简谐运动及其图像

专题一：简谐运动及其图象

知识点一：弹簧振子

1.弹簧振子

如图，把连在一起的弹簧和小球穿在水平杆上，弹簧左端固定在支架上，小球可以在杆上滑动。小球滑动时的摩擦力可以忽略，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略。这样就成了一个弹簧振子。

注意：

①小球原来静止的位置就是平衡位置。小球在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动。

②小球的运动是平动，可以看作质点。

③弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。

2.弹簧振子的位移——时间图象

（1）振动物体的位移是指由平衡位置指向振子所在处的有向线段，可以说某时刻的位移。说明：振动物体的位移与运动学中位移的含义不同，振子的位移总是相对于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，末位置是振子所在的位置。因而振子对平衡位置的位移方向始终背离平衡位置。

（

（3）弹簧振子的位移－时间图象是一条正（余）弦曲线。

知识点二：简谐运动

1.简谐运动

如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线，这样的振动，叫做简谐运动。

简谐运动是机械振动中最简单、最基本的振动。弹簧振子的运动就是简谐运动。

2.描述简谐运动的物理量

（1）振幅（A）

振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，是表征振动强弱的物理量。

（2）周期（T）和频率（f）周期和频率的关系是：

（3）相位（φ）

相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。

3. 固有周期、固有频率

简谐运动的周期只由系统本身的特性决定，与振幅无关，因此T叫系统的固有周期，f叫固有频率。

弹簧振子的周期公式：，其中m是振动物体的质量，k为弹簧的劲度系数。

4.简谐运动的表达式

y=Asin（ωt+φ），其中A是振幅，，φ是t=0时的相位，即初相位或初相。

知识点三：简谐运动的回复力和能量

1.回复力：使振动物体回到平衡位置的力。

（1）回复力是以效果命名的力。性质上回复力可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等，它可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力。

如在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧在伸长和压缩时产生的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

（2）回复力的作用是使振动物体回到平衡位置。回复力的方向总是“指向平衡位置”。

（3）回复力是是振动物体在振动方向上的合外力，但不一定是物体受到的合外力。

2.对平衡位置的理解

（1）平衡位置是振动物体最终停止振动后振子所在的位置。

（2）平衡位置是回复力为零的位置，但平衡位置不一定是合力为零的位置。

（3）不同振动系统平衡位置不同。竖直方向的弹簧振子，平衡位置是其弹力等于重力的位置；水平匀强电场和重力场共同作用的单摆，平衡位置在电场力与重力的合力方向上。

3．简谐运动的动力学特征

F回＝-kx ，a回＝－kx/m，其中k为比例系数，对于弹簧振子来说，就等于弹簧的劲度系数。负号表示回复力的方向与位移的方向相反。

也就是说简谐运动是在跟对平衡位置的位移大小成正比、方向总是指向平衡位置的力作用下的振动。

弹簧振子在平衡位置时F回=0。当振子振动过程中，位移为x时，由胡克定律（弹簧不超出弹性限度），

考虑到回复力的方向跟位移的方向相反，有F回= -kx，k为弹簧的劲度系数，所以弹簧振子做简谐运动。4.简谐运动的能量特征

知识点四：简谐运动过程中各物理量大小、方向变化情况

1.全振动

振动物体连续两次运动状态（位移和速度）完全相同所经历的的过程，即物体运动完成一次规律性变化。

2.弹簧振子振动过程中各物理量大小、方向变化情况

过程：物体从A由静止释放，从A→O→B→O→A，经历一次全振动，图中O为平衡位置，A、B为最大位移处：

取OB方向为正：

小结：弹簧振子的运动过程是完全对称的。

(1)B、O、A为三个特殊状态

O为平衡位置，即速度具有最大值v max，而加速度a＝0

A为负的最大位移处，具有加速度最大值a max，而速度v＝0

B为正的最大位移处，具有加速度最大值a max，而速度v＝0

（2）其运动为变加速运动与变减速运动的交替过程，在此过程中，机械能守恒，动能和弹性势能之间相互转化

加速度a与速度v的变化不一致

(3)任一点C的受力情况

重力G与弹力N平衡；F回＝F弹＝kx，可看出回复力方向始终与位移方向相反

知识点五：简谐运动图象的应用

1. 简谐运动图象的物理意义

图象描述了做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律，即是位移——时间函数图象。

注意振动图象不是质点的运动轨迹。

2. 简谐运动图象的特点

简谐运动的图象是一条正弦（余弦）曲线。

（1）从平衡位置开始计时，函数表达式为，图象如图1。

（2）从最大位移处开始计时，函数表达式，图象如图2。

3.简谐运动图象的应用

(1)确定振动质点在任一时刻的位移。如图中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1=+7cm、x2=-5cm。

(2)确定振动的振幅、周期和频率。

图中最大位移的值就是振幅，如图表示的振动振幅是10cm；

振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期T=0.2s；

频率。

(3)确定各时刻质点的速度、加速度(回复力)的方向。

加速度方向总与位移方向相反。只要从振动图象中认清位移的方向即可。例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，两者方向相反；t2时刻，位移x2为负，则a2便为正；

判定速度的方向的方法有：

a.位移——时间图象上的斜率代表速度。某时刻的振动图象的斜率大于0，速度方向与规定的正方向一致；斜率小于0，速度的方向与规定的正方向相反；

b.将某一时刻的位移与相邻的下一时刻的位移比较，如果位移增大，振动质点将远离平衡位置；反之将