1.2 极坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)

2 离公式 d＝ ρ2＋ρ2－2ρ1ρ2cos θ1－θ2求得；也可以把 A、B 两点 1
由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式 d＝ x1－x22＋y1－y22求得；极坐标与直角坐标的互化体现了化归 的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．
[通一类] π 3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是 A(2，4)，B(2， 5 4π)，则求第三个顶点 C 的坐标．
两点之间的距离．
[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系
中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的 距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点 间的距离公式求解．
π 2π 法一：由 A(3，－3)、B(1， 3 )在过极点 O 的一条直线上， 这时 A、B 两点的距离为|AB|＝3＋1＝4，所以，A、B 两点间的 距离为 4. π 2π 法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－3，θ2＝ 3 ， 由两点间的距离公式得
[读教材·填要点] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立 在平面内取一个定点O，叫做 极点 ，自极点O引一条射线 Ox，叫做 极轴 ；再选定一个 长度单位 ，一个角度单位(通
常取弧度)及其 正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一
个极坐标系．
(2)点的极坐标
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径 ，记为 ρ ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M的 极角 ，记为 θ .有序数对(ρ，θ) 记作 ． M(ρ，θ) 叫做点M的极坐标，
2 |AB|＝ ρ2＋ρ2－2ρ1ρ2cos θ1－θ2 1
＝
π 2 3 ＋1 －2×3×1×cos －3－3π
2 2
＝ 10－6cos π＝ 10＋6＝ 16＝4.
π 2π 法三：将 A(3，－3)，B(1， 3 )由极坐标化为直角坐标， π π 3 对于 A(3，－3)有 x＝3cos (－3)＝2， π 3 3 y＝3sin(－3)＝－ 2 ， 3 3 3 ∴A(2，－ 2 )．
因此，点 M 的直角坐标是(－4,4 3)． (2)ρ＝ 62＋－ 22＝2 2， － 2 3 tan θ＝ ＝－ 3 ， 6 11 又因为点在第四象限，得 θ＝ 6 π. 11π 因此，点 P 的极坐标为(2 2， 6 ).
[研一题] [例 3] π 2 在极坐标系中，已知 A(3，－3)，B(1，3π)，求 A、B
6＋ 2 2 3 21 ＝ 2 ·2 ＋ 2 ·＝ 4 ， 2 6－ 2 ∴x＝ρcos θ＝4× 4 ＝ 6－ 2， y＝ρsin θ＝ 6＋ 2. ∴点 B 的直角坐标为( 6－ 2， 6＋ 2)．
[答案]
( 6－ 2， 6＋ 2)
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2π 2π 1 对于 B(1， 3 )有 x＝1×cos 3 ＝－2， 2π 3 y＝1×sin 3 ＝ 2 ， 1 3 ∴B(－2， 2 )． ∴|AB|＝ 3 12 3 3 32 2＋2 ＋－ 2 － 2 ＝ 4＋12＝4.
∴AB 两点间的距离为 4.
[悟一法] 对于这类问题的解决方法， 可以直接用极坐标内两点间的距
(1)设 P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO′|＝ 2 3， π |OP|＝4，∠POx＝3， π ∠O′Ox＝6， π ∴∠POO′＝6. π 在△POO′中，ρ ＝4 ＋(2 3) －2· 2 3· 6＝16＋12－24 4· cos
2 2 2
＝4，∴ρ＝2. 即|O′P|＝2. π ∴|OP| ＝|OO′| ＋|O′P| ，∠OO′P＝2.
