离散数学——范式

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定理4.3.2： 设Ａ和Ａ*是对偶式，Ｐ1，Ｐ2，…，Ｐn
是出现于Ａ和Ａ*中的所有命题变元，则有 Ａ（Ｐ1，Ｐ2，…，Ｐn） Ａ*（Ｐ1，Ｐ2，…，Ｐn）
Ａ（Ｐ1，Ｐ2，…，Ｐn） Ａ*（Ｐ1，Ｐ2，…，Ｐn）
此定理由德·摩根定律直接可证。
对偶原理：设G,H是两个公式，如果GH,则G* H* 7
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❖ 例:求((p∨q) r) p的主析取范式.
❖ ((p∨q) r) p
❖ p∨(q∧ r)
(析取范式)
❖ [p∧(q∨q)∧ (r∨r) ]∨ [(p∨p)∧(q∧ r) ]
❖ (p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ∨
(p∧ q ∧ r)∨(p∧ q ∧ r)∨
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❖ 例如，两个命题变元P和Q，其构成的极小项
有PQ，PQ，PQ和PQ；
❖ 而三个命题变元P、Q和R，其构成的极小项有
PQR，PQR，PQR，PQR， PQR ，PQR，PQR， PQR。
❖ 可以证明，n个命题变元共形成2n个极小项。 10
得p∨(q∧r),也是原公式的析取范式,由此可见,与命 题公式等价的析取范式也是不唯一的.
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对偶
定义：给定两个公式Ａ和Ａ*，若用∨代 换∧；用∧代换∨；用Ｆ代换Ｔ；用Ｔ代 换Ｆ；其中一个公式可由另一个公式这样 代换而得，此两个公式称为互为对偶的。 联词∨与∧也称为对偶的。
教材P98 例4.3.2
③ 利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取 范式。
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例1.14 求下面命题公式的合取范式和析取范式.
((p∨q) r) p
解 (1)求合取范式
((p∨q r) p
❖ ( (p∨q)∨r) p
(消去第一个→)
❖ ((p∨q)∨r)∨p
(消去第二个→)
❖ ((p∨q)∧ r)∨p
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求主析取范式的步骤
(1)求A的析取范式A′； (2)若A’的某简单合取式B中不含命题变项pi或其否定
pi,则将B展成如下形式： B B∧1 B∧(pi∨pi) (B∧pi)∨(B∧pi). (3)将重复出现的命题变元、矛盾式及重复出现的极
小项都“消去”,如p∧p用p代,p∧p用0代,mi∨mi 用mi代. (4)将极小项按由小到大的顺序排列.如m1∨m2∨m5.
p∧q∧r ——001 —— 1, 记作m1；
p∧ q∧r ——010 —— 2, 记作m2；
p∧ q∧r
——011 —— 3, 记作m3；
p∧q∧r ——100 —— 4, 记作m4；
p∧ q∧ r ——101 —— 5, 记作m5；
p∧ q∧r ——110 —— 6, 记作m6；
4.3 范式
１.简单合取式与简单析取式 ❖ 定义4.3.1 命题变元及命题变元的否定称为文字；
有限个文字的析取式称为一个子句；有限个文字的 合取式称为短语。
例：P,Q,R,P, Q, R为文字； P∨Q,P∨Q,P∨Q为子句； P∧Q,P∧Q∧R,P∧R为短语.
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析取范式 合取范式
(1)仅由有限个短语(简单合取式)构成的析取式称为析 取范式;
M0∧M2∧M4
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❖ 用真值表法求p∧q∨r的主合取范式.
p∧q∨r M0∧M2∧M4
(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)
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作业：
讨论派遣方案： 某公司派小李或小张去上海出差.若派小李去， 则小赵要加班.若派小张去，小王也得去.小赵
没 加班.问公司是如何派遣的？
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(p∧q∧r)∨(p∧ q ∧r)
❖ m4∨ m5 ∨ m6∨m7∨m2∨m6 ❖ m2∨m4∨m5∨m6∨m7
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例：解 p ∨ (q∧ r) ❖ 用p∧(q∨q)∧(r∨r)取代p. ❖ 用(p∨p)∧(q∧ r)取代(q∧ r). ❖ 然后展开得极小项.
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主析取范式的求法
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２.主合取范式
❖(1) 极大项的概念和性质
❖ 定义4.3.3 (教材P100)在n个命题变元的简
单析取式中，若每个命题变元与其否定不同时 存在，而二者之一必出现一次且仅出现一次， 则称该简单析取式为极大项。
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❖ 例如，由两个命题变元P和Q，构成极大项有
PQ，PQ，PQ，PQ；三个命题 变元P，Q和R，构成PQR，PQR， PQR，PQR，PQR， PQR，PQR，PQR.
