第三章 可靠性的概率分布
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正常使用下的突发故障：常载下往复运动零件损伤， 或人为失误造成的故障，或偶然性操作不当。
浴盆曲线的Ⅱ阶段（使用寿命期） 发动机返复多次维修期间所发生的故障可考虑为指数
分布故障。
例：内燃机增压器处于使用寿命期中工作，根据以
往经验知，寿命服从指数分布，在100小时工作 内有1%发生故障，求可靠度R（2000），t 0.5和 t 0.9 的使用寿命？
–在“浴盆曲线”中，它是属于偶发期这一时段的。
• 指数分布的特点
只含单一参数，形式简单 平均寿命、特征寿命、标准离差相等，为 1 故障率越小，平均寿命越大，但越大，分布
越分散
平均寿命大于中位寿命
• 发动机中有四种故障的寿命概率分布属于指数分布
受随机性冲击时产生的故障：故障与使用时间无关， 仅与外界超强度的冲击力随机到来和内部潜伏的隐患 偶然爆发有关，它们是随机性偶然发生故障，如内燃 机超载下工作或过热造成的故障。
是一个整数型的随机变量，在此时间区间内，发生k次失效的概
率服从一个均值为λt的泊松分布:
P( X k) (t)k et
(k 0)
k!
(2)在任意两次相邻的失效之间的时间T是独立的连续型的随机
变量，服从参数为λ的指数分布 :
P(T t) R(t) et
泊松分布
两次失效的平均时间为 1 ,泊松过程适
n无限大时二项分布的推广。当n很大、p很小时，可用泊松分布近似代
替二项分布。一般地，当n≥20,p≤0.5时，近似程度较好。
• 随机变量X取值不大于k次的累积分布函数为：
F (k ) P( X k ) k r e
r0 r! • X的期望与方差分别为：
E( X ) kP( X k) k 0
解：先求λ F（100）=0.01
1 e100 0.01
1 ln 1 0.0001005
100 0.99
R(2000 ) e2000 0.8187
t 0.5
0.6971
6931小时
t 0.9
1
ln
1 0.9
1048小时
指数分布例题
例：一元件寿命服从指数分布，其平均寿命(θ) 为2000小时，求故障率λ及求可靠度R (100)=?
2
μ—对数均值，σ—对数标准离差
• 对数正态分布的特征量
– 不可靠度函数
Ft
t
f
t
dt
lnt -
– 可靠度函数
R
t
1
lnt
– 故障率函数
t
f t Rt
1
2
t
exp
1 2
lnt
2
1 lnt
平均寿命E
2
Ee 2
特征寿命
t e0.34 e-1
对数正态分布
• 对数变换可将较大的数缩小为较小的数，且愈大的数缩小 得愈多，这一特性可以使较为分散的数据通过对数变换相 对的集中起来，所以常把跨几个数量级的数据用对数正态 分布去拟合。
特征。因此必须对失效分布作较深入的研究。
离散型随机变量的几种常见分布
可靠性抽样试验以及产品质量保证等大量工 程实际问题需要用到离散模型。主要有
两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布与负二项分布 超几何分布
• 数字特征:
Байду номын сангаас
两点分布
E(X ) 1• p 0• q p D(X ) p p2 p(1 p) pq
• 二项分布用来计算冗余系统的可靠度，也可用于计算一次 性使用装置或系统的可靠度估计。
• 比如汽车上的双管路制动系统
泊松分布
• 在二项分布中，如果 lim np （常数），则二项分布可表示为：
n
P( X k ) k e
(k 0,1,2,, n, 0)
此时，称随机变量kX!服从参数为λ的泊松分布。泊松分布可认为是当
– 可靠度
Rt 1 Ft 1 t
查附表2
– 故障率 – 平均寿命
t
f t Rt
1
2
exp
1 2
t
2
1
t
E=μ
正态分布
• 在柴油机或机械系统中，有些零件故障是由几种相对独立 的微小主导因素迭加而成的。
– 如气缸、活塞、齿轮和轴类零件
• 因磨损引起的故障，以及管、阀系统的腐蚀性故障，燃油 传给系统沉淀性故障都属正态分布。
t 0.5 0.7E
r e1 0.368
寿命方差： 标准差：
e1 et
t 0.368
1
2 t 2f tdt - E2 1
0
2
1
指数分布性质
• 指数分布性质
–指数分布的一个重要性质是无记忆性。无记忆性是产 品在经过一段时间t0工作之后的剩余寿命仍然具有原来 工作寿命相同的分布，而与t无关。这个性质说明，寿 命分布为指数分布的产品，过去工作了多久对现在和 将来的寿命分布不发生影响。
