2020届重庆市江津中学、实验中学等七校高三6月联考(三诊)数学(文)试题

绝密★启用前
七校高2020级第三次诊断性考试数学（文科）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（长寿）已知全集为R,集合{02}M x x =<≤，{1,0,1,2,3}N =-，则()R C M N ⋂=（） A ．{0,1}
B ．{-1,0,1}
C ．{-1,0,3}
D ．{-1,1,2,3}
2．（铜梁）已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1
+i z
是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（）
A ．0=+b a
B ．0=-b a
C ．02=-b a
D ．02=+b a
3．（合川）某胸科医院感染科有名男医生和名女医生,现需要从这名医生中抽取名医生成立一个临时新冠状病毒诊治小组,恰好抽到的名医生都是男医生的概率为（） A ．
B ．
C ．
D ．
4．（铜梁）函数
sin(1)y x =-的图像（）
A ．关于直线1=x 对称
B ．关于点（1,0）对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
5．（綦江）过双曲线2
2
231x y -=的左焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，则MFO ∆（O 为坐标原点）的面积为（） A ．6
B ．
6
C ．6
D ．6
6．（实验）函数1
()cos 1
x x e f x x e -=+在[],ππ-上的图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（合川）2019年10月1日上午,庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行,这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量,更是让世界感受到了中国的日新月异,去年的阅兵方阵有一个很抢眼,他们就是院校科研方阵,他们是由军事科学院,国防大学,国防科技大学联合组建,若已知甲,乙,丙三人来自上述三所学校,学位分别有学士、硕士、博士学位,现知道:①甲不是军事科学院的,②来自军事科学院的均不是博士,③乙不是军事科学院的,④乙不是博士学位,⑤来自国防科技大学的是硕士,则甲是来自哪个院校的,学位是什么（） A ．国防大学,博士
B ．国防科技大学,硕士
C ．国防大学,学士
D ．军事科学院,学士
8．（长寿）已知抛物线2
2y x =的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标0y ，则01y >是
||1MF >的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．（实验）在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ，b ，c ， 若3﹣c)C a A cos cos =，则A cos =（）
A ．
1
2
B 3
C ．
33
D 210．（江津）执行如右图所示的程序框图，则输出的n 的值
为（） A ．8 B ．7 C ．6
D ．5
11．（实验）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像是一条连续不断的曲线，0x >时，()f x 单
调递增，则满足：()(
)2
110f x f x
++->的实数x 的取值范围为（）
A ．()1,1-
B ．()1,2-
C ．()2,1-
D ．()
12,12-+
12．（大足）在ABC ∆中，1,3,==⊥AC AB AB AC ，点P 是ABC ∆所在平面内一
点,|
||
|AC AB AP +
=，且满足2PM =，若AM x AB y AC =+，则3x y +的最小值是
（）
A ．322+
B ．2
C ．1
D ．322-
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（铜梁）若y x ,满足约束条件220,
2,2,x y x y +-≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
则2z x y =-的最小值为__________．
14．（大足）()()
1tan191tan 26︒︒
+⋅+=________．
15．（合川）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价
,
最高销售限价
以及常数
)确定实际销售价格
,这里,
被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数恰好使得是
和
的等比中项,
据此可得最佳乐观系数x 的值等于__________.
16．（江津）底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，则该棱柱体积的
最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：每小题12分，共60分． 17．（实验）已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=. （1）求1a 及n a ；
（2）若等比数列}{n b 满足2211,a b a b ==，求数列}{n n b a +的前n 项的和n S .
18．（长寿）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉
感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如图：
（1）求a 的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：
序号n
1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长m （单位：分钟）
10
15
12
20
30
25
35
（Ⅰ）根据数据求m 关于n 的线性回归方程；
（Ⅱ）若4≥-x m （x 是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？
附；线性回归方程∧
∧
∧
+=a x b y ,其中，2
11)())((x x y y x x b i n i i i n
i -∑--∑===∧
，-
∧-
∧
-=x b y a ． 19．（江津）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，
ABCD PA 平面⊥，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，
2==AB PA ．
（1）求证：PDC EF 平面//； （2）求点E 到平面PDC 的距离．
20．（大足）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12
，以原点为圆心，椭圆的短半轴
长为半径的圆与直线75120x y -+=相切． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设A(-4,0)，过点R(3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线16
3
x =
于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为12k k 、，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 21．（合川）已知函数(为常数).
（1）若是定义域上的单调函数,求的取值范围; （2）若
存在两个极值点
,
,且
,求的取值范围.
