数列在生活中的应用ppt课件

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题型一 等差数列模型(单利问题)
【例1】 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购 买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购 房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后 为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款 全部付清后实际共付多少元？ [思路探索] 先将实际问题转化为数学问题，这是一个等 差数列问题，用等差数列来解决．
ar1－rm 么每月付款款额为：_1_＋___r_m_－__1__.
想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种
数列对应？
提示 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单
利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．
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名师点睛
1．解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问 题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤为下框图：
解 设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依 次为x1，x2，…，xn. 由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1， ∴数列{xn}成等差数列，
§4 数列在日常经济生活中的应用
【课标要求】
1．正确理解储蓄及利息的计算方法． 2．了解并掌握购房贷款中的相关知识． 3．明确现行银行的还款方式．
【核心扫描】 1．能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题．(重点、
难点) 2．了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经
济行为的含义．(重点)
提示 根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正
整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来
解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资
产折旧等问题都属于数列问题模型．
2．有关储蓄的计算
储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本
公式是：利息＝本金×存期×利率．
根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算
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自学导引
1． 有关增长率、利率等的计算
增长量 (1)增长率＝_增___长__前__的__量__；
购买商品获得的优惠额 (2)优惠率＝________商__品__标__价_________；
利息 (3)存款利率＝__存__款__额___.
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试一试：什么情况下建立数列模型？
公式为：应纳税额＝利息全额×税率．
(1)整存整取定期储蓄
一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q，
则到期时，所得利息为：_n_A__p_，应纳税为__n_A_p_q_，实际取出
金额为：_n_A_p_(_1_－__q_)_＋__A_.
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(2)定期存入零存整取储蓄
每期初存入金额 A，连存 n 次，每期利率为 p，税率为 q，则到第 n
期 实末 际时 受，益应金得额到为全_12_部n_(_利 n_＋_息_1_为)_A_：p__(12_1_n_－__(_n__q＋ __)__．1_)_A_p，应纳税为：_12_n_(_n_＋__1_)_A_p_q__，
3．分期付款问题
贷款 a 元，分 m 个月将款全部付清，月利率为 r，各月所付款
额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那
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2．数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定 的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是 公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 例如：银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x， 则本利和y＝a(1＋xr)． (2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百
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【训练1】 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有 水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全 部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一
个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放 水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关 闭的这个水龙头放水多少时间？
10)．因而数列{an}是首项为 4.公差为－15的等差数列．a5＝4
－5－5 1＝3.2(万元)．
S10＝10×4＋10×10－21×－15＝31(万元)．
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31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付 清后实际共付36万元． 规律方法 按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决 该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额； (2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额 相同； (3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内 利息的计算公式．
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解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还
清，每次付款数组成数列{an}， 则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)； a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；
an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝4－n－5 1(万元)(n＝1,2，…，
分数时，该模型是等比模型，增加(或减少)的百分数就是公
比，其一般形式是：an＋a1－n an×100%＝q(常数)．
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例如：①银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期 为x，则本利和y＝a(1＋r)x. ②产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y ＝N(1＋p)x. (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列 的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加 (或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型 为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．