高中数学函数专题(定义域、值域、对称性、奇偶性)讲解

高考复习之函数专题
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义注意：○
3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．的实数的集合；○
2函数定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断(两点必须同时具备)
一．常见函数（基本初等函数）：
1． 2．y=kx+b(k≠0)
23．y=ax+bx+c(a≠0) 4．y=
a1 x5．幂函数：y=x(a∈Q)（包括前四个函数）
6．指数函数：y=a(a>0且a≠1)
7．对数函数：y=logax(a>0且a≠1)
8．三角函数：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx
由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。

如：
y=ax+bx+cx+d，32x
y=sinx+
二、定义域 11x+5，y=，试着分析以上函数的构成。

log2xx
(x+1)0
x-x1、函数f(x)=的定义域是（）
A.{x|x<0}
B. {x|x>0}
C. {x|x<0且x≠-1}
D. {x|x≠0且x≠-1}
2、f(x)=1的定义域是（） 2-x
A.[-1,+∞)
B. [2,+∞)
C. (-1,2)
D. {x|x≥-1且x≠2} x+1+
4x+8的定义域是（） 3x-2
22⎫⎧ A.[,+∞) B. ⎨x|x≠⎬ C. [2,+∞) D. (-∞,-1] 33⎭⎩
f(2x)4、若函数f(x)的定义域[0，2]，则函数g(x)=的定义域是（） x-1
A [0，1]
B [0,1)
C [0,1)⋃(1,4]
D (0,1) 3、f(x)=
5、已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其中a<0<b,a>b，则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是（）
A (-b,b]
B (-a,b]
C [-b,b]
D [-a,a]
6、已知函数f(x)=1+xf(x)⎤的定义域为A，函数y=f⎡的定义域为B，则（）
⎣⎦1-x
(A)A B=B (B)AØB (C)A=B (D)A B=B
7、已知函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是_________
8、（1
）f(x)2
+lg(3x+1) （2）f(x)=sinx+log1(25-x2) 2
3x-x2
(3)y=; (4)y=25-x2+lncosx |x-1|-1
9、设f(x)=lg
10、f(2-x)=2+xx2，则f()+f()的定义域为 2-x2x4-x2，f(x)的定义域
3函数值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.
三、值域
1、求下列函数的值域：
（1）y=3x-x+2；（2
）y=；（3）y=
（4
）y=x+ （5
）y=x （6）y=|x-1|+|x+4|；
23x+1； x-2
1-sinx2x2-x+22x2-x+11(x>)；（9）y=（7）y=2；（8）y= 2-cosx2x-12x+x+1
2⎧x≥1，⎪x2、设f(x)=⎨g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，∞+)，则g(x)的值域是（） x<1，⎪⎩xA．(-∞，-1] [1，∞+)
3、设函数f(x)=log2B．(-∞，-1] [0，∞+) C．[0，∞+) D．[1，∞+) x+1+log2(x-1)+log2(p-x)， x-1
（1）求函数的定义域；
（2）问f(x)是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由4、已知f(x)=2+log3x(1≤x≤9)，求函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的最值。

81 4．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。

区间D称为y=f(x)的单调增区间
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞
f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：○
2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有
f(x1)<f(x2) ．○
（2）图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；○
2 作差f(x1)－f(x2)；○
3 变形（通常是因式分解和配方）
4 定号（即判○；○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）断差f(x1)－f(x2)的正负）；○．
(B)图象法(从图象上看升降)
（C）导数法
(D)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
四、单调性
1、已知f(x)=⎨⎧(3a-1)x+4a,x<1是(-∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是（）
⎩logax,x>1
1
3111（D）[,1) 737
2、已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记（A）(0,1) （B）(0,) （C）[,)
1g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]．若y=g(x)在区间[,2]上是增函数，则实数a的取值范围是（）D 2
A．[2,+∞) B．(0,1) (1,2) C．[,1) D．(0,]
3.设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)，给出下述命题：
①f(x)有最小值；
②当a=0时，f(x)的值域为R；
③当a>0时，f(x)在区间[2,+∞)上有反函数；
④若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4
则其中正确的命题是_____________（要求：把正确命题的序号都填上）
24.设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x-2（1-a）的单调性。

