) F ( ) e j ( )
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(1) 具有可分性

F (u, v)

f ( x, y)e
- j 2 (ux vy)dxdy




f ( x, y)e
- j 2ux .e
- j2vydxdy





f ( x, y)e

-
j
(3-28)
式中F(u, v)和G(u, v)分别是f(x, y)和g(x, y)的傅里叶变 换。
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3.1.3 离散傅里叶变换
连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，这 在理论分析中无疑具有很大价值。离散傅里叶变换使 得数学方法与计算机技术建立了联系，这就为傅里叶 变换这样一个数学工具在实用中开辟了一条宽阔的道 路。因此，它不仅仅有理论价值，而且在某种意义上 说它也有了更重要的实用价值。
(3-38)
29
3) 时间移位
如果
x(n) X(m)
序列向右(或向左)移动k位，则:
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x(n k) X(m)W km
4) 频率移位 如果 x(n) X(m)
则
x(n)W kn X(m k)
(3-39)
(3-40)
30
5) 周期性 6) 偶函数 7) 奇函数 8) 卷积定理
0
0
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e j 2 ux X
A

j
2ux

0
e j 2 vy Y


j
2vy

0
12

A
e j 2ux 1
1
e j 2vy 1
j2u
j2v
sin(uX )e jux sin(vY )e jvy
f ( x, y)e j2 (ux vy)dxdy

f ( x, y) F (u, v)e j2 (ux vy)dudv
(3-9) (3-10)
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与一维傅里叶变换类似，二维傅里叶变换的幅度谱和 相位谱如下式：
F(u,v) R2(u,v) I 2(u,v) (u, v) arctg I (u, v)
如果 则
x(n) X(m)
N1
x2(n)
1
N 1
2
X (m)
N
n0
m0
(3-46)
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3.1.4 快速傅里叶变换(FFT)
离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具。 然而，它的计算量较大，运算时间长，在某种程度上却 限制了它的使用范围。快速算法大大提高了运算速度， 在某些应用场合已可能作到实时处理，并且开始应用于 控制系统。