理论力学扭转

§4-2 外力偶矩、扭矩
1．外力偶矩
直接计算
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： W Pk 1000(N.m)
外力偶作功完成： W
m 9549 P
M e 2 (N m)
n 60
n
例4-1 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮
Mz 0
t dxdy t dxdy
故
上式称为切应力互等定理。
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d δ
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
三、剪切胡克定律 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。
钢材的G值约为80GPa。
切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关
系（推导详见后面章节）：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
§4.4 圆轴扭转时的应力、强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力 几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。
由 M x 0, T M e 0 得T＝M e 内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
，沿周向大小不变，方向与
该截面的扭矩方向一致。
5 ． 与 的关系：
L R
R L
´
a
b
dy
´
c
d
dx
切应力的计算公式：
dA
R
dA
R dA T
A
R dA T
A
R 2 R T
T
2 R2
根据精确的理论分析,当t≤R/10时,上式的误差不超过4.52%, 是足够精确的。
二、切应力互等定理：
6.37
4.78
T 图(kN·m)
9.56
Tmax = 9.56 kN·m 在BC段内
§4-3 薄壁圆筒扭转
一、薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力
薄壁圆筒：壁厚
实验：
1 10
R（R：为平均半径） 实验前：
①绘纵向线，横向线(圆 周线)； ②施加一对外力偶 m。
实验后： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速
n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
MB
MC
MA
MD
解：计算外力偶矩
B
C
MA
9549
PA n
1592N m
A
D
MB
ห้องสมุดไป่ตู้
MC
9549
PB n
477.5N m
MD
9549 PD n
637N m
2．扭矩与扭矩图
A
1B
2C
3
D
M2
1
T1
x
T1 M 2 4.78kN m
A
1
M2
A
M3 B
2
T2
2
x
T3 M 4 6.37kN m
T2 M 2 M 3 9.56kN m
3
T3
3
M4 x
D
扭矩图
M2
M3
M1
M4
A
B
C
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m T3 6.37kN m
一）、几何关系： 1、实验：
2、变形规律：
圆轴线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。
4、定性分析横截面上的应力
（1） 0 0
l
为扭转角 R l
R 即
l
由薄壁圆筒的扭转试验可得
T
T——
2R
2
R
l
从 T 与 之间的线性关系，可推出 与 间 T
的线性关系.
G
O 该式称为材料的剪切胡克定律
应用条件：切应力不超过剪切比例极限
O
式中：G是材料的一个弹性常数，称为切变模量，因 无量
纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
x
用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正， 如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭
矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
扭矩图作法：同轴力图：
例 1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功 率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。
解： 一、计算作用在各轮上的外力偶矩
M2
M3
M1
M4
A
B
C
D
M1
(9.55 103
500)N 300
m
15.9kN
m
M2
M3
(9.55 103
150)N 100
m
4.78kN m
M4
(9.55 103
200)N m 300
6.37kN m
二、分别计算各段的扭矩
M2 1
M3 2 M1
3
M4
§4-1 概述
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方 向相反的外力偶。 2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。
轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
机器中的传动轴工作时受扭。
M 钻井中的钻杆工作时受扭。
m
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的， 所以本章主要介绍圆轴扭转。
（2） 0 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
τ τ2
τ1
A
O
5、切应变的变化规律：
a
b
b1
tg
bb1 bb1 Rd
dx dx dx
tg
G1G G1G
dx dx