（二）选考题：共10分．
请考生在第22，23题中任选择一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（綦江）已知曲线C 的极坐标方程是2()3
cos π
ρθ=+
，以极点为平面直角坐标系的原点，极
轴为x 轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程是
1,
2x t y =--⎧⎪⎨
=⎪⎩（t 是参数），设点(1,2)P -． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求PM PN ⋅的值．
23．（綦江）已知定义在R 上的函数*
()||||,f x x m x m N =--∈，且()
2f x 恒成立
（1）求实数m 的值;
（2）若(0,1),(0,1)αβ∈∈，且()()1f f αβ+=，求证：
4
1
18α
β
+
≥
七校高2020级第三次诊断性考试
数学（文科）答案
一、1—6CBCBDB 7—12AACCBD 二、13．-6 14．2 15．
2
1
5- 16．33
三、
17．（1）由126a a +=，得126a d +=，
又2d =，
12a ∴=，
22(1)2n a n n =+-=∴；…………………………………………6分
（2）由题意122,24b b q ===，即2q
，
2n n b ∴=，
于是22n
n n a b n +=+，
故(
)
221(242)22222n n n S n n n +=++++++
+=++- (12)
分
18．（1）∵(0.0050.0120.0350.0150.003)101a +++++⨯=，∴0.03a =
50.00510150.01210250.0310350.03510450.01510550.0031030.2
x -
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.....4分
（2）（Ⅰ）∵123456747n -
++++++=
=，_
10151220253035
217
m ++++++== 7
1
()()(14)(1021)(24)(1521)
(34)(1221)(44)(2021)(54)(3021)(64)(2521)(74)(3521)113i i i n n m m --
=∑
--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯-= ∴11328
b ∧=，11334
214287a ∧=-⨯= ∴m 关于n 的线性回归方程为11334
287m n ∧=+……………………9分 （Ⅱ）当n ＝8时，11334260
82877m =
⨯+=．∵26030.247
->， ∴估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”…………………………12分 19．（1）证明：
20．（1）由题意得2221,2,75
,
c e a b a b c ⎧==⎪⎪
=⎨+⎪⎪+=⎪⎩
解得4232a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,故椭圆C 的方程为2211612x y +
=………………4分
（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，由22
1,16123x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
得2
2
(34)18210m y my ++-=．
∴1212
221821
,,3434
m y y y y m m --+==++………………………………………………6分 由A,P,M ，三点共线可知，443
1611
+=
+x y y M ，所以432811+⋅=x y y M ； 同理可得4
32822
+⋅=
x y y N …………………………………………………………………8分 所以12
1212916161649(4)(4)3333
N M N M y y y y y y k k x x =
⨯==
++--． 因为2
12121212(4)(4)(7)(7)7()49x x my my m y y m y y ++=++=+++，……………10分
所以212122
212122221
1616123421187()497
7493434
y y m k k m m y y m y y m m m m -⨯
+===---+++⨯+⨯+++…12分 21．（1）∵
,
,∴
.
设,,
∵是定义域上的单调函数,函数
的图象为开口向上的抛物线,
∴
在定义域上恒成立,即
在上恒成立.
又二次函数图象的对称轴为,且图象过定点
,
∴或,解得.
∴实数的取值范围为
.…………………………………………………………4分
（2）由（1）知的两个极值点
,满足,
所以,
, 不妨设,则
在上是减函数,∴,
∴
.………………………………………………………………8分
令,则,又,即,
解得,∴.
设
,
则,∴在上单调递增,
∵,,∴
,
即.
所以
的取值范围为
………………………………………12分
22．（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为：223x y x +=，即
22
13()()12x y -++=；
直线l 3320x y ++=．………………………………5分
（2）直线l
的参数方程化为标准形式为11,2()2x m m y ⎧
=--⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
是参数，①
将①式代入22x y x +=-
，得：23)60m m ++++=，②
由题意得方程②有两个不同的根，设12,m m 是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：12PM PN m m ⋅=⋅
=6+．…………………………………………………………10分 23．（1）因为()||||||||f x x m x x m x m =--≤--=，所以max ()||f x m =
()2f x <在R 上恒成立max ()||2f x m ∴=<解得22m -<<， *1m N m ∈∴=……………………………………………………5分
（2）(0,1),(0,1)αβ∈∈
()()12121f f αβαβ∴+=-+-=，即1
2
αβ+=
， 所
以4
1
4142()252(518βααβα
βαβαβ⎛⎫⎛⎫+
=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………10分。