所谓独立试验是指将试验A重复做n次，若 各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出 现的概率都与其他各次试验结果无关，则称这n 次试验是独立的，并称它们构成一个序列。
二项分布
•
在二项分布中，若一次试验中，P(A) p, P(A) 1 p ,
则在n次独立地重复试验中，试验A发生的概率为:
Pn (k ) Cnk pk qnk
3
3
0.99999
思考：假如只有两个轮胎， 安全着陆的概率？
泊松分布实例
例：某电话总机，平均每分钟接到电话3次，求每分钟接到电 话多于5次的概率？
解：设X为某电话总机每分钟接到的呼唤次数，则服从 3
的泊松分布，其分布律为 P( X k) 3k e3 k!
所以
(k 0,1,2,...)
P( X 5) 1 P( X 5) 1 5 3k e3 k0 k! 1 (0.049787 0.149361 0.224042 0.224022 0.168031 0.100819) 0.0839
R(1000)=?
解：
1 1 5 104 2000
R(100) e5104100 e0.05 0.95
R(1000) e 51041000 e 0.5 0.60
此元件在100小时时的可靠度为0.95，而在 1000小时时的可靠度为0.60。
正态分布
• 正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材料强度、
B：t B 900, 400
R
B
100
1
100 900 400
1
2
0.9772
对数正态分布
• 对数正态分布是自变量取对数时，其故障密度函数符合正 态分布的一种偏态性概率分布。它的故障率其本属于递增 型的，但递增的速度是变化的，先快后慢然后趋于平稳
f t
1
2 t
exp
lnt
2
2
D( X ) [k E( X )]2 P( X K ) k 0
泊松分布
• 泊松分布，经过适当的处理可成为指数分布。假
定：
在互不相交的时间区间内所发生的失效是统计独立的；
单位时间内的平均失效次数为常数，而与所考虑的时间区 间无关。
• 泊松过程有下面两个重要性质:
(1)设t是时间区间的长度，则在此区间内发生失效的次数X
2种
5
P(A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 )P( A5 )
0.7 0.7 0.3 0.3 0.3
0.72 0.33
C P( A) k Pk qnk n C 2 0.72 0.33 0.1323 5
如果要求命中不少于2次的概率？
可靠性的概率分布
学习要求
1. 了解二项分布、泊松分布的含义； 2. 掌握指数分布、正态分布、对数正态分布 和威布尔分布的特性以及特征值的获取； 3. 会使用概率试纸及查表
主要内容
• 离散型随机变量的几种常见分布
两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布和负二项分布 超几何分布
• 连续型随机变量的几种常见分布
磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度以及难以判断其分布 的场合。属于递增型故障率的概率分布。它的分布曲线处 于浴盆曲线的耗损阶段
• 若产品寿命或某特征值有故障密度
f (t)
1
(t )2
e 2 2
2
(t 0, 0, 0)
正态分布
• 正态分布的特征量函数:
– 不可靠度
F(t) t f (t)dt t
二项分布实例
例：一架飞机有三个着陆轮胎，若不多于一个轮胎爆破，飞 机便能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一次轮 胎爆破。求飞机安全着陆的概率？
解：
P(安全着陆) P(没有轮胎着陆) P(只有一个轮胎爆破)
C C （0 0.001）（0 0.999）3 （ 1 0.001）1 （0.999）2
例：有两种内燃机配套机构，A种寿命分布是指数型， 其平均寿命为1000h；B种寿命分布是正态型，其 平均寿命为900h，标准离差σ= 400h，求：在100 小时使用期内，尽量不发生故障，求哪种设计为 好？
解：A： t A
1000,
1 1000
100
R A 100 e 1000 0.905
合于建模有较多的元件倾向于失效，而每 个元件失效的概率比较小的情况。
二项分布实例
例：有人打靶，每次命中率均为0.7，现独立射击5次，求恰 好命中2次的概率？
