质点运动学及动力学小结 习题
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大小r称为路rB程s rA
Y
A
•
s
rA
r
B •
位移，又称矢径增量
rB
二、速度与速率：
O
X
①速度
v r t
v
d r
dx
i
dy
j
dt dt dt
v
v
2 x
v
2 y
②速率（速度的大小）
v s t
v ds v dt
质点运动学小结
加速度
(2)运用冲 量及动量定理 解题 (3)运用功 及功能原理解 题 (4)运用角 动量守守恒解 题
质点动力学习题
【例题1】质量为 m 和 M 的两个质点，最初它们相距很
远，并处于静止。在引力相互作用下相互趋近，当两质点
相距r时，它们的相对速度为多少？
解： MV mv 0
1 MV 2 1 mv 2 G Mm 0
2
2
r
V m 2G r(M m)
v M 2G r(M m)
v相对 V v
2G(M m) r
质点动力学习题
[例题2] 一个外力作用在 m=3 kg的物体上，其运动方程 为 x=3t-4t2+t3 （SI）求最初4秒内该力所做的功。
解： v dx 3 8t 3t 2 dt
牛顿第一定律 惯性系
惯性系：牛顿第一定律适用的参考系。通常选太阳或地 球为参考系
牛顿第二定律：
F
ma
直 线 运 动
Fix m ax Fiy m ay
曲 线 运 动
Fit m at Fin m an
质点动力学小结
二 动量定理 动量守恒定律
an
v2 R
0.5m s-2
a a2 an2 1.1m s-2
质点运动学习题
例2：一质点沿X轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系 为：a=4+3x2 (SI)。若质点在原点处的速度为零，试求其在 任意位置处的速度。
解：设质点在任一位置x处速度为v，则
a dv dv dx vdv 4 3x2 dt dx dt dx
p
r
mv,
L
称为角动量，或动量矩
大小： L mvr mvrsin o
方向： 右手螺旋法则
p
r
r
质点动力学小结
力
矩
：M
r
F
大 小 ：M Fr Frsin
方向：右手螺旋法则
质点动力学小结
动力学分为四类： (1)、已知受力,求各物体的加速度 及相互作用力，用隔离法求解；
由初始条件
v
vdv
x (4 3x2 )dx
0
0
v 8x 2x3
质点运动学习题
【例3】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加速度是时间 的函数。已知ax=2，ay=36t2 (SI)，当 t=0时质点静止在坐标 原点，求：
①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；③此质点在 任一时刻的切向加速度和法向加速度。
①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；③此质点在任 一时刻的切向加速度和法向加速度。
(3)、v
v
2 x
v
2 y
4t 2 144t 6
a
dv dt
1 2
8t 864t 5 4t 2 144t 6
an
a2 a2
a
2 x
a
2 y
a2
质点动力学小结
一 牛顿定律
dv dt
et
v2
en
atet anen
质点P
•
n
切向加速度
at
dv dt
反 映 速 度 大 小 （ 速 率 ）的 变 化
法向加速度
anwenku.baidu.com
v2
反映速度方向的变化
总加速度 a a2 an2
质点运动学小结
质点运动学的问题分成两类： (1)、已知运动方程r(t ),求任一时刻的v、a， 解题方法是求导； (2)、已知v、a及初始条件r0、v0求运动方程， 解题方法是积分
动量与力 ： 质点的质量与速度的乘积称为动量 力是描述物体间相互作用的物理量。
p mv
冲量：力对物体作用的时间积累效果
I
t2 t1
F
dt
P2
P1
m2v2
m1v1
动量定理：物体所受合外力的冲 量等于物体动量的增量
质点动力学小结
质点系的 动量守恒定理：
F外 0时，P Pi cons.
A保 守 内 力
EP1
E
P
，
2
A外 A非保守内力 E2 E1
如 果 A外 A非保守内力 0，则 E cons.
能量守恒定律： 能量既不能产生，也不能消灭，它只
能从一种形式转换到另一种形式，但总能量是守恒的。
质点动力学小结
四、角动量定理及角动量守恒定律：
L
r
一、定义： a dv dt
二、直角坐标系中的表示：
a
dv x dt
i
dv y dt
j
d2 dt
x
2
i
d2 y dt 2
j
ax
dv x dt
d2 x dt 2 ......
