金融数学第3章

金融数学2(Financial Mathematics)
在1年末冲销该头寸，股票-期权组合的净值 为90美元 故，我们得到无风险利润 90-89.775=0.225(美元)
2、期权价格低估 例2(2)假设交易商以7.00美元的价格出售
(或购买)期权;
陈晓坤 （2012秋）
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二、期权定价 假设我们作出a=-2，b=1的投资选择
（即卖出2股期权同时买入1股股票）
则Π0=-2V+1×100
Π1=(120-105)×(-2)+1×120 =0×(-2)+1×90=90
又假设我们已经拿资金Π0 以收益率（或回
报率）5%进行投资，则该项投资的价值应该 和股票期权交易的价值Π1相等
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注 U − D 表示衍生产品价格的变化与 1) a = S u − S d 股价变化之比，该比率称为 德尔塔量。 2) q:无套利定价概率(no-arbitrage pricing probability)或称风险中性概率(risk-neutral probability)
（即卖出2股期权同时买入1股股票） Π0=-2V+1×100 Π1=(120-105)×(-2)+1×120 = 90 1.05Π0=1.05×(100-2V)=Π1=90
V=7.14
陈晓坤 （2012秋）
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四、一般衍生产品定价公式
假设股票在时间τ只有两个价值。如果股 票处于上涨的状态Su，那么衍生产品价格为 U ；如果股票处于下降状态 Sd ，那么衍生产 品价格为 D.零时刻股票的价格记为S0，衍生 产品价格定为V0 。
陈晓坤 （2012秋）
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1.05Π0=1.05×(100-2V)=Π1=90
于是
V=7.14
故
7.14美元就是前例看涨期权的公平价格
如果期权价格被高估或低估会出现什么情形
陈晓坤 （2012秋）
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陈晓坤 （2012秋）
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从而
（120-105）a+120b=a×0+90b
得到
15a=-30b， a=-2b
策略：如果卖出两股期权应该同时买入一
股股票，这样做结果就是确定的，可以忽略 现实股票的涨跌。
陈晓坤 （2012秋）
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Su S0 Sd V0
D
U
股价二叉树
衍生产品价格
陈晓坤 （2012秋）
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假设V=衍生产品价格，S=股票价格 构造如下资产组合：买入1股衍生产品同时 卖出a股股票。 资产组合的初始价值：Π0=V0-aS0 资产组合在时间τ时的价值： 上升时，Πu=U-aSu 下降时，Πd=D-aSd
2、期货合约
期货合约是一种在特定的交易场所约定未来某一 特定时期交收特定规格等级现货商品（包括金融 商品）的标准化合约。 设r为无风险利率，q为股票红利收益率， 则股指期货的价格公式为
Ft = S t e
( r − q )( T − t )
股票在t时刻价格 股票期货合约在t时刻价格
陈晓坤 （2012秋）
方法一 方法二 方法三
博弈论方法 资产组合复制方法 期望价值方法
陈晓坤 （2012秋）
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方法一
博弈论方法
(Game Theory Method )
主要内容：一、基本思想 二、期权定价 三、套利 四、一般衍生产品定价公式
陈晓坤 （2012秋）
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目的和要求:
1.掌握博弈方法的基本思想 2.会推导期权的价格并进行套利 3.掌握一般衍生产品定价公式
重难点: 定价公式的推导
陈晓坤 （2012秋）
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一、基本思想 假设V=期权价格，S=股票价格 构造如下资产组合：买入a股期权和b股股
票；a和b可以为负数，例如b为负，则表示 卖空股票。 Π0=在时间t为0时资产组合的价值， 则 Π0=aV+bS （a或b未知）
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又
U−D U−D − rτ V0 = S 0 + (U − S u )e Su − Sd Su − Sd
e S0 − Sd q= Su − Sd
rτ
整理得，衍生产品的定价公式2： 其中
V0 = e
− rτ
[qU + (1 − q ) D]
注 期权的现价是其未来预期值(平均值)按 无风险利率贴现的值。
上升状态 下降状态
Π τ = aS u + be Π τ = aS d + be
rτ rτ
陈晓坤 （2012秋）
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令
⎧ aS u + be = U ⎨ rτ ⎩aS d + be = D
rτ
U
V
D
则资产组合Π的价值与衍生证券的价值是一 致的（即资产组合复制了衍生证券）。因为 Π与衍生证券在t=τ时有相同的价值，它们 今天也应该有相同的价值，从而有 V0 = aS 0 + b
陈晓坤 （2012秋）
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例3 一股股票价值110美元。一年以后，股票
价格将变为130美元或者100美元。假设相 应的衍生产品的价值将为U=10美元或D=0美 元，即期的一年期无风险利率为4%，求t=0 rτ (e = 1.04) 时的衍生产品的价格。
一、资产组合匹配
引入一个无风险资产（如债券），其无风险 资产的利率由r表示。假设债券的初值为1美 元，则在时间t=τ债券的价值将是erτ。
陈晓坤 （2012秋）
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资产组合Π包括a单位股票和b单位债券
Π在t = 0时的价值 Π 0 Π 0 = aS 0 + b Π在t = τ时的价值 Π τ
如果衍生产品的价格高于其正确价格 (假 设无风险回报率为r)，讨论它的无风险套 利机会。
