幂级数的和函数
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幂级数的和函数
一、 幂级数的运算：
设与
0n
n n a x
∞
=⋅∑0
n n
n b
x ∞
=⋅∑两个幂级数，收敛半径分别为1R ,2R ,则在它们
的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：
i
加法和减法：
n
n
n
n n n a
x b x
λμ∞
∞
==⋅±⋅∑∑=
()n n
n n a
b x λμ∞
=±∑其中λ、μ为常数。当12R R ≠时，上式的收敛半径为
12min{,}R R R =
ii 乘法和除法：
00
n
n
n n n n n a x b x c x ∞∞
∞
===⋅=
∑∑∑n 1
其中011n n n n c a b a b a b −=++⋅⋅⋅+
二、 和函数： 设的收敛半径为R (R>0)，
为和函数，则有以下性质成立
0n
n n a x
∞
=∑0
()n
n n S x a x ∞
==∑i 和函数在（-R,+R ）内可导，并且有逐项求导公式：
10
()()n n n n n n S x a x na x ∞∞
−==′′==∑∑
且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。 ii 由此，和函数S （x ）在（-R,+R ）内任意次 可导，并有逐项求导公式：
()()
()()(1)(2)(1)k n k n n n k
n n S x a x n n n n k a x
∞
=∞
−===−−⋅⋅⋅−+∑∑
它的收敛半径仍然为R 。
iii 在（-R,+R ）内逐项积分公式成立
1
000
()1
x
x
n
n n n n n a S t dt a t dt n ∞
∞
+====+∑∑∫∫
并且，逐项积分后收敛半径也不变
iv 若幂级数在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：
n n n a x ∞
=∑（A ） 0
lim ()n
n x R n S x a R ∞
→−
==∑
lim ()()n n x R n S x a R ∞
→+
==−∑（B ） 可以在[0,R]或者[-R,0]上逐项积
分，即：
100
()1R
n n n a S x dx n ∞
+==+∑∫ 0
1
0()()1n n n R
a S x dx R n ∞
+=−−=−+∑∫
（C ） 逐项求导之后的级数
1
()()n
n n n n n S x a x na x ∞∞
−==′′==∑∑在X=R(-R)处可能发散。
（D ） 若在X=R(-R)处发散，
则逐项求导之后的级数在X=R(-R)一定发散。
0n n n a x ∞
=∑（E ） 若在X=R(-R)处发散，
则逐项求积分之后的级数
0n n n a x ∞
=∑1
000
()1
x
x
n
n n n n n a S t dt a t dt n ∞
∞
+====+∑∑∫∫
在X=R(-R)可能收敛。
三、 和函数的性质：
（1） 性质1：设幂级数的收敛半径为R （R>0），
则其和函数S （x ）在区间（-R,+R ）连续，如果幂级数在X=R 或者-R 也收敛，则其和函数在R 或者-R 也连续。
0n n n a x ∞
=∑（2） 性质2：和函数求导公式 （3） 性质3：和函数求积分公式
四、 幂级数的求和：
第一.步： 经过适当变性，对和函数求导。 第二.步： 然后对导函数求积分。
第三.步： 确定和函数的定义域（根据和函数性质（1））
五、 补充知识：
（1）
2
1
1(
1
n
x x x x x
=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅−<<−
11)
（2）
2
1
1(1)(1
1
n n
x x x x x
=−+−⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅−<< +
1)