解：每次射击有“击中”和“未击中”两个可能，设
Ai "第i次击中" ，“恰好有两次几种”的情况有
C
A1A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 ,...共有
正态分布 截尾正态分布 对数正态分布 指数分布 伽玛分布 威布尔分布
可靠性的概率分布
可靠性工程以产品的寿命特征为主要研究对象。产品的寿命 特征一般是连续的随机变量，例如产品故障时间和和维修 时间等。处理这种问题可利用概率统计方法，找出它们的 概率分布和概率密度函数，有了确定的分布就可以求出该 分布特征统计量，如正态分布的均值及标准差。即使不知 道具体的分布函数，也可以通过对分布的参数估计求得某 些特征量的估计值。这些分布及概率密度函数，不仅描述 了寿命的内在规律，而且分布的参数还决定了产品的寿命
连续型随机变量的几种常见分布
• 正态分布 • 截尾正态分布 • 对数正态分布 • 指数分布 • 伽玛分布 • 威布尔分布
指数分布
1. 指数分布
• 在数学上易处理成直观的曲线
• 失效率反映了特征参数
• 单参数分布
• 最基本最常用的分布
• 若产品的寿命或某一特征值t的故障密度为
f (t) et
( 0,t 0)
0.079
即1010 次更换前，故障的可能性为7.9%。
威布尔分布
• 威布尔分布应用比较广泛，常用来描述材料疲劳失效、轴 承失效等寿命分布的。分布包括了产品寿命周期三个阶段 的失效分布特征。
• 威布尔分布是递增型、恒定型、递减型多种故障概率分布， 威布尔分布是从考虑链式强度模型提出来的，当“链条” 中“环”的强度低于随机应力时，某一“环”便可能发生 断裂，只要某一薄弱环发生故障则会整体失效，因此最弱 “环”的寿命即是产品的寿命。
pX k pk q1k , k 0,1
二项分布
• 随机变量X取值不大于k的累积分布函数为:
n
F (k ) P( X k )
Cnr p r q nr
r 0
• X的数学期望与方差分别为:
n
E(x) kP( X k) np k 0 n
D( X ) [k E( X )]2 P( X k) npq np(1 p) k 0
• 两点分布可以作为描绘从一批产品中任意抽 取一件得到的“合格品”或“不合格品”的 概率分布模型。
二项分布
• 二项分布又称贝努里分布。二项分布满足以下 基本假定：
试验次数n是一定的； 每次试验的结果只有两种，成功或失败； 每次试验的成功概率和失败概率相同，即p和q是
常数；
所有试验是独立的。
• 则称t服从参数λ的指数分布。
指数分布
• 指数分布的特征量函数:
不可靠度（失效）函数
F (t) t f (t)dt 1 et 0
可靠度函数
R(t) et
平均寿命
E
tf (t)dt
tet dt 1
0
0
中位寿命：r=0.5
0.5 et
特征寿命：
ln0.5 0.6971
(k 0,1,2,n)
上式为二项概率公式。若用X表示在n次重复试验中事件A发
生的次数，显然，X是一个随机变量，X的可能取值为
0,1,2,…n，则
• 随机变量X的分布律为：
P( X k) Cnk pk qnk
(k 0,1,2,n)
此时，称随机变量X服从二项分布B（n,p）。
当n=1时，二项分布简化为两点分布即：
• 在机械零件及材料的疲劳寿命中，对数正态分布应用得较 多。
0.05
例：一般气动弹簧承载 1010次后要更换，已知服从 对数正态分布，系数μ=25,σ=1.4问：①更换弹 簧前，故障的可能性多大？
解：①内燃机在1010次后，气动弹簧的不可靠度:
F 1010
ln1010 1.4
25
1.4
浴盆曲线的Ⅱ阶段（使用寿命期） 发动机返复多次维修期间所发生的故障可考虑为指数
分布故障。
例：内燃机增压器处于使用寿命期中工作，根据以
往经验知，寿命服从指数分布，在100小时工作 内有1%发生故障，求可靠度R（2000），t 0.5和 t 0.9 的使用寿命？
–在“浴盆曲线”中，它是属于偶发期这一时段的。
• 指数分布的特点
只含单一参数，形式简单 平均寿命、特征寿命、标准离差相等，为 1 故障率越小，平均寿命越大，但越大，分布
越分散
平均寿命大于中位寿命
• 发动机中有四种故障的寿命概率分布属于指数分布
受随机性冲击时产生的故障：故障与使用时间无关， 仅与外界超强度的冲击力随机到来和内部潜伏的隐患 偶然爆发有关，它们是随机性偶然发生故障，如内燃 机超载下工作或过热造成的故障。
是一个整数型的随机变量，在此时间区间内，发生k次失效的概
率服从一个均值为λt的泊松分布:
P( X k) (t)k et
(k 0)
k!
