第8章回归方程的函数形式

Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ 标准误差 ｔ Ｓｔａｔ Ｐ－ｖａｌｕｅ Ｉｎｔｅｒｃｅｐｔ３．９５５１０４ ０．０４５９９５ ８５．９８９３２ ３．７３Ｅ－１３ Ｘ Ｖａｒｉａｂｌｅ １ －０．２００３４ ０．０２７６６１ －７．２４２８７ ８．８７Ｅ－０５
8.2 线性模型与对数线性模型的比较
最好的模型是… ? Linear Mode Log-Linear Model 模型选择/模型标定误差 r2或R2的缺陷 - 与解释变量（性质和个数）密切相关 Criteria Ø 经济变量的相关性 Ø 预期的解释变量系数的性质 Ø 统计显著性 Ø 其他诸如弹性系数的衍生性度量指标 平均价格弹性系数
需求函数： ln Yt = ln A + B2 ln X t
K 斜率 / 变 K 斜率 / 变 化量与时 化量与时 间和回归 间和回归 变量有关 变量有关
∆Yt dYt ≈ = AB2 X t( B2 −1) ∆X t dX t
E=
Y的变动% ∆Y Y × 100 ∆Y Y ∆Y X X = = = × = 斜率 × X的变动% ∆X X × 100 ∆X X ∆X Y Y
n
线性-对数模型 斜率/弹性系数
Yt = B1 + B2 ln X 2t + ut
n
dYt 1 = B2 ( ) dX 2t X 2t E= d ln Yt 1 X 2t 1 = B2 ( )( ) = B2 ( ) d ln X 2t X 2 t Yt Yt
n
特点
Ø 解释变量X2t每变动一个1%，应变量Yt的绝对变化量
例8.2 生产函数 –续
n
其它的生产函数 Constant Elaseticity of Substitute(Arrow, 1961)
CES : Q = γ [δK + (1 - δ )L ]
-θ -θ − V θ
Variable Elaseticity of Substitute(Revanker, 1971)
∆Q Q ∆Q P ∆Q 1 = × = × ∆P P ∆P Q ∆P Q P
例8.1对widget的需求
n
价格与需求量之间非完全线性的 –需求的极限性
指数关系 − Yt = AX tB2
n
双对数模型/对数线性模型/不变弹性模型(Constant Elasticity Model)
Yt = AX tB2 + vt； ln Yt = ln A + B2 ln X t + ut； Y t* = B1 + B2 X * + ut t
Q = AK α Lβ
n
参数α为产出Q对资本的弹性和β为产出Q对劳动力 的弹性 CD生产函数的边际产品/收益
∂Q Q = A(α − 1) K α −1Lβ = α ∂K K
∂Q Q = AK α ( β − 1) Lβ −1 = β ∂L L
例8.2 生产函数 –续
n
利润最大化的条件 –边际产品等于相应生产投入的价格与产出价 格之比
VES : Q = γKα (1−δρ ) [L + ( ρ - 1)K]αδρ 约束条件： γ > 0, α > 0 0 <δ <1 0 <δ ≤ ρ ≤1 L (1 − ρ ) > K (1 − δρ )
例8.2 生产函数 –柯布-道格拉斯生产函数， pp158 - 159
n
注意：数据的 单位及与处理
Ø Ø Ø Ø Ø Ø 对数-对数模型 对数-线性模型 线性-对数模型 半对数模型/增长率模型 线性趋势模型 双曲函数模型
解释变量与应变量的关系
n
n
传统回归模型 刻划解释变量的绝对增加量 ∆ X jt 与应变量间的绝对增加量 ∆ Yt 间的关系 函数形式模型 ∆ Yt 刻划解释变量的相对增加量 ∆ X jt X与应变量间的相对增加量 jt 间的关系 度量指标 • 斜率 — 绝对变化量
弹性系数Bi(i=2,..,n) –表示在其它解释变量不变的前提 下，应变量Y对解释变量Xi的弹性，即Bi 每变动1%时,Y 变化的百分比，也叫偏弹性系数。 在对数线性模型中，弹性系数Bi度量了解释变量的相 对变化对应变量Y的影响（相对增加率） 在线性模型中，斜率Bi度量解释变量绝对变动对应变 量Y的影响（绝对增加量）
