反比例函数K的几何意义专题

反比例函数K 的几何意义专题

一、授课目的：让学生理解反比例函数的概念及几种等价形式；能够快速绘出给定反比例函数的图像；掌握反比例函数的性质（对称性，变化趋势等），并应用解决数学问题（如比较函数值大小，求对称点坐标等）。

重点掌握反比例函数)0(k

≠=k x

y 中的比例系数k 的几何意义。

二、考点分析：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现，

常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察。所以，应该引起广大学生的重视。反比例函数中k 的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计算大题中进行考察。这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数学图形思维。本次专题目的在于让学生掌握反比例函数k 几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数k 几何意义的常见考察方式和解题思路。

三、授课内容：

1.反比例函数的概念

如图所示，过双曲线

)0(k

≠=

k x y 上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线

PM 、PN,垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S=PM •PN=|y|•|x|.

,y x

k

=

∴||k S k xy ==，。 这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。（请学生思考，图中三角形OEF 的面积和系数k 的关系。）

2.反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数y=k

x

的图象时,应注意自变量x 的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点.

例题1 (2003·三明)函数y=1

x

-(x>0)的图象大致是( )

例题2 (2003·宜昌)函数y=kx+1与函数y=k

x

在同一坐标系中的大致图象是( )

y O

x

A y

O x

B y O x

C

y

O

x

D

y O x

A

y O

x

B

y

O x

C

y O x

D

3.反比例函数y=k

x 中k 的意义

注意:反比例函数y=

k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=k

x

(k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │.

例题1：如图，P 、C 是函数x

4

y =

（x>0）图像上的任意两点，过点P 作x 轴的垂线PA,垂足为A ，过点C 作x 轴的垂线CD,垂足为D ，连接OC 交PA 于点E ，设⊿POA 的面积为S1,则S1= ,梯形CEAD 的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1 S2, ⊿POE 的面积S3和梯形CEAD 的面积为S2的大小关系是S2 S3. 例题1图 例题2图 例题3图

例题2：如图所示，直线l 与双曲线)0(k

y >=

k x

交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S1，⊿BOD 的面积S2，⊿POE 的面积S3的大小： 。

例题3：如图所示，点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线)0x (k

>=

x

y 上,且x2-x1=4,y1-y2=2;分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 。

4.常考题型精选 1．如果x x >，且0

p

y =

在同一直角坐标系中的图象示意图正确的是（ ）

y

x O P 1 P 2 P 3

P 4 P 5

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5

2y x

=

（A ） （B ） （C ） （D ）

第3题 2.直线m x 65y +

=与双曲线x

k

y =相交于第一象限的点A ，与x 轴交于点C ，A B ⊥x 轴于点B ，若AOB S ∆=3,则AOC S ∆= .

3.如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点

12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()2

0y x x

=

≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ．． 4.如图，已知点A 、B 在双曲线)0x (k

>=

x

y 上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴与点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若⊿ABP 的面积为3，则k= .

5.如图已知双曲线)0(<=

k x

k

y 经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ，若点A 的坐标为（-6，4）,则⊿AOC 的面积为 。 6.如图，A 、B 为双曲线x

12

-y =上的点，AD ⊥x 轴于D,BC ⊥y 轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为 。

7.如图，已知双曲线)0x (k

>=

x

y 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，

（1）若四边形OEBF 的面积为4， 则k= ；（2）若梯形OEBA 的面积为9，则k= 。

第4题

第5题

第6题