(2)在任意两次相邻的失效之间的时间T是独立的连续型的随机
变量，服从参数为λ的指数分布 :
P(T t) R(t) et
泊松分布
两次失效的平均时间为 1 ,泊松过程适
n无限大时二项分布的推广。当n很大、p很小时，可用泊松分布近似代
替二项分布。一般地，当n≥20,p≤0.5时，近似程度较好。
• 随机变量X取值不大于k次的累积分布函数为：
F (k ) P( X k ) k r e
r0 r! • X的期望与方差分别为：
E( X ) kP( X k) k 0
解：先求λ F（100）=0.01
1 e100 0.01
1 ln 1 0.0001005
100 0.99
R(2000 ) e2000 0.8187
t 0.5
0.6971
6931小时
t 0.9
1
ln
1 0.9
1048小时
指数分布例题
例：一元件寿命服从指数分布，其平均寿命(θ) 为2000小时，求故障率λ及求可靠度R (100)=?
2
μ—对数均值，σ—对数标准离差
• 对数正态分布的特征量
– 不可靠度函数
Ft
t
f
t
dt
lnt -
– 可靠度函数
R
t
1
lnt
– 故障率函数
t
f t Rt
1
2
t
exp
1 2
lnt
2
1 lnt
平均寿命E
2
Ee 2
特征寿命
t e0.34 e-1
对数正态分布
• 对数变换可将较大的数缩小为较小的数，且愈大的数缩小 得愈多，这一特性可以使较为分散的数据通过对数变换相 对的集中起来，所以常把跨几个数量级的数据用对数正态 分布去拟合。
特征。因此必须对失效分布作较深入的研究。
离散型随机变量的几种常见分布
可靠性抽样试验以及产品质量保证等大量工 程实际问题需要用到离散模型。主要有
两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布与负二项分布 超几何分布
• 数字特征:
Байду номын сангаас
两点分布
E(X ) 1• p 0• q p D(X ) p p2 p(1 p) pq
• 二项分布用来计算冗余系统的可靠度，也可用于计算一次 性使用装置或系统的可靠度估计。
• 比如汽车上的双管路制动系统
泊松分布
• 在二项分布中，如果 lim np （常数），则二项分布可表示为：
n
P( X k ) k e
(k 0,1,2,, n, 0)
此时，称随机变量kX!服从参数为λ的泊松分布。泊松分布可认为是当
– 可靠度
Rt 1 Ft 1 t
查附表2
– 故障率 – 平均寿命
t
f t Rt
1
2
exp
1 2
t
2
1
t
E=μ
正态分布
• 在柴油机或机械系统中，有些零件故障是由几种相对独立 的微小主导因素迭加而成的。
– 如气缸、活塞、齿轮和轴类零件
• 因磨损引起的故障，以及管、阀系统的腐蚀性故障，燃油 传给系统沉淀性故障都属正态分布。
t 0.5 0.7E
r e1 0.368
寿命方差： 标准差：
e1 et
t 0.368
1
2 t 2f tdt - E2 1
0
2
1
指数分布性质
• 指数分布性质
–指数分布的一个重要性质是无记忆性。无记忆性是产 品在经过一段时间t0工作之后的剩余寿命仍然具有原来 工作寿命相同的分布，而与t无关。这个性质说明，寿 命分布为指数分布的产品，过去工作了多久对现在和 将来的寿命分布不发生影响。
所谓独立试验是指将试验A重复做n次，若 各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出 现的概率都与其他各次试验结果无关，则称这n 次试验是独立的，并称它们构成一个序列。
二项分布
•
在二项分布中，若一次试验中，P(A) p, P(A) 1 p ,
则在n次独立地重复试验中，试验A发生的概率为:
Pn (k ) Cnk pk qnk
3
3
0.99999