dYt = B2 ( 1 dX )dX 2t = B2 2t X 2t X 2t
实例
Milton Friedman (1912 - ) 1976年10月14日 获诺贝尔经济奖 M2=发行净额+ 存款货币净额+ 商业银行定期存款 n M2保持3~5%的 增长率可以维持 USA经济稳定增长 n 问题： M2保持?%的 增长率可以维持 CHINA经济稳定增长？？
第8章 回归方程的函数形式
• 总体回归函数和样本回归函数（截距,斜率,残差,t值,F值） • 线性回归基本方法（模型参数线性,回归变量线性,估计量线性） • 参数估计量评价 - BLUE • 经济变量间的非线性 –（复合利率，增长率，弹性系数） • 回归方程的函数形式 –参数为线性但变量为非线性 • 主要内容 经济变量的非线性现象 非线性回归模型的线性化解 各种特殊的回归模型模型
n
线性化模型OLS估计 仍然按照最小二乘法估计
例8.1 - 续
n
回归分析 t=-0.90880 检验 r2=0.9166 拟合度 判定系数
n
经济学分析 需求函数理论
n
对数线性模型检验 ==》CLRM
例8.1 –续
n
回归分析表
回归统计 Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｒ ０．９３１４９３ Ｒ Ｓｑｕａｒｅ ０．８６７６７９ Ａｄｊｕｓｔｅｄ Ｒ Ｓｑｕａｒｅ ０．８５１１３９ 标准误差 ０．０６０８２８ 观测值 １０ 方差分析 ｄｆ 回归分析 残差 总计 ＳＳ ＭＳ Ｆ Ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ Ｆ １ ０．１９４１０１ ０．１９４１０１ ５２．４５９１ ８．８６６６８Ｅ－０５ ８ ０．０２９６ ０．００３７ ９ ０．２２３７０１ Ｌｏｗｅｒ ９５％ Ｕｐｐｅｒ ９５％ ３．８４９０３９０６８ ４．０６１１７ －０．２６４１２８９４７ －０．１３６５６
例8.2 生产函数 –续
n
CD函数的规模收益
α + β = 1:
α + β > 1: α + β < 1:
规模收益不变 规模收益递增 规模收益递减
仅当 α + β < 1 可能的情况下存在成本最小的稳定唯一解 矛盾地：与现实生产不一致（似乎只有在规模收益递减的情况下才 能达到利润的最大化的稳定的解）。说明在求成本最小时候的假 设前提“ 产出价格与投入价格是不变化的” 是不正确的！
例8.2 生产函数 –补充内容
n
生产函数 –表示投入与产出之间的技术经济关系
X = φ (V1 ,L ,Vk )
X –产出；Vi –投入 生产函数与投资问题和经济增长规模有关 n 利润 –企业经营的目的是利润最大化，利润表示为
π = p x X − ∑ piVi
i =1 K
px为产出价格； pi为各个生产投入的价格
∂Q m = ∂K p ∂Q w = ∂L p
n
CD生产函数的联立方程 Q = Ak α Lβ Q m α = K p Q w β = L p
K α w = ( )( ) L β m
n
CD函数为（α+β）的齐次函数
Q( λK , λL) = A( λK )α (λL) β = λα +β Q ( K , L)
• 价格下降1%，考察销售量变动多少个百分点 • 双对数模型(double-log)/对数线性模型(log-linear)的线性化
Yt = AX tB2 + vt ln Yt = ln A + B2 ln X t + ut Y t* = B1 + B2 X * + ut t
需求函数
n n n n
需求函数 — 商品需求量与决定需求量的各各因素之间的关系 影响需求的因素 — 商品的价格、收入、偏好、关联产品价格的变 化、预期 etc 需求弹性 — 测定某种商品/劳务的需求量在其影响需求的因素(如 ，价格、收入)发生变化时的反映程度 价格弹性 –需求量变化的百分比与价格变动百分比之间的比例。
线性趋势模型 Yt = B1 + B2t + ut 斜率/趋势 ∂Yt = B 2 ∂t 实例
Fra Baidu bibliotek
n
n