陈晓坤 （2012秋）
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作 业
第27页
第2、3
第2题一股股票价值110美元。一年以后，股票
价格将变为130美元或者100美元。假设衍生产品 是执行价为100美元的看涨期权，即期的一年期 无风险利率为4%，求t=0时看涨期权的价格。
陈晓坤 （2012秋）
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由上述两式解得 U−D a= Su − Sd 又因为 V0 = aS 0 + b U−D − rτ b = (U − S u )e Su − Sd
V0 = aS 0 + (U − aS u )e
− rτ
同定价 公式1
陈晓坤 （2012秋）
S t ≥ call ≥ S t − Xe
− r (T − t )
看涨期权的价格估计下限
陈晓坤 （2012秋）
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例1 （看涨期权）我们有一股票，现价为
100美元。在一年后，股价可能是90美元或 120美元，概率并未给定，即期利率是5% （即1美元今天投资，一年后值1.05美元）。 一年之后到期执行价为105美元的股票期权 的公平价格是多少？
解：若我们买入2股期权，卖出1股股票
净现金头寸是 100-7×2=86(美元) 设年利率是1.05，将86美元进行无风险投资 86×1.05=90.30(美元) 在1年末冲销该头寸，期权-股票组合的净值 为-90美元 故，我们得到无风险利润 90.30-90=0.30(美元)
陈晓坤 （2012秋）
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第3题一股股票价值100美元。一年以后，股票
价格将变为130美元或者90美元。假设相应的衍 生产品的价值将为U=0美元或D=5美元。即期的一 年期无风险利率为5%，求t=0时的执行价为95美 元的看跌期权的价格。
陈晓坤 （2012秋）
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方法二
资产组合复制
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内容回顾
1、远期合约
远期合约是买卖双方签订在确定的将来时间 按确定价格购买或出售某项资产的协议。
f = S t − Xe
今天远期合 约的价值 现金量
− r (T − t )
今天股票 的价格
陈晓坤 （2012秋）
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内容小结
博弈论方法 构造资产组合：买入a股期权和b股股票 Π0=aV+bS
100 90 120
博弈论思想：选择a和b，使Π1并不取决于股票
的涨跌结果(即上升与下降状态时的Π1是相等的)
a=-2b
陈晓坤 （2012秋）
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期权定价 假设我们作出a=-2，b=1的投资选择
陈晓坤 （2012秋）
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为在时间t=1的资产组合定价：
上升状态，S=120美元
Π1=（120-105）a+120b
下降状态，S=90美元
Π1=a×0+90b
博弈论思想：选择a和b，将使Π1并不取决
于股票的涨跌结果（即上升与下降状态时的 Π1是相等的）
陈晓坤 （2012秋）
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基本思想：选择a的值使资产组合的价值与 股票的最终状态无关。 即 选择 U-aSu= D-aSd
U−D ΔV a= = S u − S d ΔS
引入a 资产组合的初始成本Π0=V0-aS0 资产组合的最终成本Πτ=U-aSu
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3、期权
期权(option)是指在未来一定时期可以买卖的权 力，是买方向卖方支付一定数量的金额（指期权费） 后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来 某一特定日期（指欧式期权）以事先规定好的价格 （指履约价格）向卖方购买或出售一定数量的特定 标的物的权力，但不负有必须买进或卖出的权力。
陈晓坤 （2012秋）
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例4 一股股票价值50美元。一年以后，股票
价格将变为55美元或者40美元。设一年期 无风险利率为4%，求1)执行价为48美元的 看涨期权价格；2)执行价为45美元的看跌 期权价格。 (e rτ = 1.04)
陈晓坤 （2012秋）
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第三章 衍生产品定价的三种方法
First place your army so that you cannot lose.
−
Sun Tzu , The Art of War
陈晓坤 （2012秋）
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陈晓坤 （2012秋）
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假设无风险回报率为r，则
(V0 − aS 0 )e = U − aSu
衍生产品的定价公式1：
rτwk.baidu.com
V0 = aS 0 + (U − aSu )e
U−D 其中 a = Su − Sd
− rτ
注 该公式给出了衍生产品的正确价格，如 果不一致将会获得无风险套利机会。
三、套利(arbitrage) 1、期权价格高估 例2(1)假设交易商以7.25美元的价格出售
(或购买)期权; 解：若我们买入1股股票，卖出2股期权 该头寸的成本是 100-7.25×2=85.50(美元) 设年利率是1.05，则1年后欠债 85.50×1.05=89.775(美元)
陈晓坤 （2012秋）
(replicating portfolios)
假 设 股 票 在 时 间 t=0 的 价 格 为 S0, 在 时 间 t=τ有两个可能的价格：
Su S0 Sd
U
V
D
陈晓坤 （2012秋）
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市场上存在股票的衍生证券V，其价值在 时间t=τ取决于S的表现。如果S上涨，V 价值为U；如果S下跌，V价值为D。问： 今天V的公平价格是多少？