圆型限制性三体问题中双恒星系统的存在性

述的平面圆型限制性三体问题, P 1 P 2 的轨道是圆, 且 P 只在该圆的轨道平面上运动. 我们采取旋转坐标系 Gx y , x 轴指向P 1 P 2 , y 轴与 x 轴垂直, 在轨道平面上. 取 m 1 + m 2 为质量单位, 且令 m 2 = Λ, m 1 = 1- Λ( 0< Λ≤1 2) , 取 P 2 绕 P 1 的轨道周期 T 除以2Π 作为时 间单位, P 2 绕 P 1 的椭圆半长径 a 作为距离单位, 则上述系统的运动方程为 ( 见 [ 2 ] ) : 98 β α 98 , yβ+ 2xα = , x - 2y = 9x 9y 其中 1 2 1- Λ Λ (x + y 2 ) + + . 8= 2 2 2 ( x + Λ) + y ( x + Λ- 1) 2 + y 2 1 α 2 ( x 2 + yα ) + x yα 实际上, 上述方程是以 L = - xα y + 8 ( x , y ) 为 L ag range 函数的 L ag range 方 2 程 . 以下采取极坐标系, 令 x = rco sΗ , y = r sin Η ,则
收稿日期: 1999211208 基金项目: 博士点基金
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英国广播公司, 8月18 日, h ttp:
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§1 引 言
星系中的大多数恒星都与别的恒星构成双恒星或更多恒星的系统, 在以前的双恒星系 统中所发现的行星是环绕其中一颗恒星公转的. 而天文学家最近 ( 1999年6月) 发现了一颗大 小与木星相似的环绕两颗恒星公转的行星1. 如果上述报道属实, 那么, 这是人类第一次看到 这种现象. 根据报道, 这两颗恒星的体积和亮度都不及太阳, 它们互相环绕飞行, 相距约为 115亿英里, 而在大约615 亿英里以外的地方有一颗大小与木星相似的行星环绕这对恒星运 行 . 在这样的系统中, 如果行星的质量相对较小, 可以近似为限制性三体问题 . 因此, 双恒星 系统为研究限制性三体问题提出了一个问题: 限制性三体问题中是否存在稳定的大振幅解, 甚至, 是否有大振幅的周期解, 而这个问题又是三体问题中的经典难题. 从五十年代 KAM 理论提出以来, 大量的数学力学家在使用和研究 KAM 理论方面做 了大量的工作 . 例如, 使用 KAM 理论研究了太阳系的稳定性、 木星附近卫星的运动等 ( 参见 [ 1, 3 ] ). 三体问题是天体力学中的经典难题, 即使是平面型限制性三体问题, 至今还未完全 解决. 作为对上述问题的初步探索, 本文先研究最简单的情形. 假定行星的质量相对恒星的 为很小, 且只在两恒星的轨道平面上运动, 还假定两恒星之间的距离不变. 在上述假定下, 即
摘 要: 在圆型限制性三体问题的研究中, 研究较多的是在其中一体附近的运 动. 本文研究远离两个大质量恒星的行星的运行情况. 在此范围内, 使用 KAM 理 论研究大振幅轨道的存在性, 说明了星系中双恒星系统的存在性, 而这一现象已被 天文学家所观察到. 关键词: 限制三体问题; 双恒星系统; KAM 理论 中图分类号: O 175121, O 317, P 148 文献标识码: A 文章编号: 100024424 ( 2001) 0120055206
§2 运动方程
在上面系统中, 以 P 记行星, 并认为其质量很小, 即它对其余两恒星的引力可忽略不 计 . 两恒星分别记为 P 1 , P 2 , 质量为 m 1 , m 2. 则 P 1 , P 2 的运动只有相互吸引, 是二体问题 .
. P 受此二体运动所产生的引力场吸引而运动 . 在上面所 P 1 P 2 相对质心的轨道是圆锥曲线
2
H =
2 1 2 pΗ ( p r + 2 ) - p Η- V ( r, Η ), 2 r
( 1)
其中 p r , p Η 为广义动量. 可得 H am ilton ian 方程为: dr = p r, dt
dΗ p Η = 2 - 1, dt r ) Λ( r - ( 1 - Λ) co sΗ r ( 1 + Λ) co sΗ 3 3 , 2 2 2 ( r + ( - 1 + Λ) - 2 r ( 1 - Λ) co sΗ )2 ( r + Λ2 + 2Λrco sΗ )2 ( 1 - Λ) Λr sin Η dp Η r ( 1 - Λ) Λsin Η = 3 + 3. 2 2 2 dt ( r + ( - 1 + Λ) - 2 r ( 1 - Λ) co sΗ )2 ( r + Λ2 + 2Λrco sΗ )2 由 ( 1) , 对给定的 H = h 可局部解出
高校应用数学学报A 辑 2001, 16 ( 1) : 55 ～ 60
A pp l . M a th. J. Ch inese U n iv. Ser. A
圆型限制性三体问题中双恒星系统的存在性
雷锦志1 , 管克英2
( 11北京航空航天大学 数学系, 北京 100083; 21北方交通大学 数学系, 北京 100044)
L=
2 1 α r 2 2 α α ( r2 + r2 Η ) + r2 Η ), + + V ( r, Η 2 2
其中 Λ + r - 2 ( 1- Λ) rco sΗ + ( Λ- 1) 2 对应的 H am ilton ian 函数为:
)= V ( r, Η
2
1- Λ . r + 2Λrco sΗ + Λ2
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高 校 应 用 数 学 学 报A 辑
第16卷第1期
要研究平面圆型限制性三体问题的大振幅解问题. 在该系统中, 当行星远离恒星时, 可以把 引力场近似看成是中心对称场内行星的运动, 由 KAM 环面的存在性保证了大振幅解的存在稳定性. 由数值计算的结果表明, 这一分析方 法与数值计算的结果是相吻合的.