小波变换在图像处理中的应用

信 息 ， 不 经 过 其 他 处 理 即 可 获 得 较 好 的 压 缩 效 果 。在 上 面 的 例
子 中 ， 我 们 还 可 以 只 提 取 小 波 分 解 更 高 层 的 低 频 信 息 。从 理 论
上 说 ， 可 以 获 得 任 意 压 缩 比 的 压 缩 图 像 ［１］。
利用二维小波变换进行图像压缩时， 小波变换将图像从
分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷， 具有多
分辨率分析的特点， 使其在图像处理中得到了广泛应用。
２ 小波的定义
小波变换是一种信号的时间 － 尺度分析方法， 能够提供
具有良好局部化性质的正交基， 把中的函数与中的数列等同
起 来 ， 从 而 把 分 析 问 题 转 化 为 代 数 问 题 来 解 决 。小 波 分 析 之 所
（
２）
渐进完全性：
Ｉ Ｖｊ＝Φ ，
ｊ∈Ｚ
ｃｌｏｓｅ
!Ｕ Ｖｊ ｊ∈Ｚ
"＝Ｌ２（Ｒ ）
（ ３） 伸 缩 规 则 性 ： ｆ（ｔ）∈ Ｖｊ$ｆ（２ｔ）∈Ｖｊ＋１
（ ４） 正 交 基 存 在 性 ： 存 在 φ （ｔ）∈Ｖ０， 使 得 ! φｊ（２－ｊ／２ｔ－ ｋ）｜ｋ∈ Ｚ "
Baidu Nhomakorabea构成
Ｖｊ
的
Ｒｉｓｅｚ
基，
则
图 ３．５ 图像去噪 ３．３ 小波分析用于图像增强 图像增强问题主要通过时域和频域处理两种方法来解 决 。时 域 方 法 通 过 直 接 在 图 像 点 上 作 用 算 子 或 掩 码 来 解 决 ， 频 域方法通过修改傅立叶变换系数来解决。这两种方法的优劣 很明显， 时域方法方便快速但会丢失很多点之间的相关信息， 频域方法可以很详细地分离出点之间的相关， 但需要做两次 数 量 级 为 ｎｌｏｇｎ 的 傅 立 叶 变 换 和 逆 变 换 的 操 作 ， 计 算 量 大 得 多 。小 波 分 析 的 多 尺 度 分 析 特 性 为 用 户 提 供 了 更 灵 活 的 处 理 方 法。可以选择任意的分解层数， 用尽可能少的计算量得到我们 满 意 的 结 果 。 小 波 变 换 将 一 幅 图 像 分 解 为 大 小 、位 置 和 方 向 都 不 同 的 分 量 。在 做 逆 变 换 之 前 可 以 改 变 小 波 变 换 域 中 某 些 系 数 的大小， 这样就能够有选择地放大所感兴趣的分量而减小不需 要的分量。图像的轮廓主要体现在低频部分， 细节部分体现在 高频部分， 因此可以通过对低频分解系数进行增强处理， 对高 频分解系数进行衰减处理， 从而达到图像增强的效果。 ３．３．１ 图像钝化 图像钝化在时域中的处理相对简单， 只需要对图像作用一 个平滑滤波器， 使得图像中的每个点与其相邻点做平滑即可。 通过两种方法对图像钝化的结果做一下比较， 如图 ３．６ 所示： 采 用 ＤＣＴ 在 频 域 做 滤 波 的 方 法 得 到 钝 化 结 果 更 为 平 滑 ， 这是因为其分辨率最高， 而小波方法得到的结果在很多地方
信 息 ， 此 时 压 缩 效 果 较 好 ， 压 缩 比 为 ２７．８％ ； 第 二 次 压 缩 是 提
取 第 一 层 分 解 低 频 部 分 的 低 频 部 分 ， 其 压 缩 比 为 ８．６％ 。第 二 、
三和四层的压缩比基本不变， 但是第二次压缩的视觉效果相
对 较 好 。这 是 一 种 最 简 单 的 压 缩 方 法 ， 只 保 留 原 始 图 像 中 低 频
! Ｖｊ
"
ｊ∈Ｚ
被称为多分辨率分析。
小波变换在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，
时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整， 在一
般 情 况 下 ， 在 低 频 部 分（信 号 较 平 稳）可 以 采 用 较 低 的 时 间 分 辨
率 ， 而 提 高 频 率 的 分 辨 率 ， 在 高 频 情 况 下（频 率 变 化 不 大）可 以
空间域变换到时间域， 它的作用与以前在图像压缩中所用到 的 离 散 余 弦 （ＤＣＴ）、傅 立 叶 变 换 （ＦＦＴ）等 的 作 用 类 似 。 但 是 要 很 好的进行图像的压缩， 需要综合的利用多种其他技术， 特别是 数据的编码与解码算法等， 所以利用小波分析进行图像压缩 通常需要利用小波分析和许多其他相关技术共同完成。
３．１ 小波变换在图像压缩中的应用
二维小波分析用于图像压缩是小波分析应用的一个重要
方面。它的特点是压缩比高， 压缩速度快， 压缩后能保持图像
