6热统第六章
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l
7.
自由粒子的态密度
D ( )d g
2 V (2m)3/ 2 d 3 h V 2d 2C 3
这里 g 与自旋有关
D ( )d
8. 理想气体的化学势公式
3/ 2 V 2mkT kT ln 2 N h
2k 4 60C 2 3
请计算该值。 作业 1*，已知空腔中光子气体的巨配分函数
ln
2V 1 45C 3 3
求系统的内能、物态方程和熵。
2k 4 2，由 计算斯特凡常数的理论值并与实验值比较。 60C 2 3
3*，证明黑体辐射公式
V 2 U ( , T )d 2 2 d C e kT 1
则可以给出上述公式。我们的目的是给出上述内能公式。 2．爱因斯坦提出光量子假说，认为光波是光量子， （可以类比于自由粒子） 光具有波粒二象性。光子粒子数不守恒，化学势为零， 0 。光子是玻色子， 同一个量子态可以被许多光子占据。光子的静止质量为零。 g 2
3. 要证明光子气体的内能公式，只需从
9.
0
x dx 2.612 x e 1 2
E S N s
l
0
x 2 dx 3 1.341 ex 1 4
3
10.
其中
e ( )
a
第 l 个能级上的所有可能的粒子数求和
2．能级 上的平均粒子数 a
a
1 a e N s ES N s ES 1 ( a e ( ) a ) e ( m )am a m l am 1
2V (2m) 3 / 2 3 h
0
d e 1
3.这种气体的内能 E= al l
l
=
0
D ( )d 2 V 2 3/ 2 g 2 m 0 e 1d e 1 h3
3
（ 2）
三 黑体辐射与光子气体 1，背景 实验发现空腔内的辐射场在温度为 T，频率处于 ~ d 的内能具有
l 这里的 是简并度。这相当于 l l
而每个量子态的平均粒子数
fs a 1 s e 1
这里已经考虑了粒子的不可分辨性 五 说明 1， 玻色和费米系统的巨配分函数 考虑到每个能级有 l 个量子态，巨配分函数的对数
ln ln l l l ln 1 e l
E al l
l l
e
l l l
1
D ( )d U ( )d e 1
（ 4）
出发，给出内能密度。这里关键是给出态密度。但是理想气体的态密度
D ( )d g 2 V (2m) 3/ 2 d 3 h
（ 5）
J kT ln
2，熵 注意到光子气体的化学势为零，有
ln 4k 2V 1 J S 4k ln k ln kT T 45C 3 3 T V 3，物态方程
2 kT 2k 4 4 J p T 3 3 45C 3 3 V T 45C
a e
a
( ) a
ln 四，玻色分布与费米分布
1．对于玻色子， 能级上的粒子数没有任何限制（0， ）
a 0
e
( )
1 1 e
( )
a
ln ln(1 e ( ) )
ln ln l l l ln 1 e l
l l
（8）
ln 1 e
0
2V 1 2 d V 2 3 C 45C 3 3
做变量替换，应用分部积分法（新书 238，旧书 308） ，得上式。是 T，V 的 函数，与 N 无关。这是因为粒子数不守恒。
e
a
a a
e
a
(a a )
e
a
( ) a
e ( ) a
a
e
a
( )
l l
2，与波尔兹曼分布的关系 若 e 1 ，也就是说
a
l
al 1 ，则 l
e 1 叫波尔兹曼分布，是费米或波色分布的特例。与麦氏速率分布比较，知
e
e l
N N h 3 V V 2mkT
3
加上两个左、右旋及光子能量与频率的关系，有
D ( )d V 2 d 2 3 C
（ 6）
是 ~ +d 内的状态数 这样，在注意光子的化学势为零 0 ，有
U ( , T )d V 3 d 2C 3 e kT 1
（ 7）
这就是 Plank 的结果，与实验符合极好！ 四 光子气体的巨配分函数、熵和物态方程 1，巨配分函数
N a
E a
e N ES
N S
对 N，S 求和意味着让 N 从 0 到变化，每一个 N 值，粒子可以除以处于不 同单粒子能级，有不同组合。这里的能级对于单粒子而言通过量子力学解出。如 果粒子全同，则系统能级与单粒子能级一致。若粒子略有差异，则构成能带。这 种求和等效于对所有能级上的所有可能的粒子数求和。
不能直接应用，因为对于光子 m=0.
