高二数学常见函数的导数

y (3) 当x 0, f ( x) x
思考： 如何由导数定义求函数的导数？ 根据导数的概念，求函数导数的过程可以 用下面的流程图来表示
给定函数y f（x）
y f（x x） f（x） 计算 x x
x 0
y A( x) x
f ( x ) ALeabharlann Baidu x )
2
y ' 1
y ' 2x
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
1 y' 1 (3) y f ( x) 2 x x 1 y , (4) y f ( x) x 2 x
基本初等函数求导公式:
(1)( x ) x
x ' x
'
1
(为常数）
常见函数的导数
楚水实验学校高二数学备课组
根据导数的定义可以得出一些常见函数 的导数公式. 函数y=f(x)=kx+b（k，b为常数）的导数. 公式1：
f ( x) (kx b) k
0
（C为常数）
特别的：C
求下列函数的导数
(1) y f ( x) x (2) y f ( x) x
(2)( a ) a ln a(a 0, 且a 1)
1 1 (3)(log a x) log a e (a 0, 且a 1) x xln a 1 x ' x ' (5)(ln x) (4)(e ) e x
'
(6)(sin x) cosx
'
(7)(cos x) sin x
知识回顾
导数的几何意义：
曲线在某点处的切线的斜率;
物理意义： 物体在某一时刻的瞬时度。 (瞬时速度或瞬时加速度)
由定义求导数（三步法）
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x
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戒指中取出一个黑色的小石头，弹入传送阵最中间的小凹槽。石头刚一嵌入凹槽，整个传送阵就一阵抖动，地面的符文则开始 缓慢的转动，每一圈的转动顺序都不一样，有的逆时针转动，有的顺时针转动，而最中心的位置，开始聚起一团光，光团越来 越亮越来越大，最终包围了整个传送阵，夜北冥等人一直站在传送阵里面一动不动，然后整个光团好像再也不能更大了，就竖 起一道光，直冲云霄，只持续了一息时间，非常的短，还没有引起任何人的注意就消失在天空中，而夜北冥等人所站的传送阵， 已经开始了翻天覆地的变化，原本镶嵌小石头的凹槽已经凸出来，小石头不见了，凸出来的中心是一个大约一米长的成人手臂 粗的柱子，而柱子的最上方是一个透明的平面板，好像现代科幻电影里的平面投影电脑。此刻，那透明的面板上显示几个大字： 当前位面处于高等位面朝凰大陆，请选择传送等级位面。并且伴随着一道缥缈的女声，然后下面有三个方框，每个方框里面写 着四个字，从左到右依次是：高等位面，中等位面，低等位面。夜北冥说道：“低等位面，未央大陆。”说完，那道缥缈的女 声又响起来：“低等位面、未央大陆，传送阵启动!”接着整个传送阵上面的每一个转动的符文撒发出一阵耀眼的白光，当白 光覆盖了夜北冥等人的身体就快速的退回到符文当中，而夜北冥等人也已经消失不见，整个传送阵又回到夜北冥等人刚来时的 样子。此刻未央大陆的某片空地中，一阵白光闪过，夜北冥等人的身影接着出现，接着白光消失，除了夜北冥，其他人都好奇 的看着周围，一眼望去全是褐色的土地，连根草都没有，散发着荒凉的气息，这就是未央大陆吗？低等位面都是这样鸟不拉屎 的吗？众人集体向夜北冥看去，夜北冥摸着怀里的焱，对焱说道；“把地图拿出来吧！”众人又集体把目光投向夜北冥怀里那 一团紫色的小东西，之间焱睁开黑晶石似的大眼睛，张着小嘴吧打了一个哈欠，然后抖了抖身体，从嘴巴吐出一个黑色圆球， 圆球飘到月如面前，月如抬起手撑着，只听啵~的一声，圆球破开，露出里面的一个卷起来的纸，月如将纸打开，看到一张地 图，立马就猜到这是未央大陆的地图，虽然不知道主上是哪里弄来的，但对作为主上最为忠实的脑残粉，月如表示没什么是主 上做不到的，于是当场研究起了手中的地图，梦瑶跟濯清凑过去看，从暗门带来的十二手下依旧不动如山的站在夜北冥身后， 夜北冥朝月如吩咐道：“月如，找到青龙王朝，我们去王宫拜访一个老朋友！”月如称是，又低头埋在地图中继续研究寻找。 夜北冥抱着怀中的焱，从自己的空间中拿出一顶黑色暗金的轿子，轿身前面还有四头白龙马，通体雪白，健壮的四肢还有头顶 上一对雪白的龙角，白龙马含有龙族白龙的
1 例.若直线y x b为函数y 图象的切线 , x 求b的值和切点的坐标 .
变式 1: 求曲线y x 在点(1,1)处的切线方程 .
2
变式2 :已知直线y x 1, 点P为y x 2上任意一点 , 求P在什么位置时到直线的 距离最短?
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'
公式2:
( x ) nx
n
n 1
. Q) (n
请注意公式中的条件是 n Q ,但根据 * 我们所掌握的知识,只能就 n N 的情况 加以证明.这个公式称为幂函数的导数公 式.事实上n可以是任意实数.
例：求下列函数的导数
(1) y x
5
(2) y x x x
例: (1)已知y x , 求f (2).
3
3 3 1 2 解： y ( x ) 3 x 3 x
2 f (2) 3 (2) 12
解： y ( x ) 2 x
3
1 (2)已知y 2 , 求f (3). x
2 2 1
2 x
3
1 2 f (3) 2 (3) 2 27 27