5.函数f(x)对任意的m,n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且当x>0时，f(x)>1，
⑴求证：f(x)在R上是增函数；
⑵若f(3)=4，解不等式f(a+a-5)<2
5．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有注意：○
奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也○
一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 21212
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○
2 确定f(－x)与f(x)的关系；○
3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则对称；○
f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或
f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
五、奇偶性
1、已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数. 当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当
x∈(0,+∞)时，f(x)= .
2.设函数f(x)=x2-x+a为偶函数,则实数a=________________________
3.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x-x，则f(1)=
4.已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)= ．
5.设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f（-a）=_______
6、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值
1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○
2 利用图象求函数的最大（小）值○
3 利用函○
数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数
y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
.
函数的性质与函数图象的特点
2
六、综合题
1.已知偶函数f (x)，对任意x1，x2∈R，恒有：
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1．（1）求f (0)，f (1)，f (2)的值；（2）求f (x)；（3）判断F(x)=[f(x)]2-2f(x)在（0，+∞）上的单调性
ax2+1
2.已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且
bx+c
f试求函数f(x)的解析式；
(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由
2
3.(1) 函数f(x)=ax+1(a,b,c∈Z)是奇函数，又f(1)=2,f(2)<3，求a,b,c的值.
bx+c
(2) 设偶函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，求不等式f(x)>f(2x+1)的解集.
4.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：(1) f(x+2)=f(x);
(2) 当x∈[0，1]时，f(x)=3-x-1，求f(log1
31)的值. 32
5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求f(0)的值；(2)证明函数f(x)是周期函数；
(3)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求x∈R时，f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)的一个周期的图象．
6.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)，
且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0.
（1）试判断函数y=f(x)的奇偶性；
（2）试求方程f(x)=0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 4327.已知函数f(x)=x－4x+ax－1在区间［0,1)上单调递增，在区间［1，2）上单调递减.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若点A（x0,f(x0)）在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图
象上；
2（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数g(x)=bx－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点.若存在，请求出
实数b的值；若不存在，试说明理由.
8.已知函数f(x)=a+x-2 (a>1) x+1
(1)函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根x
9.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－11)=0,当x>－时，22
f(x)>0(1)求证f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证
1（1） f (0) = -1，f (1) = 0，f (2) = 3；（2）f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)+2x(-x)+1，
又f(x)=f(-x)，f (0) = -1，故f(x)=x2-1；（3）F(x)=x4-4x2+3．用定义可证明F(x)在［2 ，+∞）上是增函数，在（02］上为减函数
ax2+1ax2+1=-⇒bx+c=bx-c 2解∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即bx+c-bx+c