我们已经证明对于箱中的自由粒子，在体积 V 内， p ~ p dp 间的状态数
Vdpx dp y dpz h3
换成球坐标，p-p+dp 内的状态数
4 Vp 2 dp h3
4 V ( )2 d ( ) 2 C C 4 V d h3 h 3C 3
kT
N S , ES
E
N
e N S Es e ( N s Es )
ln
ln
S k [ln
ln ln ]
4. N a ； E a
5. 箱中自由粒子的态密度： D ( )d 二．自旋与统计性质
作业 1. 从 a
a e
l
ln 出发证明波色和费米分布为
1
第二节 光子气体 一 复习 0. 近独立系 1，玻色子、费米子及其对同一量子态的占据 2，玻色与费米分布：l 能级上的平均粒子数
a 1 e
l
1
+ 费米子
-玻色子
Βιβλιοθήκη Baidu
3，自由粒子的态密度
第三节 一、复习
玻色爱因斯坦凝聚
1. 近独立系；2.玻色子、费米子及其对同一量子态的占据 3. 光子：质量，化学势，玻色子 4，玻色与费米分布：l 能级上的平均粒子数
a
e
l l
1
+ 费米子
-玻色子
5.
1 , kT kT
6. E al l
l
N al
1
∴
a 0
e
( )
1 e ( )
1 ln 1 e 1 l /( kT ) e 1 a
说明：什么时候为 1？ l ,
T 0
3．实际上同一个能级可能有多个量子态，只要能量比较大，一般应如此， 可以证明 a + 费米子 -玻色子 e l 1
U ( , T )d
V 3 d 2C 3 e / kT 1
对于低频叫瑞利--金斯公式，高频趋于无穷，叫紫外灾难；高频叫维恩公式；但 是不能解释整个曲线。考验经典物理。
Plank 假设每次辐射（发射）的能量是不连续的，辐射能量的谐振子的能量
为
1 l l 2
dJ SdT pdV Nd
1 , kT kT 二 玻色与费米气体的内能和粒子数
7，
1.定义：理想气体是说每个分子不用考虑内部结构，分子只有平动自由度， 能量为
1 ( px 2 p y 2 pz 2 ) 2m 2 V (2m) 3/ 2 d h3
3 2V 2 ( 2 m ) d h3
自旋为整数的粒子叫玻色子，如光子，某些原子如 He、Be、Ni 自旋为零。 服从玻色统计，同一个量子态可以有多个粒子占据。 自旋是半整数的粒子叫费米子，如电子，质子，中子。服从费米统计，同一 个量子态最多由一个粒子占据。
三 配分函数与平均粒子数 1，单粒子配分函数 考虑只含有一种近独立粒子的系统，粒子具有能级 l ( 1, 2,) ，每个能级 l 的粒子数为 a ，而且所有能级均是非简并的，其上只有一个量子态。 （这个用处理立方体中的自由粒子） 这样
e ( ) 1 ( ) 1 e e 1
1 e
l /( kT )
1
说明（1） l , al 0 ；或者， T 0 , l 0, al 0 ； （2）绝对零度时，允许所有的粒子集中于最低能级。 2．对于费米子，每个量子态数最多有一个粒子占据，遵从泡利不相容原理
第六章 近独立系的玻色与费米统计
本章研究光子气体、波色---爱因斯坦凝聚、金属中的自由电子气。给出黑体 辐射公式、 玻色子低温相变和金属热容的合理解释。 统计方法涉及粒子的量子性： 一种是自旋为整数的粒子---即玻色子； 另一种是自旋为半整数的粒子， 即费米子。 这两种粒子占据同一个量子态的方式完全不同：前者可以是任意个，后者最多是 一个。使用的方法叫占据数法。我们首先从巨正则系综出发，根据两种粒子的特 性，导出粒子在不同能级的占据数分布---费米和波色分布。加上理想气体的态密 度公式，依次研究不同问题。 第一节 占据数 一 复习 1，对于粒子数可变系统，用巨正则系综处理。 2，巨正则系综的定义，特点（T, V, ）相同的系统集合。 3， 1 e ES N s c N s ES
是连续的，利用前边已经推出的态密度公式
D ( )d g
（ 1）
它对应于 l ，则可以求内能，不过ε能级上的粒子数用玻色或费米分布。 2.粒子数 N
N al
i l
e
l
1
0
D ( )d e 1
g 的引入是考虑了自旋因素引入的状态数
=g
D ( )d g
2 V (2m)3/ 2 d 3 h
这里 g 与自旋有关 4， E al l
l
N al
l
E S N s
5，
N S 0 ES
e
l ， e ( )
l
a
6， J kT ln E TS N
五 光子气体的内能 斯特凡—波尔兹曼关系 1，内能 E J TS 1 2V kT 4 3 15 C （ 9）
（ 1） 与对 U ( , T ) 直接积分的结果一致。 考虑声子气体， 也有低温下 CV T 3 的结论。---德拜比热理论。 （2）注意到 J u
CU 2k 4 4 T T 4 2 3 4 V 60C
7.
