解析函数等价定义
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充要条件1或2推4（须附加无穷可微性，从而u(x,y), v(x,y)二 阶偏导连续） 根据调和函数和共轭调和函数定义：
由充要条件4推充要条件1或2： 首先由u(x,y)、v(x,y)是调和函数知其二阶偏导连续， 从而一阶偏导连续，进而u、v可微，又v是u的共轭调 和函数，故u、v满足C.-R.方程。 解析和充要条件5： 解析推充要条件5：（用到高阶导数公式）
解析定义：
充要条件1：
充要条件2：
充要条件3：
充要条件4：
充要条件5：
解析和充要条件1：
因此在区域D内每点满足C.-R.方程并且u(x,y)、 v(x,y)和f(z)在D内解析等价的
充要条件1和2：
显然2可推出1 1推出2：由定理：
可得 u(x,y), v(x,y)满足C.-R.方程且各阶偏导连续
充要条件5推解析：
附定理4.9，4.10：
来自百度文库
解析和充要条件3：
解析推出充要条件3： 利用柯西积分定理（其中证明用到解析函数在区域内点点可微）
充要条件3推原式定义： 先证下面定理：
其中定理3.7指：
然后将单连通区域D推广到一般区域G
[注：f(z)在某点解析即在该点邻域内解析，故上面先证f(z)在任取z0的邻域内解析]
充要条件1或2和充要条件4：
由充要条件4推充要条件1或2： 首先由u(x,y)、v(x,y)是调和函数知其二阶偏导连续， 从而一阶偏导连续，进而u、v可微，又v是u的共轭调 和函数，故u、v满足C.-R.方程。 解析和充要条件5： 解析推充要条件5：（用到高阶导数公式）
解析定义：
充要条件1：
充要条件2：
充要条件3：
充要条件4：
充要条件5：
解析和充要条件1：
因此在区域D内每点满足C.-R.方程并且u(x,y)、 v(x,y)和f(z)在D内解析等价的
充要条件1和2：
显然2可推出1 1推出2：由定理：
可得 u(x,y), v(x,y)满足C.-R.方程且各阶偏导连续
充要条件5推解析：
附定理4.9，4.10：
来自百度文库
解析和充要条件3：
解析推出充要条件3： 利用柯西积分定理（其中证明用到解析函数在区域内点点可微）
充要条件3推原式定义： 先证下面定理：
其中定理3.7指：
然后将单连通区域D推广到一般区域G
[注：f(z)在某点解析即在该点邻域内解析，故上面先证f(z)在任取z0的邻域内解析]
充要条件1或2和充要条件4：