总加速度
a
a
2 x
a
2 y
质点运动学小结
三、自然坐标系中的表示：
v ve
a
dv dt
动能定理：
A
2 1
F
ds
Ek2
Ek1
Ek
合外力所作的功等于系统动能的增量
势能：保守力所做的功等于势能增量的负值
做功大小与路径无关-----保守力，特点：
F
ds
0
质点动力学小结
如万有引力势能：
EP
r
G
m1m2 r2
dr
G
m1m2 r
势能的基本性质：
解：(1)、由定义有
ax
dv x dt
vx 0
dv x
t
0 axdt
t 0
2dt
vx
2t,...v y
12t 3
同理有
x
dx
r
t
2i0
3t
4
j
t
0 vxdt
t
2tdt
0
得到
(2)、消去时间得 y 3x2
质点运动学习题
【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加速度是时间的 函数。已知ax=2，ay=36t2 (SI)，当 t=0时质点静止在坐标原点， 求：
①势能属于系统（是一种相互作用能）；
②大小上只有相对意义，主要是其变化值；
③势能是位置的能量，动能是运动的能量，两者之间可 以相互转换；
④只有保守力作功，才有势能。
质点动力学小结
功能原理，机械能守恒定律： 对于开放系统的动能定理可写成
A外 A保 守 内 力 A非 保 守 内 力 Ek2 Ek1
如 Fix 0 则
m1v1x m2v2x .... cons.
注意：守恒定律在惯性系中成立，故所有速度v均相对地面等 同一惯性系！
质点动力学小结
三 功和能
变力的功：
dA
F
ds
A
2
F
ds
1
一 维 时
A
x2 x1
Fx
dx
F
ds
2
1
质点动力学小结
质点运动学习题
例1： 一汽车沿半径为 50m 的圆形公路行驶，任一时刻汽车经 过的路程 s=10+10t-0.5t2 (SI)。求 t=5s 时，汽车的速率以及切向 加速度、法向加速度和总加速度的大小。
解： v ds 10 t dt
t=5s时
v 5m s-1
a
dv dt
1m s-2
质点运动学小结
质点运动学小结
速度
一、位置矢量和位移：
①质点的位置表示
r
xi
yj
zk
r称为位置矢量，又称矢径
Y
O Z
r(t )
x(t)i
y(t )
j
z(t )k
P •
(
x,
y,
z)
X
------运动方程
质点运动学小结
② 位移
AB----称为轨道（轨迹）
系统初始动量为 （M m)V0 故有
人跑动后系统总动量为 MVt m(Vt u)
（M m)V0 MVt m(Vt u)
Vt
V0
mu Mm
t 0 v0 3 m s-1
t 4 v4 19 m s-1
A
1 2
mv
2 4
1 2
mv
2 0
528
J
质点动力学习题
【例3】质量为 m的人站在质量 为 M的车上，开始时一起以速 率 V0沿光滑水平面向左运动。 现在人以相对车为 u的速率向右 跑，求车的速率 Vt
解：先设定动量的正方向（一般取初始动量的方向），则
Y
A
•
s
rA
r
B •
位移，又称矢径增量
rB
二、速度与速率：
O
X
①速度
v r t
v
d r
dx
i
dy
j
dt dt dt
v
v
2 x
v
2 y
②速率（速度的大小）
v s t
v ds v dt
质点运动学小结
加速度
(2)运用冲 量及动量定理 解题 (3)运用功 及功能原理解 题 (4)运用角 动量守守恒解 题
质点动力学习题
【例题1】质量为 m 和 M 的两个质点，最初它们相距很
远，并处于静止。在引力相互作用下相互趋近，当两质点
相距r时，它们的相对速度为多少？
解： MV mv 0
1 MV 2 1 mv 2 G Mm 0
2
2
r
V m 2G r(M m)
v M 2G r(M m)
v相对 V v
2G(M m) r
质点动力学习题
[例题2] 一个外力作用在 m=3 kg的物体上，其运动方程 为 x=3t-4t2+t3 （SI）求最初4秒内该力所做的功。
解： v dx 3 8t 3t 2 dt
牛顿第一定律 惯性系
惯性系：牛顿第一定律适用的参考系。通常选太阳或地 球为参考系
牛顿第二定律：
F
ma
直 线 运 动
Fix m ax Fiy m ay
曲 线 运 动
Fit m at Fin m an
质点动力学小结
二 动量定理 动量守恒定律
an
v2 R
0.5m s-2
a a2 an2 1.1m s-2
质点运动学习题
例2：一质点沿X轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系 为：a=4+3x2 (SI)。若质点在原点处的速度为零，试求其在 任意位置处的速度。
解：设质点在任一位置x处速度为v，则
a dv dv dx vdv 4 3x2 dt dx dt dx
p
r
mv,
L
称为角动量，或动量矩
大小： L mvr mvrsin o
方向： 右手螺旋法则
p
r
r
质点动力学小结
力
矩
：M
r
F
大 小 ：M Fr Frsin
方向：右手螺旋法则
质点动力学小结
动力学分为四类： (1)、已知受力,求各物体的加速度 及相互作用力，用隔离法求解；
由初始条件
v
vdv
x (4 3x2 )dx
0
0
v 8x 2x3
质点运动学习题
【例3】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加速度是时间 的函数。已知ax=2，ay=36t2 (SI)，当 t=0时质点静止在坐标 原点，求：
①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；③此质点在 任一时刻的切向加速度和法向加速度。
①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；③此质点在任 一时刻的切向加速度和法向加速度。
(3)、v
v
2 x
v
2 y
4t 2 144t 6
a
dv dt
1 2
8t 864t 5 4t 2 144t 6
an
a2 a2
a
2 x
a
2 y
a2
质点动力学小结
一 牛顿定律
dv dt
et
v2
en
atet anen
质点P
•
n
切向加速度
at
dv dt
反 映 速 度 大 小 （ 速 率 ）的 变 化
法向加速度
anwenku.baidu.com
v2
反映速度方向的变化
总加速度 a a2 an2
质点运动学小结
质点运动学的问题分成两类： (1)、已知运动方程r(t ),求任一时刻的v、a， 解题方法是求导； (2)、已知v、a及初始条件r0、v0求运动方程， 解题方法是积分
动量与力 ： 质点的质量与速度的乘积称为动量 力是描述物体间相互作用的物理量。
p mv
冲量：力对物体作用的时间积累效果
I
t2 t1
F
dt
P2
P1
m2v2
m1v1
动量定理：物体所受合外力的冲 量等于物体动量的增量
质点动力学小结
质点系的 动量守恒定理：
F外 0时，P Pi cons.