自由粒子的态密度
D ( )d g
2 V (2m)3/ 2 d 3 h V 2d 2C 3
这里 g 与自旋有关
D ( )d
8. 理想气体的化学势公式
3/ 2 V 2mkT kT ln 2 N h
2k 4 60C 2 3
请计算该值。 作业 1*，已知空腔中光子气体的巨配分函数
ln
2V 1 45C 3 3
求系统的内能、物态方程和熵。
2k 4 2，由 计算斯特凡常数的理论值并与实验值比较。 60C 2 3
3*，证明黑体辐射公式
V 2 U ( , T )d 2 2 d C e kT 1
则可以给出上述公式。我们的目的是给出上述内能公式。 2．爱因斯坦提出光量子假说，认为光波是光量子， （可以类比于自由粒子） 光具有波粒二象性。光子粒子数不守恒，化学势为零， 0 。光子是玻色子， 同一个量子态可以被许多光子占据。光子的静止质量为零。 g 2
3. 要证明光子气体的内能公式，只需从
9.
0
x dx 2.612 x e 1 2
E S N s
l
0
x 2 dx 3 1.341 ex 1 4
3
10.
其中
e ( )
a
第 l 个能级上的所有可能的粒子数求和
2．能级 上的平均粒子数 a
a
1 a e N s ES N s ES 1 ( a e ( ) a ) e ( m )am a m l am 1
2V (2m) 3 / 2 3 h
0
d e 1
3.这种气体的内能 E= al l
l
=
0
D ( )d 2 V 2 3/ 2 g 2 m 0 e 1d e 1 h3
3
（ 2）
三 黑体辐射与光子气体 1，背景 实验发现空腔内的辐射场在温度为 T，频率处于 ~ d 的内能具有
l 这里的 是简并度。这相当于 l l
而每个量子态的平均粒子数
fs a 1 s e 1
这里已经考虑了粒子的不可分辨性 五 说明 1， 玻色和费米系统的巨配分函数 考虑到每个能级有 l 个量子态，巨配分函数的对数
ln ln l l l ln 1 e l
E al l
l l
e
l l l
1
D ( )d U ( )d e 1
（ 4）
出发，给出内能密度。这里关键是给出态密度。但是理想气体的态密度
D ( )d g 2 V (2m) 3/ 2 d 3 h
（ 5）
J kT ln
2，熵 注意到光子气体的化学势为零，有
ln 4k 2V 1 J S 4k ln k ln kT T 45C 3 3 T V 3，物态方程
2 kT 2k 4 4 J p T 3 3 45C 3 3 V T 45C
a e
a
( ) a
ln 四，玻色分布与费米分布
1．对于玻色子， 能级上的粒子数没有任何限制（0， ）
a 0
e
( )
1 1 e
( )
a
ln ln(1 e ( ) )
ln ln l l l ln 1 e l
l l
（8）
ln 1 e
0
2V 1 2 d V 2 3 C 45C 3 3
做变量替换，应用分部积分法（新书 238，旧书 308） ，得上式。是 T，V 的 函数，与 N 无关。这是因为粒子数不守恒。
e
a
a a
e
a
(a a )
e
a
( ) a
e ( ) a
a
e
a
( )
l l
2，与波尔兹曼分布的关系 若 e 1 ，也就是说
a
l
al 1 ，则 l
e 1 叫波尔兹曼分布，是费米或波色分布的特例。与麦氏速率分布比较，知
e
e l
N N h 3 V V 2mkT
3
加上两个左、右旋及光子能量与频率的关系，有
D ( )d V 2 d 2 3 C
（ 6）
是 ~ +d 内的状态数 这样，在注意光子的化学势为零 0 ，有
U ( , T )d V 3 d 2C 3 e kT 1
（ 7）
这就是 Plank 的结果，与实验符合极好！ 四 光子气体的巨配分函数、熵和物态方程 1，巨配分函数
N a
E a
e N ES
N S
对 N，S 求和意味着让 N 从 0 到变化，每一个 N 值，粒子可以除以处于不 同单粒子能级，有不同组合。这里的能级对于单粒子而言通过量子力学解出。如 果粒子全同，则系统能级与单粒子能级一致。若粒子略有差异，则构成能带。这 种求和等效于对所有能级上的所有可能的粒子数求和。
不能直接应用，因为对于光子 m=0.