的 特 征 基 本 不 变 ， 且 在 传 递 过 程 中 可 以 抗 干 扰 。小 波 分 析 用 于
图像压缩具有明显的优点。基于小波分析的图像压缩方法很
多 ， 比 较 成 功 的 有 小 波 包 、小 波 变 换 零 树 压 缩 、小 波 变 换 矢 量
以在信号处理中有着强大的功能， 是基于其分离信息的思想，
分离到各个小波域的信息除了与其他小波域的关联， 使得处
理的时候更为灵活。其定义如下：
设
! Ｖｊ
" 是空间 ｊ∈Ｚ
Ｌ２（Ｒ）中 的 一 个 闭 子 空 间 ，
如果
! Ｖｊ
"
ｊ∈Ｚ
满
足如下四个条件：
（ １） 一 致 单 调 性 ： Ｖｊ# Ｖｊ＋１， 对 任 意 ｊ∈Ｚ
下 面 的 例 子 展 示 了 使 用 小 波 变 换 和 ＤＣＴ 两 种 方 法 进 行 锐 化的效果， 如图 ３．７ 所示。
图 ３．７ 采用 ＤＣＴ 方法和小波方法分别对图像进行锐化处理 使 用 ＤＣＴ 方 法 进 行 高 通 滤 波 得 到 的 高 频 结 果 比 较 纯 粹 ， 完全是原图像上的边缘信息， 而在小波方法得到的结果中， 不 只有高频成分， 还有变换非常缓慢的低频成分， 这是因为两者 同样在小波系数上体现为绝对值较低的部分， 但这些成分的 存在对我们进行进一步分析并无多大影响。 对 ＤＣＴ 方 法 ， 需 要 做 两 次 复 杂 度 为 Ｏ（ｎｌｏｇｎ）的 ＤＣＴ 变 换 ， 中 间 系 数 处 理 部 分 复 杂 度 为 Ｏ（ｎ）， 而 对 小 波 变 换 ， 无 论 是 分 解 和 重 构 还 有 系 数 处 理 的 复 杂 度 都 是 Ｏ（ｎ）， 所 以 时 间 复 杂 度 的 优势非常明显。 ３．４ 小波分析用于图像融合 图像融合是将同一对象的两个或更多的图像合成在一幅 图像中， 以便它比原来的任何一幅图像更容易为人们所理解。 这一技术可应用于多频谱图像理解以及医学图像处理等领 域 。在 这 些 场 合 ， 同 一 物 体 部 件 的 图 像 往 往 是 采 用 不 同 的 成 像 机理得到的。 ４ 总结 小波变换是一种最近快速发展的信号分析方法， 能够同时 提供信号在时域和频域中的信息， 解决了传统傅里叶变换中的 一 些 缺 点 。并 且 由 于 其 运 算 时 间 也 比 傅 里 叶 变 换 少 ，因 此 在 现 代 工 程 中 得 到 了 广 泛 的 应 用 ，成 为 工 程 师 最 有 用 的 工 具 之 一 ［４］［５］。本 论文主要结合小波变换的基本概念和基本原理， 详细讨论小 波 在 图 像 处 理 领 域 的 应 用 ， 并 结 合 ＭＡＴＬＡＢ 程 序 设 计 语 言 提 供了几个实例说明小波变换的优势和用途。
量化压缩等。
一幅图像经过小波分解后， 可得到一系列不同分辨率的
子 图 像 ， 不 同 分 辨 率 的 子 图 像 对 应 的 频 率 是 不 相 同 的 。高 分 辨
率子图像上大部分点的数值都接近于 ０， 所以可以用低频部分
表现一幅图像的主要信息。
图像对比如图 ３．１ 所示。
第一次压缩提取的是原始图像中小波分解第 １ 层的低频
用 较 低 的 频 率 分 辨 率 来 换 取 精 确 的 时 间 定 位 。因 为 这 些 特 定 ，
小波分析可以探测正常信号中的瞬态， 并展示其频率成分， 被
称为数学显微镜， 广泛应用于各个时频分析领域。
３ 小波变换在图像处理中的应用
小波分析在图像处理中有非常重要的应用， 包括图像压
缩， 图像去噪， 图像融合， 图像分解， 图像增强等。
图 ３．６ 采用 ＤＣＴ 方法和小波方法分别对图像进行钝化处理的结果 ３．３．２ 图像锐化 图像锐化的任务是突出高频信息， 抑制低频信息， 从快速
变化的成分中分离出标识系统特性或区分子系统边界的成 分 ， 以 便 于 进 一 步 的 识 别 、分 割 等 操 作 。
在空域中， 锐化的方法不外乎是作用掩码或做差分， 都很 难识别点之间的关联信息， 下面的例子同样是在频域完成的， 用传统的傅立叶分析方法得到的频域系数。
科技信息
高校理科研究
小波变换在图像处理中的应用
安徽财经大学信息工程学院 门秀萍
［ 摘 要］ 小 波 变 换 是 一 种 快 速 发 展 和 比 较 流 行 的 信 号 分 析 方 法 ， 其 在 图 像 处 理 中 有 非 常 重 要 的 应 用 ， 包 括 图 像 压 缩， 图像去噪， 图像融合， 图像分解， 图像增强等。小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。除了连续小波 （ＣＷＴ ）、离 散 小 波 （ＤＷＴ ）， 还 有 小 波 包 （Ｗａｖｅｌｅｔ Ｐａｃｋｅｔ）和 多 维 小 波 。 本 文 主 要 介 绍 小 波 变 换 的 发 展 及 其 在 图 像 处 理 中的应用。 ［ 关 键 词］ 小 波 变 换 傅 里 叶 变 换 图 像 处 理