A保 守 内 力
EP1
E
P
，
2
A外 A非保守内力 E2 E1
如 果 A外 A非保守内力 0，则 E cons.
能量守恒定律： 能量既不能产生，也不能消灭，它只
能从一种形式转换到另一种形式，但总能量是守恒的。
质点动力学小结
四、角动量定理及角动量守恒定律：
L
r
一、定义： a dv dt
二、直角坐标系中的表示：
a
dv x dt
i
dv y dt
j
d2 dt
x
2
i
d2 y dt 2
j
ax
dv x dt
d2 x dt 2 ......
总加速度
a
a
2 x
a
2 y
质点运动学小结
三、自然坐标系中的表示：
v ve
a
dv dt
动能定理：
A
2 1
F
ds
Ek2
Ek1
Ek
合外力所作的功等于系统动能的增量
势能：保守力所做的功等于势能增量的负值
做功大小与路径无关-----保守力，特点：
F
ds
0
质点动力学小结
如万有引力势能：
EP
r
G
m1m2 r2
dr
G
m1m2 r
势能的基本性质：
解：(1)、由定义有
ax
dv x dt
vx 0
dv x
t
0 axdt
t 0
2dt
vx
2t,...v y
12t 3
同理有
x
dx
r
t
2i0
3t
4
j
t
0 vxdt
t
2tdt
0
得到
(2)、消去时间得 y 3x2
质点运动学习题
【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加速度是时间的 函数。已知ax=2，ay=36t2 (SI)，当 t=0时质点静止在坐标原点， 求：
①势能属于系统（是一种相互作用能）；
②大小上只有相对意义，主要是其变化值；
③势能是位置的能量，动能是运动的能量，两者之间可 以相互转换；
④只有保守力作功，才有势能。
质点动力学小结
功能原理，机械能守恒定律： 对于开放系统的动能定理可写成
A外 A保 守 内 力 A非 保 守 内 力 Ek2 Ek1
如 Fix 0 则
m1v1x m2v2x .... cons.
注意：守恒定律在惯性系中成立，故所有速度v均相对地面等 同一惯性系！
质点动力学小结
三 功和能
变力的功：
dA
F
ds
A
2
F
ds
1
一 维 时
A
x2 x1
Fx
dx
F
ds
2
1
质点动力学小结
质点运动学习题
例1： 一汽车沿半径为 50m 的圆形公路行驶，任一时刻汽车经 过的路程 s=10+10t-0.5t2 (SI)。求 t=5s 时，汽车的速率以及切向 加速度、法向加速度和总加速度的大小。
解： v ds 10 t dt
t=5s时
v 5m s-1
a
dv dt
1m s-2
质点运动学小结
质点运动学小结
速度
一、位置矢量和位移：
①质点的位置表示
r
xi
yj
zk
r称为位置矢量，又称矢径
Y
O Z
r(t )
x(t)i
y(t )
j
z(t )k
P •
(
x,
y,
z)
X
------运动方程
质点运动学小结
② 位移
AB----称为轨道（轨迹）
系统初始动量为 （M m)V0 故有
人跑动后系统总动量为 MVt m(Vt u)
（M m)V0 MVt m(Vt u)
Vt
V0
mu Mm
t 0 v0 3 m s-1
t 4 v4 19 m s-1
A
1 2
mv
2 4
1 2
mv
2 0
528
J
质点动力学习题
【例3】质量为 m的人站在质量 为 M的车上，开始时一起以速 率 V0沿光滑水平面向左运动。 现在人以相对车为 u的速率向右 跑，求车的速率 Vt
解：先设定动量的正方向（一般取初始动量的方向），则