增长率模型与线性趋势模型之比较
Ø 相对增长率 v 绝对增长率 Ø 弹性系数差异 Ø r2不可比较
n
增长率模型与线性趋势模型的缺陷
Ø 时间t可能与ut有关 Ø 需要检验CLRM假设的有效性
8.5 线性对数模型：解释变量是对数的形式
∆Y Y t ∆t
n
n
t 复利模型（利滚利） Yt = Y0 (1 + r )
n
半对数模型/线性增长模型
ln Yt = B1 + B2t + ut
8.4.1 单利增长利率与复合增长率 –半对数模型
n n
单利增长率 B2估计值b2 复利增长率 比较
Yt = Y0 (1 + r )t
单位时间的 Y 相对增长量 d(ln(Y))/d 单位时间的 Y 相对增长量 d(ln(Y))/d
∂Yt ⋅1 ∂X jt
Yt
n
• 弹性系数 — 相对变化量
n
∂ ln Yt ⋅ 1% ∂ ln X jt
实例 价格每变化1个%点，对商品需求的增加量？ 价格每增加1个货币单位，对商品需求的增加量多少个%点？
8.1 如何度量弹性系数：对数线性模型模型
• 经济变量的弹性系数E
需求函数：Yt = AX tB2 , A > 0 and Yt , X t > 0
n
实例
n
引自如上
实例
8.6 双曲函数模型
例8.2 生产函数 –柯布-道格拉斯生产函数， pp158 - 159
中国实例分析
n
引自吉林大学商学院《国家财政模型》课题组《我国宏观经济计量模型及政
策模拟分析》
例8.3 能源需求函数函数，pp159 - 160
n
7国集团
美国、加拿大 德国、英国 意大利 日本、法国 俄国
n n n
能源策略(储备) 石油输出组织
8.3 多元对数线性回归模型
n
对数线性模型/双对数模型
ln Yt = B1 + B2 ln X 2 t + B3 ln X 3t + L + Bk X k t + B p X tp + ut , t = 1,..., n
∂ ln Yt = B j , j = 2,L , k ∂ ln X jt
n
n n
n
目标函数 –利润最大
π = p x [φ (V1,LVK )] − ∑ piVi
i =1 K
例8.2 生产函数 - 续
n
约束条件 –生产函数（生产要素：资本+劳动力）
∂φ (V1 ,L,Vk ) Pi = ∂Vi Px
在给定的生产投入水平条件下生产产出X可能达到的最高水平 生产函数研究在最大可能产出的前提下使成本最小或利润最大的 投入组合问题！
Ep =
1)点概念 2)价格下降则需求量上升；否则下降，dP/dQ<0 3)价格弹性的性质：
v Ep=0 v 0<abs(Ep)<1 v 1<abs(Ep)<unlimited v abs(Ep)=unlimited v abs(Ep) = 1 — — — — — 商品需求对价格完全无弹性 商品需求对价格无弹性，缺少弹性 商品需求量对价格有弹性 商品需求量对价格的弹性无限大 单位弹性，矩形双曲线
OPC
中东/俄国
n
www.oecd.org Organization for Economic Co-operation and Development
如何测定增长率：半对数模型
n
经济增长率 –用以监控经济运行状况 预计GNP增长率 信贷增长率 农民收入增长率 城市失业率 考察对象 — 伴随解释变量（时间）的增加，应变量的增长率
n
研究问题 生产效率 -∂X
∂Vi
边际替换率
MRS(Vi ) = ∂X ∂Vi
替换弹性 规模经济 -
Vi V ∂ ln i Vj Vj α= = MRS(Vi ) p Vi ∂ ln ∂ ln MRS(Vi ) p Vj ∂ ln
例8.2 生产函数 –续
n
CD生产函数 1920s数学家Cobb和经济学家Douglas 生产要素为资本K和劳动力L;产出为Q
和 ln Yt = B1 + B2t + ut
得：r = antilog( b2 ) − 1
n n
实例（USA未偿付信贷） 增长率 — b2为94%
∂ ln Yt Y 的相对变化 = B2 = t ∂t t的绝对变化
8.4.2 线性趋势模型
n n
单位时间 ,Y 的绝对增长量 dY/dt 单位时间 ,Y 的绝对增长量 dY/dt