❖ 如果将命题变元按字典序排列，并且把命题变 元与1对应，命题变元的否定与0对应，则可对
2n个极小项依二进制数编码，记为mi，其下标 i是由二进制数转化的十进制数。用这种编码所
求得2n个极小项的真值表。
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3个命题变项，8个极小项对应情况如下：
p∧q∧r —— 000 —— 0, 记作m0；
公式的主范式
范式基本解决了公式的判定问题。但由于范式 不具有唯一性，对识别公式间是否等价带来一定困 难，而公式的主范式解决了这个问题。下面将分别 讨论主范式中的主析取范式和主合取范式。
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１.主析取范式
(1) 极小项的概念和性质 ❖ 定义4.3.3 (教材P100)在含有n个命题变元的简单
合取式中， 若每个命题变元与其否定不同时存在， 而二者之一出现一次且仅出现一次，则称该简单合 取式为极小项。
B∨(pi∧ pi) (B∨pi)∧(B∨ pi).
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❖ 用推理法求p∧q∨r的主合取范式.
解 (p∧q) ∨r
(p∨r)∧(q∨r)
(合取范式)
(p∨(q∧ q)∨r)∧((p∧ p)∨q∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨ q∨r)
∧(p∨q∨r) ∧( p∨q∨r)
(p∨q∨r)∧(p∨ q∨r)∧(p∨q∨r)
设A＝A1∨A2∨…∨An, Ai(i＝1,2,…,n)为简单合取式, 则A是析取范式,例如：(P∧Q)∨(P∧Q∧R)∨P
(2)仅由有限个子句(简单析取式)构成的合取式称为合 取范式.
设A＝A1∧A2∧…∧An, Ai(i＝1,2,…,n)为简单析取式, 则A是合取范式.例如：(P∨R)∧P∧(P∨Q∨R)
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主合取范式
❖ 设命题公式A中含n个命题变元,如果A的合取 范式中的简单析取式全是极大项,则称该合取 范式为主合取范式.
❖ 任一命题公式的主合取范式一定存在,且是唯 一的.
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求主合取范式的步骤
❖ （1）先求出合取范式A’. ❖ （2）若A’的某简单析取式B中不含命题变元pi ,或
其否定pi,则将B展成如下形式： ❖ B B∨0
❖ 1.推理法 ❖ 2.利用真值表法
1）列出公式的真值表； 2）将真值表最后一列中的1的左侧的二进 制数所对应的极小项写出； 3）将这些极小项用析取词∨联结起来.
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❖ 例 :试由p∧q∨r的真值表求它的主析取范式.
Fra Baidu bibliotek
p∧q∨r m1∨m3∨m5∨m6∨m7
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主析取范式的应用
❖ 例4.3.5 教材 P103 解此类问题分以下几步： 1.先将简单命题（或语句）符号化； 2.写出复合命题（或公式）； 3.求成真赋值； 4.求解方法：观察法、等值演算法、主析取范式法等
p∧ q∧r
—— 111 —— 7, 记作m7.
一般情况下,n个命题变项共产生2n个极小项,分别记
为m0,m1,...m2n-1.
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主析取范式定义与存在定理 ❖ 定义:在给定公式的析取范式中，若其简
单合取式都是极小项，则称该范式为主析 取范式。（教材P101定义4.3.4） ❖ 定理:任意公式G都存在唯一的与之等价 的主析取范式。 （教材P101定理4.3.4）
(消去)
❖ (p∨q∨p)∧(r∨p),
(∨对∧分配律)
❖ (p∨q)∧(r∨p)
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(2)求析取范式
用∧对∨的分配律就可得到析取范式, 接上面倒数第三步
❖ ((p∨q)∧r)∨p ❖ (p∧r)∨(q∧ r)∨p (∧对∨分配律) ❖ 最后结果为原公式的析取范式.利用交换律和吸收律
P∧Q∧R既是合取范式也是析取范式.
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定理4.3.1 对于任何一命题公式，都存在与其等价的析 取范式和合取范式。
求范式算法：
① 使用命题定律，消去公式中除、和以外的所有
联结词; 通常用(A→B┐A∨B,AB(A→B)∧(B→A))
② 使用(P)P 和德·摩根律，将公式中出现的联结 词都移到命题变元之前；
❖ 能够证明，n个命题变元共有2n个极大项。
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❖ p∨q∨r ❖ p∨q∨r ❖ p∨q∨r ❖ p∨q∨r ❖ p∨q∨r ❖ p∨q∨r ❖ p∨q∨r ❖ p∨q ∨r
——000——0，记作M0 ——001——1，记作M1 ——010——2，记作M2 ——011——3，记作M3 ——100——4，记作M4 ——101——5，记作M5 ——110——6，记作M6 ——111——7，记作M7