我们已经证明对于箱中的自由粒子，在体积 V 内， p ~ p dp 间的状态数
Vdpx dp y dpz h3
换成球坐标，p-p+dp 内的状态数
4 Vp 2 dp h3
4 V ( )2 d ( ) 2 C C 4 V d h3 h 3C 3
kT
N S , ES
E
N
e N S Es e ( N s Es )
ln
ln
S k [ln
ln ln ]
4. N a ； E a
5. 箱中自由粒子的态密度： D ( )d 二．自旋与统计性质
作业 1. 从 a
a e
l
ln 出发证明波色和费米分布为
1
第二节 光子气体 一 复习 0. 近独立系 1，玻色子、费米子及其对同一量子态的占据 2，玻色与费米分布：l 能级上的平均粒子数
a 1 e
l
1
+ 费米子
-玻色子
Βιβλιοθήκη Baidu
3，自由粒子的态密度
第三节 一、复习
玻色爱因斯坦凝聚
1. 近独立系；2.玻色子、费米子及其对同一量子态的占据 3. 光子：质量，化学势，玻色子 4，玻色与费米分布：l 能级上的平均粒子数
a
e
l l
1
+ 费米子
-玻色子
5.
1 , kT kT
6. E al l
l
N al
1
∴
a 0
e
( )
1 e ( )
1 ln 1 e 1 l /( kT ) e 1 a
说明：什么时候为 1？ l ,
T 0
3．实际上同一个能级可能有多个量子态，只要能量比较大，一般应如此， 可以证明 a + 费米子 -玻色子 e l 1
U ( , T )d
V 3 d 2C 3 e / kT 1
对于低频叫瑞利--金斯公式，高频趋于无穷，叫紫外灾难；高频叫维恩公式；但 是不能解释整个曲线。考验经典物理。
Plank 假设每次辐射（发射）的能量是不连续的，辐射能量的谐振子的能量
为
1 l l 2
dJ SdT pdV Nd
1 , kT kT 二 玻色与费米气体的内能和粒子数
7，
1.定义：理想气体是说每个分子不用考虑内部结构，分子只有平动自由度， 能量为
1 ( px 2 p y 2 pz 2 ) 2m 2 V (2m) 3/ 2 d h3
3 2V 2 ( 2 m ) d h3
自旋为整数的粒子叫玻色子，如光子，某些原子如 He、Be、Ni 自旋为零。 服从玻色统计，同一个量子态可以有多个粒子占据。 自旋是半整数的粒子叫费米子，如电子，质子，中子。服从费米统计，同一 个量子态最多由一个粒子占据。
三 配分函数与平均粒子数 1，单粒子配分函数 考虑只含有一种近独立粒子的系统，粒子具有能级 l ( 1, 2,) ，每个能级 l 的粒子数为 a ，而且所有能级均是非简并的，其上只有一个量子态。 （这个用处理立方体中的自由粒子） 这样
e ( ) 1 ( ) 1 e e 1
1 e
l /( kT )
1
说明（1） l , al 0 ；或者， T 0 , l 0, al 0 ； （2）绝对零度时，允许所有的粒子集中于最低能级。 2．对于费米子，每个量子态数最多有一个粒子占据，遵从泡利不相容原理
第六章 近独立系的玻色与费米统计
本章研究光子气体、波色---爱因斯坦凝聚、金属中的自由电子气。给出黑体 辐射公式、 玻色子低温相变和金属热容的合理解释。 统计方法涉及粒子的量子性： 一种是自旋为整数的粒子---即玻色子； 另一种是自旋为半整数的粒子， 即费米子。 这两种粒子占据同一个量子态的方式完全不同：前者可以是任意个，后者最多是 一个。使用的方法叫占据数法。我们首先从巨正则系综出发，根据两种粒子的特 性，导出粒子在不同能级的占据数分布---费米和波色分布。加上理想气体的态密 度公式，依次研究不同问题。 第一节 占据数 一 复习 1，对于粒子数可变系统，用巨正则系综处理。 2，巨正则系综的定义，特点（T, V, ）相同的系统集合。 3， 1 e ES N s c N s ES
是连续的，利用前边已经推出的态密度公式
D ( )d g
（ 1）
它对应于 l ，则可以求内能，不过ε能级上的粒子数用玻色或费米分布。 2.粒子数 N
N al
i l
e
l
1
0
D ( )d e 1
g 的引入是考虑了自旋因素引入的状态数
=g
D ( )d g
2 V (2m)3/ 2 d 3 h
这里 g 与自旋有关 4， E al l
l
N al
l
E S N s
5，
N S 0 ES
e
l ， e ( )
l
a
6， J kT ln E TS N
五 光子气体的内能 斯特凡—波尔兹曼关系 1，内能 E J TS 1 2V kT 4 3 15 C （ 9）
（ 1） 与对 U ( , T ) 直接积分的结果一致。 考虑声子气体， 也有低温下 CV T 3 的结论。---德拜比热理论。 （2）注意到 J u
CU 2k 4 4 T T 4 2 3 4 V 60C