图 ３．１ 利用二维小波分析进行图像压缩 在图像的压缩过程中通常采用小波阈值法， 小波变换可以 将信号的能量集中到少数的小波系数上， 即信号的小波变换系 数 集 中 在 频 率 空 间 上 的 有 限 部 分 。小 波 阈 值 法 利 用 信 号 和 噪 声 小波系数幅值上的差异， 通过选择一个合适的阈值， 对小波系 数 进 行 处 理 ， 以 达 到 去 除 噪 声 又 保 留 有 用 信 号 的 目 的 ［２］。 有 两 种 具 体 方 法 ： 全 局 阈 值 化 方 法 和 分 层 阈 值 化 方 法 。全 局 阈 值 化 方法作用的信息密度太大， 不够精细， 所以很难同时获得高的 压缩比和能量保留成分， 而分层阈值化压缩方法同全局阈值 化方法相比， 在能量损失不是很大的情况下可以获得最高的 压缩比， 这主要是因为层数和方向相关的阈值化方法能利用 更精细的细节信息进行阈值化处理。下面这个例子分别采用 两 种 方 法 进 行 图 像 压 缩 ［３］， 如 图 ３．２ 所 示 。
图 ３．２ 图像的全局阈值化压缩和分层阈值化压缩
图 ３．３ 基于小波包分析的图像压缩 小波变换是基于分离信息的思想， 但是小波分解仍然不 够灵活， 分解出来的小波树只有一种模式， 不能完全地体现时
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频局部化信息。而压缩的核心思想既是尽可能去除各小波域 系数之间的信息关联， 最大限度体现时频局部化的信息， 因 此， 实际的压缩算法多采用小波包算法， 而小波树的确定则是 根据不同的信息论准则， 以达到分解系数表达的信息密度最 高。如图 ３．３ 和图 ３．４ 所示。
有不连续的现象， 因为我们对系数做放大或抑制在阈值两侧 有间断， 而且分解层数很低， 没有完全分离出频域的信息。而 且我们在做系数放大或抑制的时候， 采用的标准是根据系数 绝对值的大小， 没有完全体现出其位置信息， 但是在小波系数 中， 我们很容易在处理系数的过程中加入位置信息。
图 ３．４ 压缩过程使用的最优小波树 ３．２ 小波分析用于图像去噪 噪 声 对 图 像 处 理 十 分 重 要 ， 它 影 响 图 像 处 理 的 输 入 、采 集 、处 理 的 各 个 环 节 以 及 输 出 结 果 的 全 过 程 。因 此 一 个 良 好 的 图像处理系统都把减少最前一级的噪声作为主要目标。除噪 是图像处理中极其重要的步骤。 二维模型可以表述为 ｓ（ｉ，ｊ）＝ｆ（ ｉ，ｊ）＋δ·ｅ（ｉ，ｊ） ｉ，ｊ＝０，１， … ， ｍ－ １ 其中， ｅ 是标准偏差不变的高斯白噪声。二维信号用二维 小波分析的去噪步骤有 ３ 步： （１）二 维 信 号 的 小 波 分 解 。 选 择 一 个 小 波 和 小 波 分 解 的 层 次 Ｎ， 然 后计 算 信号 ｓ 到第 Ｎ 层 的分 解。 （２）对 高 频 系 数 进 行 阈 值 量 化 。对 于 从 １ 到 Ｎ 的 每 一 层 ， 选 择一个阈值， 并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理。 （３）二 维 小 波 的 重 构 。 根 据 小 波 分 解 的 第 Ｎ 层 的 低 频 系 数 和经过修改的从第一层到第 Ｎ 层的各层高频系数计算二维信 号的小波重构。 在这 ３ 个步骤中， 重点是如何选取阈值和阈值的量化。在 阈值选择上， 可以使用统一的全局阈值， 有可以分作三个方向， 分 别 是 水 平 方 向 、竖 直 方 向 和 对 角 方 向 ， 这 样 就 可 以 把 在 所 有 方向的噪声分离出来， 通过作用阈值抑制其成分。下面是对一 幅二维图像进行去噪的例子， 噪声信号通过随机函数产生。
１ 引言
在传统的傅立叶分析中， 信号完全是在频域展开的， 不包
含任何时频的信息， 这对于某些应用来说是很恰当的， 因为信
号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可
能对某些应用同样非常重要， 所以人们对傅立叶分析进行了
推广， 提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法， 如
短 时 傅 立 叶 变 换 ， Ｇａｂｏｒ 变 换 ， 时 频 分 析 ， 小 波 变 换 等 。 而 小 波