思考：假如只有两个轮胎， 安全着陆的概率？
泊松分布实例
例：某电话总机，平均每分钟接到电话3次，求每分钟接到电 话多于5次的概率？
解：设X为某电话总机每分钟接到的呼唤次数，则服从 3
的泊松分布，其分布律为 P( X k) 3k e3 k!
所以
(k 0,1,2,...)
P( X 5) 1 P( X 5) 1 5 3k e3 k0 k! 1 (0.049787 0.149361 0.224042 0.224022 0.168031 0.100819) 0.0839
R(1000)=?
解：
1 1 5 104 2000
R(100) e5104100 e0.05 0.95
R(1000) e 51041000 e 0.5 0.60
此元件在100小时时的可靠度为0.95，而在 1000小时时的可靠度为0.60。
正态分布
• 正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材料强度、
B：t B 900, 400
R
B
100
1
100 900 400
1
2
0.9772
对数正态分布
• 对数正态分布是自变量取对数时，其故障密度函数符合正 态分布的一种偏态性概率分布。它的故障率其本属于递增 型的，但递增的速度是变化的，先快后慢然后趋于平稳
f t
1
2 t
exp
lnt
2
2
D( X ) [k E( X )]2 P( X K ) k 0
泊松分布
• 泊松分布，经过适当的处理可成为指数分布。假
定：
在互不相交的时间区间内所发生的失效是统计独立的；
单位时间内的平均失效次数为常数，而与所考虑的时间区 间无关。
• 泊松过程有下面两个重要性质:
(1)设t是时间区间的长度，则在此区间内发生失效的次数X
2种
5
P(A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 )P( A5 )
0.7 0.7 0.3 0.3 0.3
0.72 0.33
C P( A) k Pk qnk n C 2 0.72 0.33 0.1323 5
如果要求命中不少于2次的概率？
可靠性的概率分布
学习要求
1. 了解二项分布、泊松分布的含义； 2. 掌握指数分布、正态分布、对数正态分布 和威布尔分布的特性以及特征值的获取； 3. 会使用概率试纸及查表
主要内容
• 离散型随机变量的几种常见分布
两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布和负二项分布 超几何分布
• 连续型随机变量的几种常见分布
磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度以及难以判断其分布 的场合。属于递增型故障率的概率分布。它的分布曲线处 于浴盆曲线的耗损阶段
• 若产品寿命或某特征值有故障密度
f (t)
1
(t )2
e 2 2
2
(t 0, 0, 0)
正态分布
• 正态分布的特征量函数:
– 不可靠度
F(t) t f (t)dt t
二项分布实例
例：一架飞机有三个着陆轮胎，若不多于一个轮胎爆破，飞 机便能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一次轮 胎爆破。求飞机安全着陆的概率？
解：
P(安全着陆) P(没有轮胎着陆) P(只有一个轮胎爆破)
C C （0 0.001）（0 0.999）3 （ 1 0.001）1 （0.999）2
例：有两种内燃机配套机构，A种寿命分布是指数型， 其平均寿命为1000h；B种寿命分布是正态型，其 平均寿命为900h，标准离差σ= 400h，求：在100 小时使用期内，尽量不发生故障，求哪种设计为 好？
解：A： t A
1000,
1 1000
100
