第6章 总率的区间估计和假设检验

第6章总体率的区间估计和假设检验

♦掌握率的抽样误差的概念和意义

♦掌握总体率区间估计的概念意义和计算方法

♦掌握率的U检验的概念和条件，计算方法

♦第一节率的抽样误差与总体率的区间估计

一、率的抽样误差：在同一总体中按一定的样本含量n抽样,样本率和总体率或样本率之间也存在着差异，这种差异称为率的抽样误差。

例6.1 检查居民800人粪便中蛔虫阳性200人，阳性率为25%，试求阳性率的标准误。

本例：n=800，p=0.25，1-p=0.75，

%

53

.1

0153

.0

800

75

.0

25

.0

=

=

⨯

=

p

S

二、总体率的区间估计

㈠正态分布法

样本含量n足够大，np与n(1-p)均≥5时,

例6.2 求例6.1当地居民粪便蛔虫阳性率的95%可信区间和99%的可信区间。

95%的可信区间为：25%±1.96×1.53% 即（22.00%，28.00%）

99%的可信区间为：25%±2.58×1.53% 即（21.05%，28.95%）㈡查表法

当样本含量较小（如n≤50），np或n(1－p)<5时，样本率的分布呈二项分布，总体率的可信区间可据二项分布的理论求得。

第二节率的u检验

应用条件：样本含量n足够大，np与n(1－p)均≥5 。

此时，样本率p也是以总体率为中心呈正态分布或近似正态分布的。

一、样本率与总体率比较的u

♦u值的计算公式为：

例6.5 根据以往经验，一般胃溃疡病患者有20%(总体率)发生胃出血症状。现某医生观察65岁以上胃溃疡病人152例，其中48例发生胃出血，占31.6%（样本率）。问老年胃n

p

)

1(π

π

σ

-

=

n

p

p

S

p

)

1(-

=

p

S

u

p

α

±

n

p

p

u

p

)

1

(

|

|

|

|

π

π

π

σ

π

-

-

=

-

=

溃疡病患者是否较一般胃溃疡病患者易发生胃出血。 计算结果及判断58.3152

)20.01(20.0|

20.0316.0|=--=

u

判断：u=3.58 > u0.05=1. 64（单侧）, P<0.05。

在α=0.05水准上，拒绝H 0，接受H 1，差异有统计学意义。

二、两样本率比较的u 检验

计算公式为

例 6.6 某中药研究所试用某种草药预防流感，观察用药组和对照组（未用药组）的流感发病率，其结果见表

6-1。问两组流感发病率有无差别？

表6-1 用药组和对照组流感发病率比较

第七章 二项分布与Poisson 分布

第一节 二项分布及其应用

一、二项分布的概念及应用条件

二项分布（binominal distribution ） 是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无效等。

二项分布 也称为贝努里分布（Bernoulli distribution ）或贝努里模型，是由法国数学家J.Bernoulli 于1713年首先阐述的概率分布。

如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为（1-π），且各观察单位的观察结果相互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取n 例，其中出现阳性数为X (X =0,1,2,3,…，n )的概率服从二项分布。 贝努里模型应具备下列三个基本条件

试验结果只出现对立事件A 或，两者只能出现其中之一。这种事件也称为互斥事件。 试验结果是相互独立，互不影响的。例如，一个妇女生育男孩或女孩，并不影响另一个妇女生育男孩或女孩等。 每次试验中，出现事件A 的概率为π ，而出现对立事件的概率为１- π 。则有总概率 π +（1- π ）=1。

二、 二项分布的概率函数

根据贝努里模型进行试验的三个基本条件，可以求出在n 次独立试验下，事件A 出现的次数X 的概率分布。X 为离散型随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n 。

则X 的概率函数为： X=0,1,2,3…..,n 式中：0<π<1， X

n C 为组合数，上述公式称随机变量X 服从参数为n ，π的二项分布，

则记为X ～B(n,π)。 三、 二项分布的性质

1. 二项分布的每种组合的概率符合二项展开式，其总概率等于1

Λ

+-+-=-=-+-=-∑11

1000)1()1()1()]1([n n n n n

X X n X X n n

C C C ππππππππ1)1()1(0111=-+-+--ππππn n n n n n C C

二项展开式有以下特点： （1）展开式的项数为n +1。

（2）展开式每项π和（1- π ）指数之和为n 。 （3）展开式每项π的指数从0到n ；（1- π ）的指数从n 到0。

2. 二项分布的累积概率 设m1≤X ≤m2 （m1＜m2）, 则X 在m 1至m2区间的累积概率有： ∑=--=

≤≤2

1

)1()(21m m X X n X X n

n C

m X m P ππ

至多有x 例阳性的概率为： ∑==

≤x

X n X P x X P 0)()( X =0,1,2，…，x (7.4)

至少有x 例阳性的概率为： ∑==

≥n

x

X n X P x X P )()( X =x ，x +1，…，n

分别为下侧累计概率，和上侧累计概率。 3.二项分布的概率分布图形

以X 为横坐标，P （X ）为纵坐标，在坐标纸上可绘出二项分布的图形, 由于X 为离散型随机变量，二项分布图形由横坐标上孤立点的垂直线条组成。

二项分布的图形取决于与n 的大小。当n 充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态分布。

一般地，如果n π之积大于5时，分布接近正态分布；当n π<5时，图形呈偏态分布。当π =0.5时，图形分布对称，近似正态。如果π≠0.5或距0.5较远时，分布呈偏态。 4.二项分布的数字特征

(这里的数字特征主要指总体均数、方差、标准差等参数）

（1）随机变量X 的数学期望E （X ）＝μ，即指总体均数： μ ＝n π （2）随机变量X 的方差D （X ）＝σ 2 为：)1(2

ππσ-=n （3）随机变量X 的标准差为:)1(ππσ-=n

X n X

X n n C X P --=

)1()(ππ