提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的
点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的 点之间就是一一对应的关系．
3．若点M的极坐标为(ρ，θ)，则M点关于极点、极轴、过极
点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？
提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点 的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点 的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线 的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ ≥ 0，θ可 取 任意实数 ．
2．极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位． (2)互化公式
x＝ y＝ ρsin
ρcos θ θ
， ；
x2＋y2 ， ρ ＝ y x≠0 tan θ＝ x
解：由题设知，A、B 两点关于极点 O 对称，又|AB|＝4，由正 π 三角形的性质知，|CO|＝2 3，∠AOC＝2，从而 C 的极坐标为 3 π (2 3，4π)或(2 3，－4)．
极坐标与直角坐标的互化在高考模拟中经常出现.2012 年惠 州模拟将极坐标与直角坐标的互化同极坐标系中两点间的距离和 简单的三角恒等变换相结合考查， 是高考模拟命题的一个新亮点． [考题印证] π (2012· 惠州模拟)已知极坐标系中，极点为 O，将点 A(4， 6 ) π 绕极点逆时针旋转 4得到点 B，且|OA|＝|OB|，则点 B 的直角坐标 为________．
的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，
允许ρ＜0.
[通一类] 1．边长为 a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边， 求正六边形各顶点坐标．
解： 由点的极坐标的定义可知， 正六边形各顶点的极坐标分别 π π π 2 为：(0,0)、(a,0)、( 3a，6)、(2a，3)、( 3a，2)、(a，3π)或(0,0)、 π π π 2 (a,0)、( 3a、－6)、(2a，－3)、( 3a，－2)、(a，－3π).
[悟一法] 建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4) 角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点 的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是
极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方
向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M
2
.
[小问题· 大思维]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？
提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的 点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多 个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为 (ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)． 2．若ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面内的点 之间是否是一一对应的？
[研一题] [例 1] π 已知定点 P(4，3)．
π (1)将极点移至 O′(2 3，6)处极轴方向不变，求 P 点的新坐 标； π (2)极点不变，将极轴顺时针转动 6角，求 P 点的新坐标．
[精讲详析] 的极坐标．
本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解
答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系， 然后求相应的点
[悟一法] (1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式是：x＝ρcos θ， y＝ρsin θ； (2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x2＋y2， y tan θ＝x(x≠0)，在利用此公式时要注意 ρ 和 θ 的取值范围．
[通一类] 2π 2．(1)把点 M 的极坐标(8， 3 )化成直角坐标； (2)把点 P 的直角坐标( 6， 2)化成极坐标． － (ρ＞0,0≤θ＜2π) 2π 2π 解：(1)x＝8cos 3 ＝－4，y＝8sin 3 ＝4 3，
[命题立意]
本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标
来自百度文库
与极坐标的转化．
[解析]
5π 依题意，点 B 的极坐标为(4，12)，
5π π π π π π π ∵cos 12＝cos (4＋6)＝cos 4cos 6－sin 4sin 6 6－ 2 2 3 21 ＝ 2 ·2 － 2 ·＝ 4 ， 2 5π π π π π π π sin 12＝sin (4＋6)＝sin 4cos 6＋cos 4sin 6
2 2 2
π ∴∠OPO′＝3. π π π ∴∠OP′P＝π－3－3＝3. 2π 2π ∴∠PP′x＝ 3 .∴∠PO′x′＝ 3 . 2π ∴P 点的新坐标为(2， 3 )． (2)如图，设 P 点新坐标为(ρ，θ)， π π π 则 ρ＝4，θ＝3＋6＝2. π ∴P 点的新坐标为(4，2)．
[研一题] [例 2] 系． 5π (1)已知点 A 的极坐标(4， 3 )，求它的直角坐标； (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它 们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标
[精讲详析]
本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题
只需将已知条件代入相关公式即可．
5π (1)∵x＝ρcos θ＝4· cos 3 ＝2. 5π y＝ρsin θ＝4sin 3 ＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)． (2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2 －2 tan θ＝ 2 ＝－1.且点 B 位于第四象限内， 7π 7π ∴θ＝ 4 .∴点 B 的极坐标为(2 2， 4 )． 又∵x＝0，y＜0，ρ＝15， 3π ∴点 C 的极坐标为(15， 2 )．