质点运动学及动力学小结 习题

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大小r称为路rB程s rA
Y
A

s
rA
r
B •
位移,又称矢径增量
rB
二、速度与速率:
O
X
①速度
v r t
v
d r
dx
i
dy
j
dt dt dt
v
v
2 x

v
2 y
②速率(速度的大小)
v s t
v ds v dt
质点运动学小结
加速度
(2)运用冲 量及动量定理 解题 (3)运用功 及功能原理解 题 (4)运用角 动量守守恒解 题
质点动力学习题
【例题1】质量为 m 和 M 的两个质点,最初它们相距很
远,并处于静止。在引力相互作用下相互趋近,当两质点
相距r时,它们的相对速度为多少?
解: MV mv 0
1 MV 2 1 mv 2 G Mm 0
2
2
r
V m 2G r(M m)
v M 2G r(M m)
v相对 V v
2G(M m) r
质点动力学习题
[例题2] 一个外力作用在 m=3 kg的物体上,其运动方程 为 x=3t-4t2+t3 (SI)求最初4秒内该力所做的功。
解: v dx 3 8t 3t 2 dt
牛顿第一定律 惯性系
惯性系:牛顿第一定律适用的参考系。通常选太阳或地 球为参考系
牛顿第二定律:
F
ma
直 线 运 动
Fix m ax Fiy m ay
曲 线 运 动
Fit m at Fin m an
质点动力学小结
二 动量定理 动量守恒定律
an

v2 R

0.5m s-2
a a2 an2 1.1m s-2
质点运动学习题
例2:一质点沿X轴运动,其加速度 a 与位置坐标 x 的关系 为:a=4+3x2 (SI)。若质点在原点处的速度为零,试求其在 任意位置处的速度。
解:设质点在任一位置x处速度为v,则
a dv dv dx vdv 4 3x2 dt dx dt dx
p
r
mv,
L
称为角动量,或动量矩
大小: L mvr mvrsin o
方向: 右手螺旋法则
p
r
r
质点动力学小结


:M

r
F
大 小 :M Fr Frsin
方向:右手螺旋法则
质点动力学小结
动力学分为四类: (1)、已知受力,求各物体的加速度 及相互作用力,用隔离法求解;
由初始条件
v
vdv
x (4 3x2 )dx
0
0
v 8x 2x3
质点运动学习题
【例3】一质点在xoy平面内作曲线运动,其加速度是时间 的函数。已知ax=2,ay=36t2 (SI),当 t=0时质点静止在坐标 原点,求:
①此质点的运动方程;②此质点的轨迹方程;③此质点在 任一时刻的切向加速度和法向加速度。
①此质点的运动方程;②此质点的轨迹方程;③此质点在任 一时刻的切向加速度和法向加速度。
(3)、v
v
2 x

v
2 y

4t 2 144t 6
a

dv dt

1 2
8t 864t 5 4t 2 144t 6
an
a2 a2
a
2 x

a
2 y

a2
质点动力学小结
一 牛顿定律
dv dt
et
v2

en
atet anen
质点P

n

切向加速度
at

dv dt
反 映 速 度 大 小 ( 速 率 )的 变 化
法向加速度
anwenku.baidu.com

v2

反映速度方向的变化
总加速度 a a2 an2
质点运动学小结
质点运动学的问题分成两类: (1)、已知运动方程r(t ),求任一时刻的v、a, 解题方法是求导; (2)、已知v、a及初始条件r0、v0求运动方程, 解题方法是积分
动量与力 : 质点的质量与速度的乘积称为动量 力是描述物体间相互作用的物理量。
p mv
冲量:力对物体作用的时间积累效果

I
t2 t1
F
dt

P2

P1

m2v2

m1v1
动量定理:物体所受合外力的冲 量等于物体动量的增量
质点动力学小结
质点系的 动量守恒定理:


F外 0时,P Pi cons.
A保 守 内 力
EP1

E
P

2
A外 A非保守内力 E2 E1
如 果 A外 A非保守内力 0,则 E cons.
能量守恒定律: 能量既不能产生,也不能消灭,它只
能从一种形式转换到另一种形式,但总能量是守恒的。
质点动力学小结
四、角动量定理及角动量守恒定律:

L
r
一、定义: a dv dt
二、直角坐标系中的表示:
a
dv x dt
i
dv y dt
j
d2 dt
x
2
i
d2 y dt 2
j
ax

dv x dt

d2 x dt 2 ......
总加速度
a
a
2 x

a
2 y
质点运动学小结
三、自然坐标系中的表示:
v ve
a
dv dt
动能定理:
A
2 1
F
ds
Ek2

Ek1

Ek
合外力所作的功等于系统动能的增量
势能:保守力所做的功等于势能增量的负值
做功大小与路径无关-----保守力,特点:

F
ds
0
质点动力学小结
如万有引力势能:
EP
r
G
m1m2 r2
dr

G
m1m2 r
势能的基本性质:
解:(1)、由定义有
ax

dv x dt
vx 0
dv x

t
0 axdt
t 0
2dt

vx

2t,...v y

12t 3
同理有
x
dx
r
t
2i0
3t
4
j
t
0 vxdt
t
2tdt
0
得到
(2)、消去时间得 y 3x2
质点运动学习题
【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动,其加速度是时间的 函数。已知ax=2,ay=36t2 (SI),当 t=0时质点静止在坐标原点, 求:
①势能属于系统(是一种相互作用能);
②大小上只有相对意义,主要是其变化值;
③势能是位置的能量,动能是运动的能量,两者之间可 以相互转换;
④只有保守力作功,才有势能。
质点动力学小结
功能原理,机械能守恒定律: 对于开放系统的动能定理可写成
A外 A保 守 内 力 A非 保 守 内 力 Ek2 Ek1
如 Fix 0 则
m1v1x m2v2x .... cons.
注意:守恒定律在惯性系中成立,故所有速度v均相对地面等 同一惯性系!
质点动力学小结
三 功和能
变力的功:
dA

F
ds
A
2
F
ds
1
一 维 时
A
x2 x1
Fx
dx
F
ds
2
1
质点动力学小结
质点运动学习题
例1: 一汽车沿半径为 50m 的圆形公路行驶,任一时刻汽车经 过的路程 s=10+10t-0.5t2 (SI)。求 t=5s 时,汽车的速率以及切向 加速度、法向加速度和总加速度的大小。
解: v ds 10 t dt
t=5s时
v 5m s-1
a

dv dt

1m s-2
质点运动学小结
质点运动学小结
速度
一、位置矢量和位移:
①质点的位置表示
r
xi
yj
zk
r称为位置矢量,又称矢径
Y
O Z
r(t )

x(t)i
y(t )
j
z(t )k
P •
(
x,
y,
z)
X
------运动方程
质点运动学小结
② 位移
AB----称为轨道(轨迹)
系统初始动量为 (M m)V0 故有
人跑动后系统总动量为 MVt m(Vt u)
(M m)V0 MVt m(Vt u)
Vt
V0

mu Mm
t 0 v0 3 m s-1
t 4 v4 19 m s-1
A

1 2
mv
2 4

1 2
mv
2 0

528
J
质点动力学习题
【例3】质量为 m的人站在质量 为 M的车上,开始时一起以速 率 V0沿光滑水平面向左运动。 现在人以相对车为 u的速率向右 跑,求车的速率 Vt
解:先设定动量的正方向(一般取初始动量的方向),则
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