ax2+1a1a=x+∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2， bxbbxb2
当且仅当x=a12时等号成立，于是2=2,∴a=b, 2ab
5a+15b2+1512由f(1)＜得＜即＜,∴2b－5b+2＜0,解得＜b＜2，又
b∈N,∴b=1,∴a=1,∴b2222b
f(x)=x(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，⎧x02+1=y0则⎪⎪x0⎨2⎪(2-x0)+1=-y0⎪2-x0⎩消去y0得x0－2x0－1=0,x0=1
2
∴y=f(x)图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称
3 解： (1) 由f (－x)＝－f (x)
得－bx＋c＝－(bx＋c)
∴c=0.又f (1)＝2，得a＋1＝2b，而f (2)<3,得
4a+1< 3⇒－1< a< 2，又a∈Z a+1
1
2
(2) 由题意，不等式可化为f(x)>f(2x+1)，又f(x)在[0,+∞)上为减函数，所以不等式可化为所以a＝0或a＝1，当a＝0时，b＝（舍去）,当a＝1时，b＝1，
∴a=b=1,c=0.
1． 3
1
3x<2x+1⇒x<-1或x>－所以，不等式的解集为(－∞，－1)∪(－，＋∞).
4∵ f (x)是周期函数，2是它的一个周期
∵ 1111< < ，∴ 3 < log1< 4 328132273
令3≤x≤4，∴－1≤x－4≤0⇒0≤4－x≤1
f (x)的周期是2，且是偶函数
∴ x∈[3，4]，f (x)＝f (x－4)
x－4 f [－(x－4)]＝f (4－x)＝3－1
∵ x＝log1
3111，x－4＝log1－log1 32328133
8132＝log3 3281
32＝log13log332491∴ f (log1)＝381－1＝－1＝－ 3281813
5 解：①f (x)是R上的奇函数⇒f(-x)=-f(x)令x＝0 f(-0)=-f(0)⇒f(0)=0
②依题意有：
⎧f(-x)=-f(x)⇒⎨f(1-x)=-f(-2+x)⎩⎧f(1+x)=-f(-1-x)⇒⎨f(x)=-f(-2+xx)⎩
f(2+x)=-f(x)⇒f(4-x)=f(x)⇒T=4
③∵f(x)=⎨
∴f(x)=⎨(-1≤x≤1)⎧x ⎩-x+2(1<x≤3)(4k-1≤x≤4k+1)⎧x-4k(k∈Z) ⎩-
x+2+4k(4k+1<x≤4k+3)
6解:（1）由已知得f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5)≠0，故f(-1)≠±f(1),
从而知函数y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数；
(2)由⎨⎧f(2-x)=f(2+x)⎧f(x)=f(4-x)⇒⎨⇒f(4-x)=f(14-x)
⎩f(7-x)=f(7+x)⎩f(x)=f(14-x)
⇒ f(x)= f(x+10),从而知函数y= f(x)的周期为T=10
由f(7-x)=f(7+x)得，f(x)的图象关于x=7对称，且在闭区间[0，7]上，只有
f(1)=f(3)=0.
∴在［0，10］上，只有f(1)=f(3)=0，
∴10是f(x)的最小正周期，
∵在［0，10］上，只有f(1)=f(3)=0，
∴在每一个最小正周期内f(x)=0只有两个根，
∴在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是802．
4327解：（Ⅰ）由函数f(x)=x－4x+ax－1，在区间［0，1）上单调递增，在区间［1，2）上单调递减，∴x=1
时，f(x)取得极大值，∴f′(1)=0.
f′(x)=4x3－12x2+2ax, ∴4－12+2a=0⇒a=4.
(Ⅱ)点A（x0,f(x0)）关于x=1的对称点B坐标为（2－x0,f(x0)）,
f(2－x0)=(2－x0)4－4(2－x0)3+4(2－x0)2－1=(2－x0)2［(2－x0)－2］2－1
432=x0－4x0+4x0－1=f(x0).
∴点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上.
24322（Ⅲ）函数g(x)=bx－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，等价于方程x－4x+4x－1=bx－1恰有
43224323个不等实根，x－4x+4x－1=bx－1⇒x－4x+(4－b)x=0.
2∵x=0是其中一个根，∴方程x－4x+(4－b)=0有两个非0不等实根.
∴⎨⎧Δ=16-4(4-b)>0,∴b＞0且b≠4. 4-b≠0.⎩
8证明）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, ax2-x1>1且ax1>0,
∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0,又x1+1>0,x2+1>0
∴x2-2x1-2(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1)3(x2-x1)-==>0,
x2+1x1+1(x1+1)(x2+1)(x1+1)(x2+1)
x2-2x1-2- >0 x2+1x1+1于是f(x2)－f(x1)=ax2-ax1+
∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数
(2）证法一设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0, 则ax0=-x-2x0-2且由0＜ax0＜1得0＜－0＜1, x0+1x0+1
1＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根2
设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0, 即
则x0-2＜－2,ax0＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾， x0+1
x0-2>0, ax0>0， x0+1若x0＜－1,则
∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根9(1）证明设x1＜x2,则x2－x1－111>－,由题意f(x2－x1－)>0, 222
∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)
11=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0, 22
∴f(x)是单调递增函数(2)解f(x)=2x+1验证过程略。