实幂等矩阵的和矩阵性质

{ m | A m = A ,2 ≤ m ∈ N | } ≠<,
则称 A 为 k —实幂等矩阵.
下面将讨论 k —幂等矩阵的和矩阵为幂等矩阵的几个性质.
定理 1 设 A , B ∈R n ×n为非零对称矩阵的幂等矩阵 , 若 A + B 为幂等矩阵 , 则存在 n 阶正交矩阵
P ,使
A = Pdiag ( I r , 0 , 0) P′, B = Pdiag (0 , It , 0) P′,
其中 r = rank ( A ) , t = rank ( B ) ,式 (1) 右端为同阶分块矩阵. 证 由 ( A + B ) 4 = A + B , A 2 = A , B 2 = B ,得
3AB + 3BA + 3ABA + 3BAB + ABAB + BABA = 0 , 由此可得 A B A = 0 , B A B = 0 ,从而 A B + B A = 0 ,故由定理 1 知结论成立 ,证毕.
用 R n ×n表示 n 阶实矩阵全体的集合 , 用 diag ( A 1 , A 2 , …, A m ) 表示对角分块矩阵. 特别用 diag ( a1 , …, an) 表示 n 阶对角矩阵 ,用 rank ( A ) 表示 A ∈R n ×n的秩〔1〕.
定义 设 A ∈R n ×n ,记 k = min{ m | A m = A , 2 ≤m ∈N | } ,若
为对称半正定矩阵 ,由 A B = B A = 0 ,可知存在 n 阶正交矩阵 P ,使式 (1) 成立 ,证毕.
定理 2 设 A , B ∈R n ×n为非零对称幂等矩阵 ,若 A + B 为 3 —幂等矩阵 ,则存在 n 阶正交矩阵 P ,使
A = Pdiag ( I r ,0 ,0) P′, B = Pdiag (0 , It ,0) P′
第 16 卷 第 4 2001 年 11 月
期
Jour
nal
内蒙古民族大学学报 (自然科学版) of Inner Mongolia University for Nationalities
Vol. 16 Nov.
No 2001
.
4
实幂等矩阵的和矩阵性质Ξ
许嘉珍
(天津铁路一中 ,天津 300000)
XU J ia - zhen
(No. 1 Middle School of Tianjin Railway , Tianjin 300000 ,China)
Abstract : The conclusion for sum mat rix of two equal mat rix of real power is equal mat rix was given ,meanwhile obtained some properties in t his paper. Key words :Equal mat rix of real power ; Sum mat rix
例 取
11 221 2-源自1 2A=,B =
11 22
-
1 2
1 2
时 ,虽然有 A 2 = A , B 2 = B ,且 A B = B A = 0 ,故 A + B 也是幂等矩阵 ,实际上 ,当取
时 ,有
P= 1 1 1 2 1 -1
A = Pdiag (1 ,0) P′, B = diag (0 ,1) P′.
(1)
其中 , r = rank ( A ) , t = rank ( B ) ,式 (1) 右端为同阶对角分块阵.
证 因 ( A + B ) 2 = A + B ,从而由 A 2 = A , B 2 = B 及
( A + B) 2 = A2 + B2 + AB + BA
可得 A B + B A = 0 ,左乘 A 得 A B + A B A = 0 ,对此式右乘 A 得 A B A = 0 ,于是 A B = B A = 0 因 A 与 B 均
= A + B + 2AB + 2BA + ABA + BAB
Ξ 收稿日期 :2001 - 04 - 30 作者简介 :许嘉珍 (1951 - ) ,女 ,中教一级.
3 46 内 蒙 古 民 族 大 学 学 报 2001 年
得
对此左 、右乘 A ,可得
2AB + 2BA + ABA + BAB = 0 ,
5ABA + ABABA = 0 从而 A B A = 0 ,同理证得 B A B = 0 ,故 A B + B A = 0. 由定理 1 知结论成立 ,证毕.
定理 3 设 A , B ∈R n ×n为非零对称幂等矩阵 ,若 A + B 为 4 —幂等矩阵 ,则存在 n 阶正定矩阵 P ,使 A = Pdiag ( I r , 0 , 0) P′, B = Pdiag (0 , It , 0) P′
摘 要 :给出了两个实幂等矩阵的和矩阵为幂等矩阵的结论 ,得到了几个性质. 关键词 :实幂等矩阵 ;和矩阵 中图分类号 :O151121 文献标识码 :A 文章编号 :1671 —0185 (2001) 04 - 0345 - 02
Properties of Sum Matrix f or Equal Matrix of Real Po wer
参 考 文 献
〔1〕 陈公宁 1 矩阵理论与应用〔M〕1 北京 :高等教育出版社 ,1990126 - 461 〔2〕 许以超 1 代数学引论〔M〕1 上海 :上海科学技术出版社 ,19961
〔责任编辑 郑 瑛〕
(2)
其中 r = rank ( A ) , t = rank ( B ) ,且式 (2) 右端为同阶分块阵.
证 因 ( A + B ) 3 = A + B , A 2 = A , B 2 = B ,从而由
( A + B) 3 = A3 + B2 A + ABA + BA2 + A2B + B3 + AB2 + BAB