R A 100 e 1000 0.905
合于建模有较多的元件倾向于失效，而每 个元件失效的概率比较小的情况。
二项分布实例
例：有人打靶，每次命中率均为0.7，现独立射击5次，求恰 好命中2次的概率？
解：每次射击有“击中”和“未击中”两个可能，设
Ai "第i次击中" ，“恰好有两次几种”的情况有
C
A1A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 ,...共有
正态分布 截尾正态分布 对数正态分布 指数分布 伽玛分布 威布尔分布
可靠性的概率分布
可靠性工程以产品的寿命特征为主要研究对象。产品的寿命 特征一般是连续的随机变量，例如产品故障时间和和维修 时间等。处理这种问题可利用概率统计方法，找出它们的 概率分布和概率密度函数，有了确定的分布就可以求出该 分布特征统计量，如正态分布的均值及标准差。即使不知 道具体的分布函数，也可以通过对分布的参数估计求得某 些特征量的估计值。这些分布及概率密度函数，不仅描述 了寿命的内在规律，而且分布的参数还决定了产品的寿命
连续型随机变量的几种常见分布
• 正态分布 • 截尾正态分布 • 对数正态分布 • 指数分布 • 伽玛分布 • 威布尔分布
指数分布
1. 指数分布
• 在数学上易处理成直观的曲线
• 失效率反映了特征参数
• 单参数分布
• 最基本最常用的分布
• 若产品的寿命或某一特征值t的故障密度为
f (t) et
( 0,t 0)
0.079
即1010 次更换前，故障的可能性为7.9%。
威布尔分布
• 威布尔分布应用比较广泛，常用来描述材料疲劳失效、轴 承失效等寿命分布的。分布包括了产品寿命周期三个阶段 的失效分布特征。
• 威布尔分布是递增型、恒定型、递减型多种故障概率分布， 威布尔分布是从考虑链式强度模型提出来的，当“链条” 中“环”的强度低于随机应力时，某一“环”便可能发生 断裂，只要某一薄弱环发生故障则会整体失效，因此最弱 “环”的寿命即是产品的寿命。
pX k pk q1k , k 0,1
二项分布
• 随机变量X取值不大于k的累积分布函数为:
n
F (k ) P( X k )
Cnr p r q nr
r 0
• X的数学期望与方差分别为:
n
E(x) kP( X k) np k 0 n
D( X ) [k E( X )]2 P( X k) npq np(1 p) k 0
• 两点分布可以作为描绘从一批产品中任意抽 取一件得到的“合格品”或“不合格品”的 概率分布模型。
二项分布
• 二项分布又称贝努里分布。二项分布满足以下 基本假定：
试验次数n是一定的； 每次试验的结果只有两种，成功或失败； 每次试验的成功概率和失败概率相同，即p和q是
常数；
所有试验是独立的。
• 则称t服从参数λ的指数分布。
指数分布
• 指数分布的特征量函数:
不可靠度（失效）函数
F (t) t f (t)dt 1 et 0
可靠度函数
R(t) et
平均寿命
E
tf (t)dt
tet dt 1
0
0
中位寿命：r=0.5
0.5 et
特征寿命：
ln0.5 0.6971
(k 0,1,2,n)
上式为二项概率公式。若用X表示在n次重复试验中事件A发
生的次数，显然，X是一个随机变量，X的可能取值为
0,1,2,…n，则
• 随机变量X的分布律为：
P( X k) Cnk pk qnk
(k 0,1,2,n)
此时，称随机变量X服从二项分布B（n,p）。
当n=1时，二项分布简化为两点分布即：
• 在机械零件及材料的疲劳寿命中，对数正态分布应用得较 多。
0.05
例：一般气动弹簧承载 1010次后要更换，已知服从 对数正态分布，系数μ=25,σ=1.4问：①更换弹 簧前，故障的可能性多大？
解：①内燃机在1010次后，气动弹簧的不可靠度:
F 1010
ln1010 1.4
25
1.4